林淑金

[摘???要]準(zhǔn)確選擇初三總復(fù)習(xí)“關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)”能有效解決初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中存在的難點(diǎn)問題，有助于教師探索提高初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量的新途徑和新方法.初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的選擇要緊扣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不斷提升.

[關(guān)鍵詞]初三數(shù)學(xué);總復(fù)習(xí);關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn);三角形;中位線

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0025-03

復(fù)習(xí)課非平常課，復(fù)習(xí)目標(biāo)要具體明確、直接到位，對知識的梳理不能是簡單地回顧重復(fù)，而是要加深知識間的內(nèi)部聯(lián)系，要以點(diǎn)帶面，進(jìn)行邏輯連接，要有思想方法的滲透、歸納、總結(jié)和提升.下面筆者以“三角形之中位線和中線”的復(fù)習(xí)為例，探討對復(fù)習(xí)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的選擇、實(shí)施和思考.

一、將“三角形之中位線和中線”設(shè)置為復(fù)習(xí)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的理由

“三角形之中位線和中線”是初中數(shù)學(xué)的重要知識，其包含的基本圖形和滲透的幾何解題方法是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).考試大綱對這部分內(nèi)容提出了比較高的要求：理解三角形的中線，能用文字語言、符號語言和圖形語言解釋三角形的中線;探索并證明三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)定理，能將三角形問題轉(zhuǎn)化為四邊形問題來解決，滲透化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

將“三角形之中位線和中線”設(shè)置為復(fù)習(xí)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)，有助于提高學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).對定理證明的再回顧，有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系.直觀想象能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析并解決問題，探索并形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理，增強(qiáng)運(yùn)用圖形思考問題的意識.

二、“三角形之中位線和中線”復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、四邊形等幾何知識，能認(rèn)知相關(guān)概念與性質(zhì)，初步具有幾何直觀、應(yīng)用意識和一定的邏輯推理能力，基本掌握了幾何圖形研究的一般思路和方法，但是對定理的證明以及定理證明過程中滲透的幾何解題方法及輔助線的作法缺乏系統(tǒng)的歸納，對于需要作輔助線的幾何題往往無從下手，找不到解題突破口.

中考復(fù)習(xí)時間緊、內(nèi)容多，如果盲目地刷題，沒有及時地歸納總結(jié)只會事倍功半.通過“三角形之中位線和中線”的復(fù)習(xí)，可讓學(xué)生一見“中點(diǎn)”就能利用倍長中線法和構(gòu)造中位線法構(gòu)造三角形全等，從而證明線段間的數(shù)量關(guān)系，找到解題的突破口，有效提高了學(xué)生的思維能力和解決問題的能力.

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形中位線和中線性質(zhì)的應(yīng)用，以及通過復(fù)習(xí)定理證明過程，挖掘證明過程中滲透的倍長中線法和構(gòu)造中位線法.

難點(diǎn)：幾何證明中輔助線的作法.

（三）教學(xué)目標(biāo)

（1）加深對已知條件帶中點(diǎn)決定的三角形線段間的數(shù)量關(guān)系的理解，熟練應(yīng)用三角形中位線定理及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)，強(qiáng)化訓(xùn)練涉及重要知識點(diǎn)的中考題型.

（2）回顧定理的證明過程，歸納倍長中線法;思考完成例題，提高解決問題的能力，進(jìn)一步提升幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（四）教學(xué)過程

1.“中”字引課，梳理中位線、中線及相關(guān)定理

問題1：看到“中”字，你會想到什么？

學(xué)生回答：中點(diǎn)，中位線（多個中點(diǎn)），中點(diǎn)四邊形（多條中位線），中線，中（重）心（多條中線），等等.

問題2：這個“中”字和哪個數(shù)字有密切的關(guān)系？請舉例說明.

學(xué)生可能會說2和[12]這兩個數(shù)字.所舉的例子有：已知點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，那么AB=AC=[12]BC（初中最早學(xué)的一組因果關(guān)系）;已知AD為△ABC的中線，那么S△ABD=S△ADC=[12]S△ABC?，等等.只要學(xué)生所舉的例子是合理的，教師都應(yīng)該給予肯定.

問題3：你能回憶起幾個有關(guān)三角形中點(diǎn)，并包含線段[12]數(shù)量關(guān)系的定理或結(jié)論？

學(xué)生回答：（1）三角形的中位線定理;（2）直角三角形的中線性質(zhì)定理;（3）含30°角的直角三角形的直角邊和斜邊的關(guān)系;（4）等腰三角形的“三線合一”.

【設(shè)計(jì)意圖】前3個問題通過中文字面理解，揭示“中”與“[12]”數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，借此調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)興趣.

問題4：你可以畫出這些定理或結(jié)論對應(yīng)的基本圖形嗎？

學(xué)生所畫的圖形：

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵學(xué)生動手畫圖，實(shí)現(xiàn)由文字語言到圖形語言的轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)了學(xué)生對圖形的直觀意識.

問題5：對于定理的直接應(yīng)用，你能熟練掌握嗎？

（教師展示三道中考題供學(xué)生訓(xùn)練）

中考題1.如圖2，平行四邊形ABCD的周長為28，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=10，則△DOE的周長為（????????）.

A.?28B.?24C.?12D.?17

考點(diǎn)分析：平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線定理.

中考題2.?如圖3，在Rt[△]ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，若BC=2，則EF的長度為（????????）.

A.?[12]?????????????????????B.?1

C.?[32]?????????????????????D.?[3]

考點(diǎn)分析：直角三角形斜邊上的中線，三角形的中位線定理.

中考題3.如圖4，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長為16，∠BAD=60°，則△OCE的面積是（????????）.

A.?[3] B.?2 C.?[23] D.?4

考點(diǎn)分析：三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】通過2018年各省市的中考高頻考題，明確三角形中位線及中線的相關(guān)定理的考點(diǎn).三個問題有一些梯度，但又不是太難，應(yīng)該成為學(xué)生平時訓(xùn)練的重點(diǎn)題型.

2.回歸課本，啟迪新思路

問題6：這3個常用的“[12]”定理是怎么證明它們的正確性的？畫出圖形試試看.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生畫出三個定理證明的圖形，強(qiáng)調(diào)動手畫圖的重要性.

問題7：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這三個定理的證明過程非常相似？相似點(diǎn)在哪里？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形歸納出幾何證明的常用方法，同時讓學(xué)生領(lǐng)悟輔助線的作法，尤其是倍長中線法.

問題8：已知三角形的兩邊AB，AC分別為8和6，則第三邊BC的中線AD的取值范圍是.對于此題，你打算從何入手？突破口在哪？

【設(shè)計(jì)意圖】只給題不給圖，再一次強(qiáng)調(diào)動手畫圖的重要性.通過這個問題的解決，讓學(xué)生理解與掌握倍長中線法和構(gòu)造中位線法這兩種重要輔助線的作法.通過一題多解，及多個圖形的展示開闊學(xué)生的作圖視野.

學(xué)生獨(dú)立作圖解答，教師巡視觀察并遴選典型圖形（如圖6），讓學(xué)生畫到黑板上.歸納概括兩種輔助線作法：倍長中線法和構(gòu)造中位線法.

3.典例分析，拓展提升

【例題】如圖7，?∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BE、CD，M為BE的中點(diǎn)，連接AM，求證：CD=2AM.

證法1：如圖8，證明△ACD?≌△ABA′.

證法2：如圖9，證明△ACD?≌△EA′A.

【設(shè)計(jì)意圖】利用全等三角形中非常典型的手拉手模型為基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生證明線段“[12”]數(shù)量關(guān)系.通過一題多解再一次明確倍長中線法和構(gòu)造中位線法兩種輔助線的作法.這道題綜合性較強(qiáng)，通過教師對圖形的分解講解，降低難度，使學(xué)生能找到入手點(diǎn)，厘清證明過程，提高邏輯推理能力.

4.課堂練習(xí)，鞏固輔助線的作法

（1）如圖10，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中點(diǎn)，AC?=?15，BC?=?27，求DE的長.

（2）如圖11，點(diǎn)[E]是[BC]的中點(diǎn)，[∠BAE=∠CDE]，求證：[AB=CD].

【設(shè)計(jì)意圖】第一題通過延長AD，利用等腰三角形的三線合一構(gòu)造中位線，第二題通過倍長AE，找全三角形全等的條件，進(jìn)而證明線段相等.兩道練習(xí)題的設(shè)置意在鍛煉學(xué)生自己動手解題的能力，提高學(xué)生“見中點(diǎn)則作輔助線”的意識，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力.

5.課堂小結(jié)，歸納提煉

先讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的感受，教師再進(jìn)行課堂小結(jié)：幾何輔助線作法，其實(shí)是化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，一般是將三角形的線段問題轉(zhuǎn)化為三角形全等或是特殊的四邊形的問題來解決.再次強(qiáng)調(diào)輔助線作法：倍長中線和構(gòu)造中位線.用“見中線則倍長，構(gòu)造全等證相等”“中點(diǎn)中點(diǎn)連成線，一半平行就出現(xiàn)”來鞏固學(xué)生對輔助線作法的記憶.

6.課后作業(yè)

（1）如圖12，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，則EF的長為??????????????.

（2）如圖13，[AD]是△[ABC]的中線，[AB=k？AC]，點(diǎn)[E]是[AC]延長線上一點(diǎn)，且[∠AEF=∠BAD]，[EF]交[BA]延長線于點(diǎn)[F].探究[AE]、[AF]的數(shù)量關(guān)系.

三、初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)的選擇和設(shè)計(jì)引發(fā)的思考

總復(fù)習(xí)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的設(shè)計(jì)定位要精確且切合實(shí)際，不可好高騖遠(yuǎn)，華而不實(shí).有輔助線的幾何題是學(xué)生掌握知識的薄弱之處，他們大多時候不清楚為什么要那樣作輔助線，怎么想到要作輔助線才能簡化問題，因此對幾何輔助線問題的復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)從課本定理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中聯(lián)想到作輔助線的合理性，再通過一類問題的技能固化，加深學(xué)生對這類輔助線的理解和應(yīng)用.

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是充滿疑問和解答的課堂，教學(xué)過程中教師應(yīng)有效設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，有針對性地鋪墊關(guān)鍵點(diǎn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生在回答問題的過程中產(chǎn)生新的問題，從中學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題.這是理想中的課堂，充滿著智慧的火花，也是我們一直所追求的復(fù)習(xí)課堂.

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蒲錦泉.以素養(yǎng)立意的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思考：以《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)為例[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2018（1）：87-89+95.

（特約編輯 安 平）