張源龍

摘 要：數(shù)學思想是數(shù)學知識和方法的本質認識，高中試題十分重視對數(shù)學思想及其方法的考查。因此，在高中數(shù)學的解題中重視數(shù)學思想方法的挖掘和運用是十分必要的。本文討論了數(shù)形結合、分類談論、函數(shù)與方程、轉化與化歸思想等思想方法在高中數(shù)學解題中的應用。

關鍵詞：函數(shù)方程 數(shù)形結合 分類討論 等價轉化

1.函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學研究中最基本的思想之一，分為函數(shù)思想和方程思想，二者之間相互聯(lián)系，共同為解答高中的數(shù)學內容提供思路，像求解函數(shù)最值，不等式方程以及參數(shù)討論的問題都會用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)思想在高中數(shù)學中的應用主要是利用基本的初等函數(shù)的性質（函數(shù)的對稱性，奇偶性，周期性和相關的函數(shù)圖像等）來求解問題，某個函數(shù)所展現(xiàn)的便是自變量與因變量的變動過程，給定一個，便有與之對應的函數(shù)值，因此其核心思想便是運動，運用此觀念來建立函數(shù)關系，使抽象的問題變得更為直觀、形象，從而為解決問題提供嶄新的思路；與之不同的是，方程思想主要考慮等量之間的關系，通過求解方程和方程組的解來解決問題。函數(shù)與方程在一定條件下可以相互轉化，對于某個函數(shù)，當時，就轉化為方程，也可以把函數(shù)式看作方程。

例1.1，設不等式對滿足的一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解析：按照常規(guī)解法，容易將題目化簡為，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質分類討論，這樣的運算是很復雜的。我們換一個角度來思考這個問題，把看作變量，看為常數(shù)，記，原命題就轉化為求函數(shù)關于的函數(shù)在區(qū)間內滿足時參數(shù)應該滿足的條件。

2.數(shù)形結合的思想

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的學科，空間形式便是我們常說的“形”，用在高中數(shù)學上面多是指函數(shù)的圖像；而數(shù)量關系便是和“數(shù)”有關的所有抽象內容，數(shù)形結合思想本質便是將難理解的抽象語言用圖形的方式描繪出來，能夠更加直觀的展示所求解問題的性質，將數(shù)轉化為形，通過“數(shù)”更好地解釋形，數(shù)形結合，即可以加深對知識點的掌握，又可以開拓思維。也可把某個不規(guī)則或者復雜的圖形用“數(shù)”的方式描述出來，像某些分段函數(shù)或者多個函數(shù)結合在一起的圖形，直接分析可能會比較麻煩，用基本的數(shù)學語言分段描述圖形的每一部分有助于我們得分析與理解。數(shù)形結合思想常被用來求解以下類型的數(shù)學問題。

（1）求解集合問題。可以利用數(shù)軸圖像處理一些集合中的參數(shù)取值范圍問題，例如：已知若，求實數(shù)的取值范圍。利用數(shù)軸圖像，可得出參數(shù)的取值范圍需要滿足：，求解即可打出答案。

（2）求解函數(shù)問題。可結合具體的函數(shù)圖像，求解常見的二次函數(shù)區(qū)間求值問題，函數(shù)零值以及討論參數(shù)取值范圍等問題。例如，求函數(shù)零點的個數(shù)，即可轉化為求解函數(shù)和在定義域內的交點個數(shù)。

3.分類討論的思想

分類討論思想即是講一個不好求解的比較復雜的數(shù)學問題，按照給定的基礎條件進行分類，進而分解為幾個基礎性問題，進而求解原問題。分類討論思想最主要的是分類，通過比較問題的相同點和不同點，找到適合分類的基點所在，根據(jù)具體的取值范圍或者函數(shù)圖像進行分類。在分類討論時，必須要掌握分類的基本方法：不重不漏、逐條逐類。高中里邊，常見的數(shù)學分類問題有：（1）數(shù)學概念、性質和法則引起的分類討論：如絕對值和不等式的定義、集合的概念、數(shù)列的概念等。例如：集合，就要討論集合和兩種不同的情況；的取值就要分為三種來求解；等比數(shù)列的前項和公式，分為兩種情況。（2）函數(shù)圖像位置的不確定性回憶起討論：如二次函數(shù)，值的不確定需要根據(jù)函數(shù)的開口方向，對稱軸的不確定性可能會引起函數(shù)位置的不同，可能在軸左邊，也可能在右邊。（3）含有參數(shù)的分類討論：參數(shù)的取值不同可能會導致不同的結果。如，解不等式時，必須分為三種情況討論。

4.等價轉化的思想

等價轉化即是把高中數(shù)學題目中很難著手的問題轉化為我們耳熟能詳?shù)囊阎獑栴}的過程，把未知的轉化為已知，化簡為繁，轉化的過程中一定要注意等價關系，必須把轉化的因果關系記清楚。等價轉化的常見方法有（1）普通語言向數(shù)學語言的轉化，例如，求一個西瓜切九刀，最多可切成多少塊。單憑想象的話，易知切一刀最多兩塊，兩刀四塊，三刀八塊，再往后可能會因為圖形的復雜而計算錯誤，通過等價轉化的方法，將原題轉化為平面分割空間，進而轉化為直線分割平面，點分割直線的問題，再找到其中的不同，便可求解原題。（2）原命題與逆否命題的轉化，求解原命題比較困難的時候轉化為求解其逆否命題。例，求證若，則。直接求解顯然不太容易，可轉化為求解若，則，逆否命題很容易得出為真命題，則原命題也為真。

結 論

數(shù)學思想方位是前人通過不斷地實踐積累出來的寶貴財富，數(shù)學問題的求解就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，靈活地運用各種思想有助于我們便捷準確的得出答案。