徐平峰 陳婷 董小剛 袁小惠

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門數(shù)據(jù)分析課程，其開(kāi)設(shè)廣泛、應(yīng)用興強(qiáng)。如何選擇軟件輔助教學(xué)是一個(gè)非常重要的問(wèn)題，本文結(jié)合R軟件的特點(diǎn)，通過(guò)經(jīng)典教材例題，對(duì)比分析討論R軟件輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：R軟件；概率統(tǒng)計(jì)；輔助教學(xué)

一、使用軟件的必要性

隨著計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，數(shù)據(jù)的采集、整理以及儲(chǔ)存的方式發(fā)生了巨大的變化。現(xiàn)代的數(shù)據(jù)分析也越來(lái)越離不開(kāi)計(jì)算機(jī)和相關(guān)軟件。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門數(shù)據(jù)分析課程，也應(yīng)與現(xiàn)代的數(shù)據(jù)分析方式相契合，凸顯其實(shí)用性，因而有必要在課程教學(xué)中進(jìn)入相關(guān)的軟件教學(xué)。在這方面，魏宗舒等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》的第二版[1]和盛驟等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第四版[2]，都引入了Excel幫助進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以適用應(yīng)用性的需要。Excel作為Office的一部分應(yīng)用相當(dāng)廣泛，學(xué)生也有一定的操作基礎(chǔ)，作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)軟件，無(wú)疑是最容易被學(xué)生接受，也是最方便的。

二、使用R軟件的優(yōu)勢(shì)

單從統(tǒng)計(jì)模擬以及課堂演示的角度考慮，專業(yè)的統(tǒng)計(jì)分析軟件，在這方面更具有優(yōu)勢(shì)。例如：被統(tǒng)計(jì)學(xué)者或科研人員廣泛應(yīng)用的R軟件就是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，而軟件與商業(yè)軟件SAS和SPSS不同，它是免費(fèi)、開(kāi)源的，而且其統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)制圖功能不亞與SAS和SPSS。美國(guó)時(shí)代周刊2009年曾指出，R是可以和SAS相媲美，占有相當(dāng)比例的市場(chǎng)份額[3] 。而且R軟件只有七十多兆，不會(huì)占用很多磁盤空間，安裝時(shí)間僅僅幾分鐘。同時(shí)R軟件有相當(dāng)多的統(tǒng)計(jì)分析軟件包，截止2018年9月，共有13095個(gè)軟件包。這些軟件包不僅功能強(qiáng)大，而且大多數(shù)都含有真實(shí)數(shù)據(jù)，如果恰當(dāng)選擇，將可作為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的非常新穎的實(shí)例。更重要的是R是一種數(shù)學(xué)計(jì)算環(huán)境，它提供各種數(shù)學(xué)計(jì)算，統(tǒng)計(jì)計(jì)算的函數(shù)，不僅方便學(xué)生和老師調(diào)用，而且能更加靈活地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，從而使學(xué)生更好的理解概念和性質(zhì)。

下面通過(guò)幾個(gè)例題，對(duì)比分析一下R軟件輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。在講概率論部分，生日問(wèn)題是學(xué)生非常感興趣的問(wèn)題之一，設(shè)一個(gè)班有n（ 365）個(gè)學(xué)生，求至少有兩個(gè)學(xué)生的生日相同的概率。如果假設(shè)學(xué)生的生日在365天每一天都具有相同的概率，則該概率為 。這個(gè)概率看起來(lái)簡(jiǎn)單，但實(shí)際上筆算或者用計(jì)算器計(jì)算，工作量是很大的。為魏宗舒、盛驟、茆詩(shī)松等編著的教材中均有此例題，均給出了概率隨學(xué)生數(shù)n的變化表格。茆詩(shī)松的教材中給出了近似計(jì)算的方法，但也涉及指數(shù)運(yùn)算，如果用R軟件進(jìn)行計(jì)算，就方便多了，結(jié)果見(jiàn)圖1。該過(guò)程在課堂上演示或讓學(xué)生下課重復(fù)R件計(jì)算過(guò)程，使學(xué)生更加真實(shí)地感受這一結(jié)果。

圖1 生日問(wèn)題結(jié)果

在概率論部分，在講授二項(xiàng)分布的內(nèi)容時(shí)，其中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)是二項(xiàng)分布的分布列可由泊松分布的分布列近似計(jì)算：即當(dāng)n較大，p較小，np不太大時(shí)，有 ，其中 。詳見(jiàn)魏宗舒第二版第67頁(yè)。教材中表2.2給出了精確的二項(xiàng)分布率和近似的泊松分布率的比較結(jié)果，為了驗(yàn)證這一結(jié)果，我們可以利用R軟件進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2，其中紅色為泊松概率，其他顏色的圓圈表示n不同二項(xiàng)分布的概率。

圖2 泊松概率與二項(xiàng)概率比較結(jié)果

在講授置信區(qū)間內(nèi)容時(shí)，從頻率學(xué)派的觀點(diǎn)，我們通常會(huì)強(qiáng)調(diào)，在重復(fù)采樣情況下，將得到許多不同的置信區(qū)間，這些區(qū)間將有大約 的區(qū)間包含未知參數(shù)，而對(duì)于一次采樣所得的置信區(qū)間，絕不能說(shuō)未知參數(shù)落入?yún)^(qū)間的概率為 。但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解是有一定困難的。茆詩(shī)松老師[4]的教材上給出了例6.6.1模擬上的過(guò)程，我們可以通過(guò)R軟件重復(fù)茆詩(shī)松老師的模擬過(guò)程，展示給學(xué)生，增加學(xué)生的印象，使學(xué)生理解更深刻。如圖3.

圖3 置信區(qū)間模擬結(jié)果

通過(guò)以上三個(gè)例子可以說(shuō)明，R軟件輔助教學(xué)，具有活潑、生動(dòng)，使學(xué)生理解更深刻的優(yōu)點(diǎn)。有的老師可能會(huì)說(shuō)，從模擬和計(jì)算角度，Matlab也可以實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程。的確如此，而R依然具有占用空間小，免費(fèi)開(kāi)源的優(yōu)勢(shì)。此外R軟件的自己獨(dú)特的變量類型，表示數(shù)據(jù)更方便，更符合人們的習(xí)慣。例如數(shù)據(jù)框，它通常是一個(gè)矩陣形式的數(shù)據(jù)，但矩陣各類可以是不同的類型，它的每一列表示一個(gè)變量，每行表示一個(gè)樣本。

圖4 數(shù)據(jù)框結(jié)果

三、總結(jié)

綜上所述，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中恰當(dāng)?shù)囊隦軟件不僅可以解決計(jì)算的問(wèn)題，而且可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，便于學(xué)生更易理解重要的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但同時(shí)也存在一定的問(wèn)題，例如對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，R軟件相對(duì)于Excel要操作相對(duì)難以掌握，另外如何分配R軟件教學(xué)學(xué)時(shí)與理論課學(xué)時(shí)，特別值得研究的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 魏宗舒，等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2008.

[2] 盛驟，等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2008.

[3] Ashlee Vance. Data Analysts Captivated by Rs Power， The New York Times， 2009

[4] 茆詩(shī)松，等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版） [M]. 北京：高等教育出版社， 2011.

附錄：

生日問(wèn)題代碼：

m <- seq（10，50，5）

P.E<- function（m）{

c（Student = m，ProbAtL2SB = 1-prod（（365：（365-m+1）/365）））

}

t（sapply（m，P.E））

泊松概率與二項(xiàng)概率代碼：

x<- 0：10

px<- dpois（x，1）

n<- 10；p<- 0.1；px10<- dbinom（x，n，p）

n<- 20；p<- 0.05；px20<- dbinom（x，n，p）

n<- 40；p<- 0.025；px40<- dbinom（x，n，p）

n<- 100；p<- 0.01；px100<- dbinom（x，n，p）

plot（x，px，ylim = c（0，max（px10，px20，px40，px100）），

type = "h"，xlab = "x"，ylab = "P（X=x）"，col="red"）

par（new=TRUE）；points（x，px10，col= "yellow"）

par（new=TRUE）；points（x，px20，col= "blue"）

par（new=TRUE）；points（x，px40，col= "black"）

par（new=TRUE）；points（x，px100，col= "green"）

legend（"topright"，legend = c（"pios"，"n=10"，"n=20"，"n=40"，"n=100"），

lty = 1，col=c（"red"，"yellow"，"blue"，"black"，"green"））

置信區(qū)間模擬代碼：

norsim<- function（sims=100，n=36，mu=15，sigma=2，conf.level=0.90）{

alpha<- 1-conf.level

CL<- conf.level*100

l1<- numeric（sims）

u1<- numeric（sims）

for （i in 1：sims） {

x<- rnorm（n，mu，sigma）

xbar<- mean（x）

s<- sd（x）

l1[i]<- xbar-qt（1-alpha/2，df=n-1）*s/sqrt（n）

u1[i]<- xbar+qt（1-alpha/2，df=n-1）*s/sqrt（n）

}

notin<- sum（（l1>mu）+（u1

percentage<- round（（notin/sims）*100，2）

SCL<- 100-percentage

plot（l1，type = "n"，ylim = c（min（l1），max（u1）），xlab = ""，ylab = ""）

for （i in 1：sims） {

low<- l1[i]

high<- u1[i]

if（lowmu）{

segments（i，low，i，high）

}

else if（low>mu&high;>mu）{

segments（i，low，i，high，col = "red"，lwd=5）

}

else{

segments（i，low，i，high，col = "blue"，lwd=5）

}

}

abline（h=mu）

cat（SCL，"＼b% of the random confidence intervals contain Mu="，mu，"＼b."，"＼n"）

}

norsim（）

數(shù)據(jù)框代碼：

df<- data.frame（

姓名=c（"陳一"，"黃二"，"張三"，"李四"，"王五"），

性別=c（"女"，"女"，"男"，"男"，"男"），

年齡=c（13，12，13，12，14），

體重=c（56.5，56.2，45，44，57）

）

df

作者簡(jiǎn)介：

徐平峰（1979—），男，漢族，吉林省遼源市人，職務(wù)：長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副院長(zhǎng)，職稱：教授，學(xué)歷：博士研究生，研究方向圖模型、缺失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。