摘 要：數(shù)列問題在高中數(shù)學(xué)中一直占有重要地位，知識(shí)點(diǎn)也總是高考的重要考點(diǎn)之一，而數(shù)列求和更是數(shù)列問題中的關(guān)鍵。本文將對(duì)數(shù)列求和中的解題要點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析和總結(jié)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列求和；解題思路

數(shù)列求和這一內(nèi)容蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，而且基本概念、公式本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，故在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位。但是由于數(shù)列題型的多變性以及對(duì)數(shù)列求和問題沒有系統(tǒng)的概念和流暢的思路，并且沒有習(xí)慣去總結(jié)相似題目的解題規(guī)律，使得數(shù)列問題成為困擾我們高中生的攔路虎。為此，掌握與數(shù)列相關(guān)的解題方法與解題技巧，并根據(jù)不同的題目采用不同的方法，是我們解決數(shù)列求和問題的關(guān)鍵。針對(duì)這一問題，以下將簡(jiǎn)單地分析總結(jié)有關(guān)數(shù)列求和的解題要點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。

一、 錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法不但是等比數(shù)列推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式經(jīng)常使用的方法，而且是求通項(xiàng)公式以等差數(shù)列的一次函數(shù)乘以等比數(shù)列的積的形式存在的數(shù)列的和的重要方法，所以錯(cuò)位相減法基本適用于等比數(shù)列的推廣以及各項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列。通過(guò)在已知的求和式的兩邊同時(shí)乘以這個(gè)數(shù)列組成中的等比數(shù)列的公比，再將這個(gè)構(gòu)造的新式與原式并立，減去原來(lái)的求和的式子，就可以化為一個(gè)同倍數(shù)的等比數(shù)列；最后利用等比數(shù)列求和公式，就可以求得原來(lái)數(shù)列各項(xiàng)的和。并且，在一些特殊的數(shù)列求和時(shí)，除了手動(dòng)乘或除上公比，還可以利用系數(shù)構(gòu)造錯(cuò)位相減的條件，例如3n+3n-1×2+3n-2×22+……+3×2n-1+2n的問題，公比似乎無(wú)處可乘，但如果利用“1”的妙處，將1×（3n+3n-1×2+3n-2×22+……+3×2n-1+2n）轉(zhuǎn)化為（3-2）×（3n+3n-1×2+3n-2×22+……+3×2n-1+2n），再展開后，將中間項(xiàng)全部消去，即可得到答案為3n+1-2n+1。

錯(cuò)位相減法能準(zhǔn)確地解決等差與等比混合類型數(shù)列的題目，是解決混合數(shù)列求和的一大步驟，但要正確運(yùn)用，還要注意一些問題，例如在兩式相減時(shí)漏掉最后一項(xiàng)，最后求和時(shí)搞錯(cuò)項(xiàng)數(shù)或者相除時(shí)正負(fù)變化等。

二、 倒序相加法求和

倒序相加最基本的應(yīng)用是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，除此以外，從等差數(shù)列求和拓展開來(lái)，在首末等距兩項(xiàng)之和相同的數(shù)列求和中，也經(jīng)常使用這種方法。把數(shù)列倒過(guò)來(lái)寫，然后把正反兩列相加，得到一個(gè)常數(shù)序列，然后計(jì)算出總和是多少。在面對(duì)一些項(xiàng)數(shù)很多又存在類似規(guī)律的數(shù)列時(shí)，乍一看十分棘手，但如果認(rèn)真觀察項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間等距和的規(guī)律，利用這個(gè)偏技巧性的規(guī)律，往往能減少運(yùn)算量，節(jié)省時(shí)間。在觀察數(shù)列首末等距項(xiàng)之和規(guī)律，運(yùn)用倒序相加法時(shí)，還要注意首末項(xiàng)和的值以及寫成新的數(shù)列時(shí)項(xiàng)數(shù)多少等問題。

三、 等差等比數(shù)列的基本求和公式求和

由于等差等比數(shù)列的求和公式也是從倒序相加法、錯(cuò)位相減法中歸納出來(lái)的，并且單單等差等比求和而不結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)的題目也不占多數(shù)，故在此不贅述。

四、 裂項(xiàng)相消法求和

裂項(xiàng)相消一般運(yùn)用于分式數(shù)列求和，把題目中數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式（例如1n（n+1）=1n-1（n+1）、12n（2n-1）=12n-1-12n），在求和的過(guò)程中，利用中間的大部分項(xiàng)可以相互抵消掉的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單快速的求得其數(shù)列的和。裂項(xiàng)相消變化多樣，有很多不同的形式，非常靈活，適用范圍也非常廣。運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，能夠?qū)⑷唠s的多項(xiàng)數(shù)列消為只有前后幾項(xiàng)的數(shù)，還可以根據(jù)需要調(diào)節(jié)所剩項(xiàng)的數(shù)目，減少運(yùn)算量。解決分式類的數(shù)列求和問題用裂項(xiàng)相消法可以把問題簡(jiǎn)單化，更快捷準(zhǔn)確計(jì)算出問題，但也要注意：裂項(xiàng)相消之后所得的項(xiàng)不一定只有兩項(xiàng)或三項(xiàng)，但必定是前后所剩的數(shù)目相同，正負(fù)性相反的；有些時(shí)候需要先求得數(shù)列的通項(xiàng)，觀察能否裂項(xiàng)，如何裂項(xiàng)，裂項(xiàng)后能否一一相消，再采取方法；裂項(xiàng)為兩個(gè)差時(shí)需要檢查和原來(lái)的式子是否相等，如果不等就要及時(shí)調(diào)整系數(shù)，這樣才能保證裂項(xiàng)后前后兩個(gè)等式一致并相等的前提。

五、 高次項(xiàng)累加法求低次項(xiàng)數(shù)列之和

以求12+22+……+n2為例：

通過(guò)（n+1）3-n3=3n2+3n+1得出了二次方項(xiàng)數(shù)和三次方項(xiàng)數(shù)差之間的關(guān)系

∴（n+1）3-n3=3n2+3n+1、n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1

∴（n+1）3-n3+n3-（n-1）3+（n-1）3-……-23+23-13=3（12+22+……+n2）+3（1+2+……+n）+n，1+2+……+n由等差數(shù)列求和公式可知為n（n+1）2，所以可得12+22+……+n2=n（n+1）（2n+1）6。

雖然12+22+……+n2、13+23+……+n3的結(jié)果更多是當(dāng)作定值為更復(fù)雜的求和服務(wù)，但是這種用高次算低次的思路還是廣泛應(yīng)用于數(shù)列求和。

六、 并項(xiàng)和分組求和

并項(xiàng)一般運(yùn)用在相鄰之間有規(guī)律，并且整個(gè)數(shù)列都存在以兩個(gè)或三個(gè)相鄰項(xiàng)為單位之間關(guān)系，比如和為定值等的數(shù)列。而分組則是當(dāng)碰到一些既不是等差，也不是等比的數(shù)列，但若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列。二者有相通之處，也有不同之處，可以用來(lái)解決同一問題，如求2-1+4-3+6-5+……n+1-n時(shí)，可以用并組的方法，將2-1、4-3、6-5、n+1-n看為一項(xiàng)，利用差值相同，從而化為常數(shù)項(xiàng)再根據(jù)項(xiàng)數(shù)求和；也可以用分組的方法，將偶數(shù)看為一組數(shù)列，奇數(shù)看為一組數(shù)列，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等差數(shù)列，利用公式求和之后再相減即可得解。同時(shí)二者也可用來(lái)解決不同問題，這樣的例子很多。但無(wú)論如何，還是要根據(jù)具體題目具體分析，根據(jù)出題方向和簡(jiǎn)便程度來(lái)判斷解題該用并項(xiàng)還是分組。

七、 總結(jié)

綜上所述，數(shù)列求和作為當(dāng)今高考的熱門，對(duì)于我們解題能力的考察也不斷深入。針對(duì)繁多的數(shù)列求和問題，也有許多相應(yīng)的解題方法，體現(xiàn)著不同的數(shù)學(xué)思維。但是就像分組和合并一樣，具體該采取怎樣的方法，還是要根據(jù)不同的題型，采取最簡(jiǎn)便省時(shí)的方法，在面對(duì)一些較復(fù)雜的數(shù)列求和時(shí)，也要綜合運(yùn)用裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等多種方法。本文將部分高中數(shù)列求和方法要點(diǎn)進(jìn)行了歸納總結(jié)，希望對(duì)我們高中生解決相關(guān)問題有所幫助和啟發(fā)。

作者簡(jiǎn)介：

馮新?lián)P，浙江省臨海市，浙江省臺(tái)州中學(xué)。