王 欣

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100022)

前蘇聯(lián)教育學(xué)家、心理學(xué)家瓦季姆·克魯捷茨基 (Вадим Андреевич Крутецкий)指出，數(shù)學(xué)閱讀是一種從書面數(shù)學(xué)語(yǔ)言中獲得意義的心理活動(dòng)過(guò)程,是包含感知、理解、記憶等一系列心理活動(dòng)以及分析、綜合、推理、判斷、歸納、演繹等一系列思維活動(dòng)的總和.因此數(shù)學(xué)閱讀能力可以定義為：學(xué)生通過(guò)在數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、圖形圖表語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言所呈現(xiàn)的信息中，提取數(shù)學(xué)信息，并能把這些信息同已有的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，從而分析出數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的含義，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)譯解決問(wèn)題的一種能力.對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，語(yǔ)言是思維的載體，借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換，才能獲取信息，訓(xùn)練思維能力，解決問(wèn)題.以解析幾何為例，解析幾何的核心是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，在這一過(guò)程中，就要用到數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)譯，即把問(wèn)題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為圖形語(yǔ)言，再把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為符號(hào)語(yǔ)言，最終利用符號(hào)化的坐標(biāo)(代數(shù)方法)，完成幾何問(wèn)題的求解.而向量在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯過(guò)程中，發(fā)揮了橋梁的作用.向量本身就是一種符合化的語(yǔ)言，它既能反應(yīng)圖形的幾何特征，其坐標(biāo)表示又能方便進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，因此向量是解決解析幾何問(wèn)題過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的重要工具.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)與課堂實(shí)錄

(3)以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求k的值；

(4)橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PAOB為平行四邊形？

(5)直線l與y軸交于N點(diǎn)，若|AN|=|BF1|,求k的值.

生1：不對(duì)，M、A、B三點(diǎn)應(yīng)該在一條直線上，并且AM的長(zhǎng)度與MB的長(zhǎng)度是一樣的，因此M是線段AB的中點(diǎn).

師：回答的非常好.這位同學(xué)抓住了向量的兩個(gè)要點(diǎn)：方向和長(zhǎng)度，向量相等說(shuō)明方向相同，模相等.這個(gè)解析幾何問(wèn)題的條件是以向量的語(yǔ)言表述的，這位同學(xué)幫助我們把向量語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題的描述轉(zhuǎn)化為了幾何圖形的性質(zhì)，即M為AB的中點(diǎn).我們知道解析幾何的核心是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，現(xiàn)在我們已經(jīng)挖掘出了這個(gè)問(wèn)題的幾何特征，那么我們應(yīng)該如何用代數(shù)方法，即坐標(biāo)來(lái)描述M為AB中點(diǎn)這一結(jié)果呢？

生2：設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)M的坐標(biāo).

生3：可以用點(diǎn)差法，構(gòu)造OM的斜率.

師：回答的非常好.這個(gè)問(wèn)題我們借用向量這個(gè)工具，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化.接下來(lái)我們看問(wèn)題(2),向量條件說(shuō)明了什么？

生4：說(shuō)明了直線OA與直線OB是垂直的.

師追問(wèn)：你怎么判斷的？

生4：我畫了向量加法的圖，發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的對(duì)角線是相等的,說(shuō)明是矩形(并上黑板進(jìn)行了演示).

師：也就是說(shuō)你用了向量加法的平行四邊形法則，發(fā)現(xiàn)了對(duì)角線相等，從而平行四邊形就是一個(gè)矩形這一幾何特點(diǎn).那么接下來(lái)我們要怎樣利用OA與OB垂直這一結(jié)論呢？

生5：斜率乘積等于-1！

生6：點(diǎn)乘等于0比斜率乘積是-1好，你怎么知道有斜率？

師：向量的數(shù)量積為0確實(shí)避免了討論斜率是否存在這一問(wèn)題.不知道同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，我們通過(guò)對(duì)已知條件中的向量語(yǔ)言加以分析，發(fā)現(xiàn)了幾何性質(zhì)，但是接下來(lái)的處理我們又重新轉(zhuǎn)回了向量語(yǔ)言？我們的工作豈不是白做了？(微笑)

生7：不是這樣啊，接下來(lái)我們要用坐標(biāo)，用韋達(dá)定理計(jì)算啊.

師：回答的非常漂亮.我們一直強(qiáng)調(diào)，解析幾何是用代數(shù)(坐標(biāo))方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，而向量運(yùn)算，恰好既有向量表達(dá)式又有坐標(biāo)表達(dá)式，從而很好地搭建了代數(shù)與幾何之間的橋梁，是一個(gè)很好的工具.希望同學(xué)們可以好好利用這個(gè)工具.那么接下來(lái)我們看第(3)個(gè)問(wèn)題.

生8(搶著說(shuō))：咦？這是一個(gè)問(wèn)題啊.

師：具體解釋一下.

生8：第(3)個(gè)問(wèn)題與第(2)個(gè)問(wèn)題是一樣的問(wèn)題.以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，不還是說(shuō)明直線OA與OB是垂直的，跟上一個(gè)問(wèn)題是一樣的啊.

師：說(shuō)對(duì)了.但是這兩個(gè)問(wèn)題在已知條件的敘述上是不一樣的.

生9：(3)的說(shuō)法更好理解.

師：(笑)但是(2)的說(shuō)法更簡(jiǎn)潔啊！(3)是用文字語(yǔ)言來(lái)描述一個(gè)幾何特征，而(2)是用符號(hào)語(yǔ)言在描述這個(gè)幾何特征，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的描述還是符號(hào)語(yǔ)言更能體現(xiàn)我們數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.接下來(lái)我們看問(wèn)題(4),還是用文字語(yǔ)言來(lái)表述的幾何性質(zhì)，我們應(yīng)該如何分析？

生10：(似乎受到了解決前面問(wèn)題用向量方法的啟發(fā))，向量相等解決吧？

師：什么向量相等？

師：看了這位同學(xué)已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何用向量語(yǔ)言來(lái)描述幾何圖形的性質(zhì)了，有沒(méi)有其他形式的向量表示來(lái)解釋平行四邊形這個(gè)條件？

師：嗯！這樣來(lái)翻譯平行四邊形這個(gè)條件，對(duì)這個(gè)問(wèn)題而言，確實(shí)比較簡(jiǎn)潔，韋達(dá)定理直接就用上了.非常好.看來(lái)我們對(duì)于向量這個(gè)工具的運(yùn)用已經(jīng)有了一定的建樹(shù).那么我們看下一個(gè)問(wèn)題，大家怎么處理？我看有些同學(xué)皺眉頭，我知道你們是最不愿意處理距離問(wèn)題的，公式太麻煩，計(jì)算量還大，不一定算得對(duì)，是這樣嗎？

很多學(xué)生笑.

師：那么有了我們前面幾個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)，看看我們同學(xué)有沒(méi)有什么方法可以成功避免去求距離？

生12：用向量的模相等做.

生13：(立刻反對(duì))模相等不還是長(zhǎng)度相等.

師：說(shuō)的是.我們不能為了用向量而用向量，有沒(méi)有什么方法躲開(kāi)求向量的模？

生14：其實(shí)就是向量直接相等就可以了.

師：為什么？

生14：因?yàn)楣簿€啊，四個(gè)點(diǎn)在一條直線上，所以方向相同的話，模相等就是向量直接相等.

師：說(shuō)的非常好，成功地將幾何性質(zhì)用向量語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述出來(lái)了，距離相等轉(zhuǎn)化為了向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題的代數(shù)化.

畫圖、計(jì)算、總結(jié)部分此處略……

二、歸納總結(jié)與方法提煉

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，以向量這個(gè)工具為媒介，通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生更加深刻地體會(huì)了解析幾何的本質(zhì).

以2010年北京高考題為例：

還有很多類似的，以向量為工具，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的例子.譬如A、P、B三點(diǎn)共線問(wèn)題，用向量語(yǔ)言翻譯，有如下可能：(1)存在非零實(shí)數(shù)λ，使得AP=λPB;(2)OP=tOA+(1-t)OB;(3)|PA||PB|=PA·PB.

歸納一下高中階段解析幾何中，一些可以被向量語(yǔ)言來(lái)翻譯的幾何模型如下：

向量條件幾何關(guān)系A(chǔ)M→=MB→;OM→=12(OA→+OB→) M為線段AB中點(diǎn)OA→·OB→=0 點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上(或∠AOB為直角)OA→·OB→<0且OA→≠λOB→點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)(或∠AOB為鈍角)OA→·OB→>0且OA→≠λOB→點(diǎn)O在以AB為直徑的圓外(或∠AOB為鈍角)AP→=λPB→ 或OP→=tOA→+(1-t)OB→或|PA→||PB→|=PA→·PB→A、P、B三點(diǎn)共線PQ→·AB→=0已知PA=PB的等腰?APB,取AB的中點(diǎn)Q,|PA|=|PB|AP→=QB→;或AB→=AP→+AQ→四邊形APBQ是平行四邊形AB→=AP→+AQ→且AQ→·AP→=0;或|AP→+AQ→|=|AP→-AQ→| 四邊形APBQ是矩形AB→=AP→+AQ→且AB→·PQ→=0四邊形APBQ是菱形OA→·OB→=12OC→·OD→S△AOB=12SΔCOD

運(yùn)用向量法解決解析幾何問(wèn)題，并沒(méi)有削弱坐標(biāo)法解決解析幾何問(wèn)題的主體地位，因?yàn)橄蛄窟\(yùn)算的本質(zhì)仍然是坐標(biāo)運(yùn)算.向量法在幾何圖形性質(zhì)的表述上更加簡(jiǎn)潔和直接，向量兼具“數(shù)”和“形”的雙重特點(diǎn)，借助向量在解決與共線、垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題時(shí)，可以減少運(yùn)算量，使得幾何與代數(shù)的聯(lián)系更加自然和緊密.

從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過(guò)程，也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)和構(gòu)建的過(guò)程.

從信息加工的理論看，要完成上述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就要完成數(shù)學(xué)信息提取與數(shù)學(xué)信息加工這兩個(gè)過(guò)程.而數(shù)學(xué)信息的呈現(xiàn)是通過(guò)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)的，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思維的載體.因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的實(shí)質(zhì)，就是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，而對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)過(guò)程，又培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維，獲得了解決問(wèn)題的方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)能力.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言共分三種，文字語(yǔ)言、圖形圖表語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，其中文字語(yǔ)言通俗易懂，圖形語(yǔ)言直觀形象，符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔抽象，各有所長(zhǎng).數(shù)學(xué)把現(xiàn)實(shí)生活中的量的關(guān)系、量的變化、形的特征抽象成為一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)模型，并把它們符號(hào)化，所以對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的把握就要把符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)譯成通俗易懂的文字語(yǔ)言或者是直觀形象的圖形語(yǔ)言.在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在這三種語(yǔ)言之間進(jìn)行切換，轉(zhuǎn)譯，從而達(dá)到重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，或者構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型的目的，獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)、解決新的問(wèn)題.