陳毅輝

在小數(shù)產(chǎn)生的歷史上，是經(jīng)歷了一段逐步抽象的漫長(zhǎng)過(guò)程的，而每一次的提升都是一次“異中求同”的過(guò)程，也是一次次豐富內(nèi)涵的過(guò)程，越是抽象就越具有普適性和一般性。只要找到適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行表征與演繹，讓學(xué)生經(jīng)歷概念抽象的過(guò)程，就能夠慢慢“拎”出概念的本質(zhì)。而對(duì)于數(shù)的概念，最容易理解和被接受的方式就是借助幾何直觀。洪老師以直觀圖形為載體，幫助學(xué)生在逐步經(jīng)歷抽象、提煉、升華小數(shù)的過(guò)程中，豐富概念的內(nèi)涵、構(gòu)建概念的體系、感悟概念的本質(zhì)，讓小數(shù)的本質(zhì)變得直觀易懂，學(xué)生也逐步領(lǐng)悟到不帶“量”的小數(shù)更具有一般性，感悟到不是為了抽象而抽象，而是為了需求而抽象，真正全面而又深刻地理解了概念的本質(zhì)。本文以洪菲菲老師執(zhí)教的“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課為例，談?wù)勅绾魏侠磉\(yùn)用幾何直觀，有效助力概念教學(xué)。

【教學(xué)片段1】

【賞析】

在生活中，學(xué)生對(duì)于小數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)，知道以“元”為單位的小數(shù)和以“米”為單位的小數(shù)的具體含義。這樣的認(rèn)識(shí)雖然清晰，卻只能幫助學(xué)生從生活的層面認(rèn)識(shí)小數(shù)，并不能促使學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的層面認(rèn)識(shí)小數(shù)。所以拓展小數(shù)認(rèn)知的維度是非常有意義的，一方面，作為“小數(shù)體系”的起始概念，小數(shù)的認(rèn)識(shí)就是整個(gè)知識(shí)體系的“根”，認(rèn)識(shí)得越是充分、完整，后期知識(shí)體系的構(gòu)建就越是穩(wěn)固;另一方面，在數(shù)學(xué)上，小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以看成是一體兩翼，“同一個(gè)量”可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，而分?jǐn)?shù)作為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，能夠?yàn)樾?shù)的學(xué)習(xí)提供支持，拉近小數(shù)和學(xué)生的距離，更好地幫助學(xué)生理解小數(shù)。單純從數(shù)的外在形式上看，學(xué)生是無(wú)法將分?jǐn)?shù)和小數(shù)建立起聯(lián)系的。如果采用直接傳授的教學(xué)方式，學(xué)生雖然能夠輕松記憶，卻只知其然而不知其所以然，這樣的概念空有形式，缺乏有力的支撐，很難深入人心，更難發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。其實(shí)，概念背后往往是豐富的內(nèi)涵，只有在分?jǐn)?shù)和小數(shù)間搭建起橋梁，外顯兩者的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程，明白概念背后的道理，才能讓概念從單調(diào)走向豐富、從靜止走向生動(dòng)、從被動(dòng)記憶走向自主構(gòu)建。在這里，教師借助涂色的長(zhǎng)方形，以直觀圖形作為載體，表示出0.1元，讓學(xué)生在觀察圖形的過(guò)程中推理發(fā)現(xiàn)：表示0.1元的涂色部分的大小和表示 元的涂色部分大小是一樣的，得出 的結(jié)論。整個(gè)過(guò)程有理有據(jù)，將小數(shù)的認(rèn)識(shí)從生活的層面拓展到數(shù)學(xué)的層面，極大豐富了小數(shù)的內(nèi)涵，初步幫助學(xué)生建立起小數(shù)的概念。

【教學(xué)片段2】

師：剛才我們把1米平均分成10份，其中的幾份可以用十分之幾米和零點(diǎn)幾米來(lái)表示。如果我們換一個(gè)單位，也把它平均分成10份，你還能用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示出其中的一部分嗎？這里有一條線段，平均分成了10份，請(qǐng)你選擇一個(gè)計(jì)量單位，然后用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示出指定的部分。（如圖1）

學(xué)生回答，教師展示學(xué)生作品。（如圖2）

【賞析】

教學(xué)中，學(xué)生能夠從 中類(lèi)推得出 ，借助米尺也可以直觀驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。對(duì)于學(xué)生而言，這個(gè)遷移的過(guò)程深化了對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)。但僅憑這兩個(gè)單位，并不能完全讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到“同一個(gè)量可以用分?jǐn)?shù)表示，就可以用小數(shù)表示”。狹隘的學(xué)習(xí)材料甚至?xí)尣糠謱W(xué)生產(chǎn)生誤解：認(rèn)為只有采用人民幣單位和米制單位時(shí)，小數(shù)才能和分?jǐn)?shù)畫(huà)上等號(hào)。這就使得學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)不夠全面，分?jǐn)?shù)和小數(shù)間的聯(lián)系不能完全得到溝通，而這個(gè)問(wèn)題又必須到四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)完“小數(shù)的意義”后才能得到解決。因此這期間會(huì)在很大程度上限制學(xué)生理解并有意識(shí)地使用小數(shù)。學(xué)生一旦脫離具體情境，便會(huì)優(yōu)先選擇使用分?jǐn)?shù)，而不一定會(huì)使用小數(shù)，這實(shí)際上已經(jīng)反映出了其對(duì)概念的理解存在偏差。只有直面存在的問(wèn)題，才能讓學(xué)生更全面地把握小數(shù)的概念。從人民幣單位、米制單位到學(xué)生自己填單位，由扶到放，在縱向“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷由分?jǐn)?shù)到小數(shù)的轉(zhuǎn)化，逐漸豐盈對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)。再以豐富的直觀模型作為支撐，幫助學(xué)生推理、理解，促進(jìn)學(xué)生更進(jìn)一步厘清分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系。同時(shí)伴隨著單位不斷增加，“量”的范圍不斷得到擴(kuò)充，學(xué)生能夠慢慢感受并發(fā)現(xiàn)無(wú)論加上什么樣的單位，同一個(gè)量，既可以用小數(shù)表示也可以用分?jǐn)?shù)表示，全面溝通了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系。概念體系的逐步擴(kuò)張是要建立在一定的感悟之上的，這樣才能讓知識(shí)展現(xiàn)出張力，雖然可以加上的單位有很多，但在這“多”的背后始終有一根看不見(jiàn)的“主線”牢牢牽引著所有的知識(shí)，這就是概念的本質(zhì)。因此只有在豐富的體驗(yàn)中，才能讓學(xué)生逐漸感受到概念背后的相同點(diǎn)。

【教學(xué)片段3】

師：現(xiàn)在，老師把第一條線段中的0.4千米拿出來(lái)（持“0.4千米”的手牌）。如果把“0.4千米”放到第二條線段的這兒（指著第二條線段上0.4千克的位置）可以嗎？如果放到第三條線段上的這里（指著第三條線段上0.4元的位置）可以嗎？為什么？

生：不行，因?yàn)閱挝徊灰粯?，所以不能放?/p>

師：既然是因?yàn)閱挝徊煌?，那咱們就去掉單位。（圖略）

師：現(xiàn)在，0.4可以放在第二條線段上了嗎？放在第三條線段上呢？

生：可以。

師：那我們就把三條線段合起來(lái)。（如圖3）

師：沒(méi)有了單位，你還能在這條線段上找到其他分?jǐn)?shù)和小數(shù)嗎？誰(shuí)來(lái)試一試？

【賞析】

小數(shù)作為“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)體系中重要的一部分，是和分?jǐn)?shù)、整數(shù)、負(fù)數(shù)共存的，伴隨著數(shù)系的不斷擴(kuò)張，數(shù)的種類(lèi)會(huì)不斷地增加，如果不能適時(shí)地幫助學(xué)生建立起知識(shí)體系，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，就會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)于數(shù)的正確理解。在本節(jié)課前面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，“小數(shù)的意義”已經(jīng)呼之欲出，但在教學(xué)中并不能直接給出小數(shù)的具體概念，這說(shuō)明此階段學(xué)生對(duì)于小數(shù)的理解只要達(dá)到一種“意會(huì)”的層次就行了，這也是本節(jié)課最難以把握的地方。用何種方式讓學(xué)生自己感悟到十分之幾的數(shù)就是零點(diǎn)幾，讓小數(shù)自然而然地從具體的情境中剝離出來(lái)？在這里洪老師以“一個(gè)帶單位的小數(shù)放到其他數(shù)軸上行不行”為問(wèn)題，“迫使”學(xué)生思考解決這個(gè)問(wèn)題的方法。在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下有序推動(dòng)學(xué)生思維前進(jìn)，自然而然就會(huì)產(chǎn)生去掉單位的需求，層層深入，從“有量”到“無(wú)量”，抽象出表示小數(shù)的幾何線段，獲得數(shù)軸的雛形。學(xué)生在這個(gè)抽象的過(guò)程中感受到這樣的小數(shù)更具有一般性與普適性，適用于任何情境。整個(gè)教學(xué)過(guò)程在顧及低年級(jí)學(xué)生思維特點(diǎn)的同時(shí)，也很巧妙地將小數(shù)體系結(jié)構(gòu)化，提升了學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)深度。

（作者單位：福建省廈門(mén)市集美區(qū)杏濱小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）