賀明

摘 要：數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是有效將直觀圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言相結(jié)合，令形象思維與抽象思維相融合，從而通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化以及圖形認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的形象性思維，進(jìn)而使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變的簡(jiǎn)單化，抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題趨向于具體化?？梢哉f(shuō)，數(shù)形結(jié)合能揚(yáng)數(shù)之長(zhǎng)，取形之優(yōu)，使得數(shù)形珠聯(lián)璧合、相映生輝。因此初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而使得學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)科目中一種極其重要的科學(xué)方法，其既能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，又能夠發(fā)散學(xué)生的思維，還能夠提升學(xué)生的解題能力。因此，教師不妨巧用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，提升教學(xué)質(zhì)量。

一、引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方式有效解決幾何問(wèn)題

用代數(shù)方式有效解決幾何問(wèn)題，就是用數(shù)的方式解決圖形的問(wèn)題。如圖形的周長(zhǎng)、面積或者其他的相關(guān)性質(zhì)，都可以通過(guò)代數(shù)方式解決。

如這道例題：已知三角形ABC的三邊分別為m2-n2，2mn，m2+n2，其中m，n均為正整數(shù)，且m>n，求三角形ABC的面積。（用含有m、n的代數(shù)式表示）圖形的面積是一個(gè)幾何問(wèn)題，一般而言，要想求出三角形的面積，就要知道三角形的底和高，然后通過(guò)底乘以高除以2的公式得出三角形的面積。但是在上述題目中，我們顯然無(wú)法知道三角形的底和高，因?yàn)轭}目中就給出了三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)。通過(guò)三個(gè)邊長(zhǎng)這個(gè)已知條件，學(xué)生有可能就會(huì)想到，如果這三條邊滿足a2+b2=c2，那么就說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，兩條直角邊就是三角形的底和高，進(jìn)而就能求出三角形的面積。所以我們可以展開(kāi)數(shù)的變形計(jì)算：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，其滿足直角三角形的三邊關(guān)系，所以三角形ABC的面積就是（m2-n2）×2mn，化簡(jiǎn)后就是m3n-mn3。

以數(shù)助形的題目還有很多，如證明圓內(nèi)接矩形中正方形的面積最大。這個(gè)幾何證明題目，如果用幾何作圖的方式證明，就很難找到證明的突破口。但是如果用代數(shù)中求最值的方法來(lái)證明，則比較容易。學(xué)生可以通過(guò)圓半徑r與矩形邊長(zhǎng)x，表示出矩形的鄰邊長(zhǎng)，進(jìn)而矩形的面積就是矩形邊長(zhǎng)乘以矩形鄰邊長(zhǎng)，求其最大值，就是圓內(nèi)接矩形的最大面積。

二、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問(wèn)題

實(shí)際生活中的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，都可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想加以解決。而且數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，只是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒(méi)有意識(shí)到。如在小學(xué)低年級(jí)階段，經(jīng)常會(huì)有這樣的題目：小明家住在幾樓，小明家以下有幾層樓，以上有幾層樓，小明家所在單元樓總共有幾層。如果學(xué)生能夠通過(guò)作圖的方式，就很容易計(jì)算出總體的樓層數(shù)。小學(xué)高年級(jí)遇到的植樹(shù)問(wèn)題，在總長(zhǎng)多少的道路上，每隔多少米植一棵樹(shù)等，也可以通過(guò)作圖的方式解決。

到了初中，當(dāng)然也會(huì)遇到需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比較有代表性的應(yīng)用題目就是路程中的相遇問(wèn)題，某人或者某車(chē)從兩地相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間相遇，然后求速度或者路程。這種類(lèi)型的題目也能夠通過(guò)作圖的方式快速解決，因?yàn)閳D形會(huì)幫助學(xué)生一目了然地了解其中的數(shù)量關(guān)系。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行總結(jié)歸納，把所有適用于數(shù)形結(jié)合思想的題目總結(jié)到一起，進(jìn)而快速解決。

三、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)定理

數(shù)學(xué)科目中會(huì)涉及大量的概念和定理，有些概念法則是通過(guò)推導(dǎo)得來(lái)的，有些概念法則是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)發(fā)展中約定俗成的，還有些概念法則與圖形有著密切的聯(lián)系。所以，在引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念法則時(shí)，教師不妨通過(guò)作圖的形式，從而讓學(xué)生知其然也知其所以然。

首先是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)軸理解實(shí)數(shù)的相關(guān)概念。何為實(shí)數(shù)？有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。那么什么是相反數(shù)呢？表示在數(shù)軸上就是到數(shù)軸原點(diǎn)距離相等的數(shù)，與此同時(shí)，學(xué)生也會(huì)理解絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值就是距離，所以無(wú)論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，他們的絕對(duì)值都是正數(shù)，因?yàn)橹挥姓龜?shù)才能表示某一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離?？梢哉f(shuō)，一個(gè)數(shù)軸，就能幫助深刻理解實(shí)數(shù)、相反數(shù)以及絕對(duì)值等概念的意義。而且在數(shù)軸上，數(shù)的大小關(guān)系一目了然，所以學(xué)生在比較負(fù)數(shù)的大小時(shí)，就更能清楚其中的意義。

其次是函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。如一次函數(shù)的斜率，表示在函數(shù)圖像上就是直線的傾斜程度。如一次函數(shù)的截距，其意義就是一次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。如二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，就是函數(shù)圖像處于最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的與x軸垂直的直線。

再次，方程與函數(shù)也有著一定的聯(lián)系。二元一次方程所對(duì)應(yīng)的解，就是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)。如果二元一次方程有兩個(gè)解，那么就是二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的解。類(lèi)似的，還有二元一次方程一個(gè)解和沒(méi)有解時(shí)，二次函數(shù)圖像均與x軸有著不同的交點(diǎn)。

總而言之，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，如果學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，那么學(xué)生就能更深刻地感受到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的成就感，就能增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。因此，教師要在教學(xué)活動(dòng)中有效滲透數(shù)形結(jié)合的思想，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 馮志強(qiáng)