張源龍
摘 要:數(shù)學思想是數(shù)學知識和方法的本質認識,高中試題十分重視對數(shù)學思想及其方法的考查。因此,在高中數(shù)學的解題中重視數(shù)學思想方法的挖掘和運用是十分必要的。本文討論了數(shù)形結合、分類談論、函數(shù)與方程、轉化與化歸思想等思想方法在高中數(shù)學解題中的應用。
關鍵詞:函數(shù)方程 數(shù)形結合 分類討論 等價轉化
1.函數(shù)與方程的思想
函數(shù)與方程的思想是數(shù)學研究中最基本的思想之一,分為函數(shù)思想和方程思想,二者之間相互聯(lián)系,共同為解答高中的數(shù)學內容提供思路,像求解函數(shù)最值,不等式方程以及參數(shù)討論的問題都會用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)思想在高中數(shù)學中的應用主要是利用基本的初等函數(shù)的性質(函數(shù)的對稱性,奇偶性,周期性和相關的函數(shù)圖像等)來求解問題,某個函數(shù)所展現(xiàn)的便是自變量與因變量的變動過程,給定一個,便有與之對應的函數(shù)值,因此其核心思想便是運動,運用此觀念來建立函數(shù)關系,使抽象的問題變得更為直觀、形象,從而為解決問題提供嶄新的思路;與之不同的是,方程思想主要考慮等量之間的關系,通過求解方程和方程組的解來解決問題。函數(shù)與方程在一定條件下可以相互轉化,對于某個函數(shù),當時,就轉化為方程,也可以把函數(shù)式看作方程。
例1.1,設不等式對滿足的一切實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
解析:按照常規(guī)解法,容易將題目化簡為,然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質分類討論,這樣的運算是很復雜的。我們換一個角度來思考這個問題,把看作變量,看為常數(shù),記,原命題就轉化為求函數(shù)關于的函數(shù)在區(qū)間內滿足時參數(shù)應該滿足的條件。
2.數(shù)形結合的思想
數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的學科,空間形式便是我們常說的“形”,用在高中數(shù)學上面多是指函數(shù)的圖像;而數(shù)量關系便是和“數(shù)”有關的所有抽象內容,數(shù)形結合思想本質便是將難理解的抽象語言用圖形的方式描繪出來,能夠更加直觀的展示所求解問題的性質,將數(shù)轉化為形,通過“數(shù)”更好地解釋形,數(shù)形結合,即可以加深對知識點的掌握,又可以開拓思維。也可把某個不規(guī)則或者復雜的圖形用“數(shù)”的方式描述出來,像某些分段函數(shù)或者多個函數(shù)結合在一起的圖形,直接分析可能會比較麻煩,用基本的數(shù)學語言分段描述圖形的每一部分有助于我們得分析與理解。數(shù)形結合思想常被用來求解以下類型的數(shù)學問題。
(1)求解集合問題。可以利用數(shù)軸圖像處理一些集合中的參數(shù)取值范圍問題,例如:已知若,求實數(shù)的取值范圍。利用數(shù)軸圖像,可得出參數(shù)的取值范圍需要滿足:,求解即可打出答案。
(2)求解函數(shù)問題。可結合具體的函數(shù)圖像,求解常見的二次函數(shù)區(qū)間求值問題,函數(shù)零值以及討論參數(shù)取值范圍等問題。例如,求函數(shù)零點的個數(shù),即可轉化為求解函數(shù)和在定義域內的交點個數(shù)。
3.分類討論的思想
分類討論思想即是講一個不好求解的比較復雜的數(shù)學問題,按照給定的基礎條件進行分類,進而分解為幾個基礎性問題,進而求解原問題。分類討論思想最主要的是分類,通過比較問題的相同點和不同點,找到適合分類的基點所在,根據(jù)具體的取值范圍或者函數(shù)圖像進行分類。在分類討論時,必須要掌握分類的基本方法:不重不漏、逐條逐類。高中里邊,常見的數(shù)學分類問題有:(1)數(shù)學概念、性質和法則引起的分類討論:如絕對值和不等式的定義、集合的概念、數(shù)列的概念等。例如:集合,就要討論集合和兩種不同的情況;的取值就要分為三種來求解;等比數(shù)列的前項和公式,分為兩種情況。(2)函數(shù)圖像位置的不確定性回憶起討論:如二次函數(shù),值的不確定需要根據(jù)函數(shù)的開口方向,對稱軸的不確定性可能會引起函數(shù)位置的不同,可能在軸左邊,也可能在右邊。(3)含有參數(shù)的分類討論:參數(shù)的取值不同可能會導致不同的結果。如,解不等式時,必須分為三種情況討論。
4.等價轉化的思想
等價轉化即是把高中數(shù)學題目中很難著手的問題轉化為我們耳熟能詳?shù)囊阎獑栴}的過程,把未知的轉化為已知,化簡為繁,轉化的過程中一定要注意等價關系,必須把轉化的因果關系記清楚。等價轉化的常見方法有(1)普通語言向數(shù)學語言的轉化,例如,求一個西瓜切九刀,最多可切成多少塊。單憑想象的話,易知切一刀最多兩塊,兩刀四塊,三刀八塊,再往后可能會因為圖形的復雜而計算錯誤,通過等價轉化的方法,將原題轉化為平面分割空間,進而轉化為直線分割平面,點分割直線的問題,再找到其中的不同,便可求解原題。(2)原命題與逆否命題的轉化,求解原命題比較困難的時候轉化為求解其逆否命題。例,求證若,則。直接求解顯然不太容易,可轉化為求解若,則,逆否命題很容易得出為真命題,則原命題也為真。
結 論
數(shù)學思想方位是前人通過不斷地實踐積累出來的寶貴財富,數(shù)學問題的求解就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的過程,靈活地運用各種思想有助于我們便捷準確的得出答案。