懷忠玲 李方坤 何承紅

摘 要：智慧課堂是以關注學生的學習過程，完善學生的人格成長，促進學生的智能發(fā)展，提高學生的綜合素質為目標的課堂，最終實現(xiàn)以提升學生核心素養(yǎng)、綜合思維能力為指向的智慧發(fā)展。數(shù)學教學應注意引導學生在原有知識和經(jīng)驗的基礎上，主動構建知識網(wǎng)絡體系，自然地將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在課堂教學中。

關鍵詞：智慧課堂;核心素養(yǎng);類比法;自然教學

高中數(shù)學核心素養(yǎng)是學生發(fā)展全面的重要組成部分，主要包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等要素。學生通過高中數(shù)學課程的學習，在知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面全面發(fā)展，進而形成數(shù)學學科核心素養(yǎng)。隨著教育信息化水平的不斷提升，移動教學及學習終端等更趨于智能化，在這種情況下，師生雙方、生生之間均能夠產(chǎn)生多元化的互動效果。對于教師的教學行為、學生的學習行為，智慧課堂教學模式都能夠實現(xiàn)基于大數(shù)據(jù)的深入挖掘與準確分析，據(jù)此可以徹底解決傳統(tǒng)課堂教學模式下的過程性評價缺失的問題，實現(xiàn)教育教學的大數(shù)據(jù)支撐，使得課堂教學更高效。

下面以北師大版教材必修4第一章第7.1和7.3節(jié)《正切函數(shù)的定義與誘導公式》一課為例加以說明。

一、基本情況

（一）學情分析

學生已經(jīng)學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，本節(jié)課主要通過類比，啟發(fā)學生自主探究正切函數(shù)的概念和誘導公式。教師的“講”要讓位于學生的自主學習，讓學生通過觀察、類比、討論，自主歸納正切函數(shù)的誘導公式，培養(yǎng)學生的自學習慣。

（二）教材分析

教材首先根據(jù)單位圓得到正切函數(shù)的定義，給出正切線的概念，并類比畫正弦函數(shù)圖像的方式，利用正切線畫出正切函數(shù)的圖像，在圖像的基礎上得到正切函數(shù)的誘導公式?？紤]到學校課時安排，一節(jié)課只講定義內容太少，定義和圖像都講內容又太多，筆者決定把定義和誘導公式放在一起作為一個課時，圖像單獨作為一個課時，本文只講第一課時。這樣就需要對教材內容重新處理，誘導公式的獲取不能再依靠圖像，只能借助定義或者正切線。

教學目標：（1）借助單位圓理解三角函數(shù)的定義;

（2）了解三角函數(shù)的周期性;

（3）借助單位圓的對稱性，用定義推導出誘導公式。

教學重點：借助單位圓理解任意角的正切函數(shù)的定義與誘導公式。

教學難點：正切函數(shù)的誘導公式與應用。

（三）教學環(huán)境

筆者所在學校今年剛裝了智慧課堂教學系統(tǒng)，是以建構主義學習理論為依據(jù)，利用大數(shù)據(jù)、云計算、物聯(lián)網(wǎng)和移動互聯(lián)網(wǎng)等新一代信息技術打造的，實現(xiàn)課前、課中、課后全過程應用的智能、高效的課堂。其實質，是基于動態(tài)學習數(shù)據(jù)分析和“云、網(wǎng)、端”的運用，實現(xiàn)教學決策數(shù)據(jù)化、評價反饋即時化、交流互動立體化、資源推送智能化，創(chuàng)設有利于協(xié)作交流和意義建構、富有智慧的學習環(huán)境，通過智慧的教與學，促進全體學生實現(xiàn)符合個性化成長規(guī)律的智慧發(fā)展。以教室為單元的信息化環(huán)境，實現(xiàn)計算、存儲、同步和設備組網(wǎng)等功能，保證課堂內外穩(wěn)定交互.移動終端等智能設備和互聯(lián)網(wǎng)的應用為師生、生生的交互提供環(huán)境。

二、教學過程

（一）課前引入

師：最近天氣漸暖，春暖花開，百花爭艷，讓我們一起來欣賞一下。花兒為什么這樣美？

（課件同步展示姹紫嫣紅的花兒）

師：除了鮮艷與芬芳，它們還有什么共性？

生：（片刻沉思）對稱，這些花兒具有對稱性。

師：同學們說得非常好。對稱美是形式美的美學法則之一。其實在數(shù)學圖形中也有很多對稱美，大家能舉些例子嗎？

生：圓、正方形、等腰三角形……

師：大家說得對，而且在這些平面圖形中最具有對稱性的圖形就是圓了。著名的哲學家、數(shù)學家、音樂家畢達哥拉斯也曾經(jīng)說過“一切平面圖形中最美的是圓。”其實我們在前兩節(jié)課已經(jīng)借助單位圓研究了正余弦函數(shù)，今天我們也將繼續(xù)借助單位圓來學習正切函數(shù)的圖像與性質。首先我們來復習一下單位圓中角的終邊的對稱性（如圖1）。

設計意圖：審美教育是數(shù)學教育的一個重要內容，學生對美的感受能夠從感性走向理性，在形象思維的基礎上增強理性思維能力。本環(huán)節(jié)以身邊的美景引入生活中的對稱美，進而聯(lián)系到單位圓，為本節(jié)課誘導公式的推導做好鋪墊。不僅培養(yǎng)了學生的審美情趣，也體現(xiàn)了教師對數(shù)學教學的一種追求。

（二）新課講授

1.結合課程標準展示教學目標

（1）借助單位圓理解三角函數(shù)的定義;

（2）了解三角函數(shù)的周期性;

（3）借助單位圓的對稱性，用定義推導出誘導公式。

2.正切函數(shù)的定義

首先借助單位圓復習正余弦函數(shù)定義，然后引導學生發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)表達式。

由此可知，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).我們統(tǒng)稱它們?yōu)槿呛瘮?shù)。

設計意圖：類比法是學生在學習知識、系統(tǒng)掌握知識和鞏固知識的有效方法，能使學生知識網(wǎng)絡化、系統(tǒng)化。本環(huán)節(jié)類比正余弦函數(shù)定義，結合初中所學銳角正切值，得出任意角的正切函數(shù)定義，使學生原有知識發(fā)生遷移，構建新的知識體系。

（2）正切線

過點A（1，0）作x軸的垂線，與角的終邊或終邊的延長線相交于T點，線段AT稱為角α的正切線（如圖3）。

活動1：學生自行畫出終邊在其他象限的正切線，并借助手持平板終端拍照上傳。

教師對個別學生作圖情況進行點評，并借助教學軟件廣播功能，對每一象限的正切線進行解釋，強調正切線是三角函數(shù)值的一種幾何表示，不僅能表示大小，也能表示正負。

設計意圖：學生的思維能力、數(shù)學認知能力都要通過學生自己的學與做來提升，任何人代替不了，所以我們的教學應突出學生的主體地位.正切線是本節(jié)內容的難點，不僅要求學生會作圖，還要理解正切線的涵義，為后面的應用打好基礎.在此環(huán)節(jié)中學生交流與書寫的過程針對學生的作圖情況，教師要給予適當?shù)脑u價和鼓勵。

（三）互動探究

師：通過觀察正切線，推測正切函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是，周期為多少？

生：因為角α與角kπ+α的正切線一樣，即tan（kπ+α）=tanα. 所以正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為π。

活動2：類比正弦、余弦函數(shù)的誘導公式，探究角α與角-α的正切函數(shù)值有何關系？寫出推導過程并拍照上傳。（教師提示學生可以從定義或者三角函數(shù)線或者三角函數(shù)的商數(shù)關系幾個角度去猜測并證明。）

根據(jù)正切函數(shù)周期性，得出正切函數(shù)誘導公式如下：

（1）tan（-α）=-tanα

（2）tan（2π+α）=tanα

（3）tan（2π-α）=-tanα

（4）tan（π+α）=tanα

（5）tan（π-α）=-tanα

口訣：“函數(shù)名不變，符號看象限?！?/p>

設計意圖：周期性是三角函數(shù)最突出的性質，是研究三角函數(shù)其他性質的基礎，是函數(shù)性質的重要補充。本環(huán)節(jié)讓學生類比猜出所學新知識的內容，使學生由被動學習變主動學習。引導學生從所學知識入手，循序漸進，將“探索發(fā)現(xiàn)”的懸念交給學生，把“創(chuàng)新發(fā)明”的成就留給學生。在充分了解學情的前提下，尊重學生的原有認知結構實施精準教學。問題解決的過程，培養(yǎng)了學生的合作探究能力和分析解決問題的能力。鼓勵學生用不同的方法對誘導公式進行證明，使得學生的思維更深刻，更廣闊，更靈活。

方法歸納：負角的三角函數(shù)→正角的三角函數(shù)→0～2π的角的三角函數(shù)→銳角的三角函數(shù)

設計意圖：本環(huán)節(jié)重在檢測學生對本節(jié)課的學習效果，檢驗他們對知識理解、掌握、應用的程度。學生通過手持終端在線答題，教師能夠實時觀察學生答題情況，等到學生基本都完成答題時，教師可以在線查看學生每一個題目的正確率，對于正確率低的題目教師需要為學生詳細講解。教師可充分利用智慧課堂系統(tǒng)功能為數(shù)學教學服務?；谡J知主義的學習診斷與信息技術相結合，形成智能化的診斷系統(tǒng)為教學所用。

（六）課堂小結

從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度對課堂進行小結：

1.數(shù)學抽象：借助單位圓理解正切函數(shù)的定義;

2.直觀想象：根據(jù)單位圓的對稱性發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量之間的關系;

3.邏輯推理：類比正余弦函數(shù)定義和誘導公式，理解正切函數(shù)定義和誘導公式;

4.數(shù)學運算：了解正切函數(shù)誘導公式運算法則極其適用范圍。

設計意圖：回顧本節(jié)課的內容，詢問學生有怎樣的收獲，點評并進行歸納。引導學生從不同維度對本節(jié)課進行總結，提升學生的自主學習能力，培養(yǎng)抽象概括的數(shù)學素養(yǎng)。

三、回顧反思

（一）關于教學設計

1.本教學設計始于課程標準，終于學科素養(yǎng)，教學目標明確，教學環(huán)節(jié)設計合理。

2.結合學生的實際情況，盡可能從學生熟知的生活背景和數(shù)學知識內部發(fā)展的需要去引導學生主動地發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。創(chuàng)設情境細化過程，讓學生自主感悟概念的生成。舉一反三解決問題，讓學生不斷積累自主認知的經(jīng)驗。

（二）關于課堂教學

1.智慧課堂教學環(huán)境精準的數(shù)據(jù)分析功能，為教師了解學生提供了很大方便，實現(xiàn)動態(tài)教學數(shù)據(jù)的及時反饋，量化教與學的效果。以學定教，根據(jù)數(shù)據(jù)分析結果確定教學策略。

2.教學過程順應學生的認知規(guī)律，讓數(shù)學課堂教學更自然;數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結合于每一個教學活動中，融合于教學的每一塊具體內容中。

建構主義認為，知識不能簡單地由教師進行“復制”再“粘貼”到學生的頭腦中，而只能是每個學生依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構的過程。學生已有的經(jīng)驗是課堂教學的”出發(fā)點”，也是知識的“生長點”。我們的教學過程中應引導學生自主構建知識網(wǎng)絡體系，自然地將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到教學中。

智慧課堂基于人工智能的學習環(huán)境，通過多終端設備的智能化運用，打破傳統(tǒng)意義教室的黑板、講臺和時空概念，變革傳統(tǒng)課堂的布局，形成富有智慧的學習環(huán)境?；趧討B(tài)學習數(shù)據(jù)分析，采用移動終端實現(xiàn)伴隨式數(shù)據(jù)采集（教學互動、作業(yè)等），實現(xiàn)對學生的學習過程進行動態(tài)、實時的診斷評價和反饋。合理使用智慧課堂教學環(huán)境可以提高學生學習興趣，提高課堂效率，使學生真正成為課堂的主人。

編輯 喬彥鵬