陳光明

利用幾何直觀可以把抽象的數(shù)學概念和原理進行直觀描述，可以幫助學生理解題意、找到解決問題的思路、預(yù)測問題的結(jié)果，其在學生數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要作用。

一、借助幾何直觀，幫助學生理解數(shù)學

1. 理解概念。學生從學習簡單的整數(shù)開始，到學習十進制整數(shù)，還有分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)……在學習數(shù)的任何一個階段都離不開幾何直觀的支持。利用幾何直觀，可以將抽象的“數(shù)”具體化、直觀化，以幫助學生建立數(shù)感。

如在教學“平均數(shù)”時，為了幫助學生理解抽象的“平均數(shù)”意義，筆者設(shè)計了以下幾個環(huán)節(jié)：

（1）用條形統(tǒng)計圖展示4、9、7、12這一組數(shù)據(jù)，讓學生用一個恰當?shù)臄?shù)來作為這一組數(shù)據(jù)的代表。通過課件演示，用“移多補少”的方法使所有“條形”都變得“一樣高”（見圖1），使學生直觀地理解平均數(shù)的意義，并在此基礎(chǔ)上推導出計算平均數(shù)的方法。

（2）在原有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上又加入一個新數(shù)據(jù)“3”，并向?qū)W生提問：平均數(shù)會發(fā)生什么變化，為什么會這樣變化？通過課件演示，將前面的四個“條形”各移動一格補給“3”，又一次使所有“條形”變得一樣高，得到了新的平均數(shù)“7”（見圖2）。

2. 理解原理。數(shù)學中的許多定理都是從概念出發(fā)，通過演繹推理的方式逐步推導出來的。小學生的邏輯思維還沒達到應(yīng)有的高度，教師不可能用嚴密的“公理化”方式來教學數(shù)學知識。為了能更好地理解數(shù)學中的各種原理，讓數(shù)學散發(fā)其應(yīng)有的吸引力，學生在經(jīng)歷數(shù)學原理的探索、發(fā)現(xiàn)與推導的過程中，幾何直觀是必要的輔助手段。

如在計算“圓環(huán)的面積”時，學生經(jīng)常會將兩個數(shù)的平方差算成兩個數(shù)差的平方。為了演示二者的區(qū)別，筆者給學生提供了左邊的圖形（圖3），讓學生觀察后思考：哪部分的面積是92-72，哪部分的面積是（9-7）2，它們的大小一樣嗎？借助圖形，學生就能直觀地區(qū)別“平方差”與“差的平方”的不同。

3. 理解模型。數(shù)學模型的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，學生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，并用數(shù)學的方法研究和解決問題，最終得到結(jié)果，是數(shù)學建模的一般步驟。而幾何直觀模型通常是現(xiàn)實問題與高度抽象的數(shù)學模型之間的橋梁。

為了能更好地幫助學生建立“植樹問題”的三種不同的模型，在教學時筆者借助如下幾何直觀模型，用“一一對應(yīng)”的思想來引導學生提煉出植樹問題的三種“數(shù)學模型”（見表1）。

二、借助幾何直觀，幫助學生解決問題

1. 理解題意。人教版五上中的“分段計費”問題常常是學生學習的難點，主要是因為學生不能正確理解題意。在教學時，筆者引導學生將問題中的數(shù)量關(guān)系用“線段圖”的方式“畫”出來（見表2），通過這種方式幫助學生理解題意，收到良好的效果。

2. 啟發(fā)思路。學生在數(shù)學學習過程中經(jīng)常會遇到一些數(shù)量關(guān)系比較復雜的問題。為了厘清問題的數(shù)量關(guān)系，弄清有用信息與隱含信息，啟發(fā)解題思路，通?？梢岳弥庇^圖來描述和分析問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找到解決問題的路徑。

如這樣一道題目：將一個表面積是110 cm2的長方體分割成大小相等的5個小正方體后，表面積之和增加了多少平方厘米？筆者所在學校的某班回答這道題的正確率遠高于同年段的其他班級。后來年級的幾位數(shù)學教師翻看了該班同學的試卷，原來這個班上大多數(shù)同學都在本題的旁邊自覺地畫上了左邊的“草圖”（圖4）。該長方體未分割前有22個面，每個面積是5 cm2，增加的8個面剛好為40 cm2。由此可見，“畫圖”對于幫助解決較為抽象的數(shù)學問題起到化抽象為具體的作用。

3.“看”出結(jié)果。學生在學完圓的面積后，筆者設(shè)計了這樣的問題：用一張A4紙（長29.7 cm、寬21 cm）最多可以剪出多少個直徑是5 cm的圓片？

受到思維定勢的影響，學生想當然地用長方形的面積除以一個圓片的面積算出可以剪出31個圓?？吹綄W生的答案后，筆者并沒有馬上予以否認，而是給他們發(fā)一張A4紙，讓他們將31個圓畫出來。在學生畫圓的過程中就陸續(xù)有學生發(fā)現(xiàn)長方形紙上有很多空隙沒辦法被利用。借助“畫圓”讓學生明白剪圓時必須先剪邊長與直徑相等的正方形，能剪多少個這種正方形，就能剪多少個圓。也讓學生明白考慮問題要結(jié)合實際情況，同時也讓學生認識到，有些問題的答案居然能夠通過畫圖的方法被輕易地“看”出來。

三、借助幾何直觀，促進學生思維嚴密

幾何直觀作為數(shù)學思考的有力工具，為數(shù)學的創(chuàng)造和發(fā)展帶來無盡的靈感。但建立在直觀或直覺上得到的結(jié)論不能代替嚴密的推理。隨著學生學習的深入，應(yīng)該讓學生明白——借助幾何直觀“看”到的結(jié)果必須要經(jīng)過推理論證后才更加可信，以此逐步提高學生思維的嚴密性。

如在計算右邊組合圖形（圖5）的面積時，有學生將組合圖形分割成三個三角形，分別計算這三個三角形的面積再相加，得出的結(jié)果是122 cm2。但學生通過運用“幾何畫板”計算出∠ABC的度數(shù)后發(fā)現(xiàn)：原來兩條折線AB和BC所成的角不是平角，圖中的虛線ABC實際上不是一條直線，所以用這種方式計算組合圖形的面積時，多算了面積。

通過這個實例，讓學生明白有時通過直觀“看”出來的結(jié)論也會有錯，必須經(jīng)過推理論證才能使結(jié)論更有保證，使思維逐步向科學性、嚴密性發(fā)展。

（作者單位：福建省福清市高山中心小學）