孫琴風

摘要：數(shù)與形是數(shù)學學習中的基本研究對象，如果在數(shù)學學習的過程中缺乏數(shù)形結合，那么對數(shù)學問題的認知必然出現(xiàn)問題，數(shù)學思想方法也無法形成有效記憶。新課程標準開始實施之后，教師需要逐步地轉變思想觀念，重點在于培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，從解決問題的過程中積累活動經(jīng)驗，提升專業(yè)素養(yǎng)。所以本次研究的核心問題也在于如何幫助小學教師通過數(shù)形結合思想的應用來促進學生的全面發(fā)展，提升學生的主動性與積極性。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)形結合；應用研究

0.引言

《義務教育數(shù)學課程標準》中明確提出了數(shù)學教學的目的在于讓學生獲取適應生活和發(fā)展所需要具備的數(shù)學知識與應用技能，這也充分說明了數(shù)學思想方法的重要性。一直以來，課程教學重視雙基的局面普遍存在，如何轉變教學觀念，重視學生數(shù)學思想與數(shù)學意識的培養(yǎng)也成為了主要的教學目標。旨在讓學生通過體驗和感知讓他們獲取記憶，更好地處理數(shù)學元素之間的關系。

1.數(shù)形結合的內(nèi)涵與特征

1.1 內(nèi)涵

對于數(shù)學學科來說，概念建立在幾何學的模式之上，數(shù)形結合可以被理解為是將數(shù)量關系與圖形連接并對應起來的一種模式，并借助圖形來研究數(shù)學思想方法的措施，讓抽象的數(shù)學概念變得更加具體，將復雜的問題簡單化。這兩種概念相互獨立，相互統(tǒng)一，包含“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”兩個方面，借助于圖形的生動性與數(shù)據(jù)的精確性特征，來解決難以解決的數(shù)學問題。但是在實際的教學工作中，主要研究方向仍然偏向于如何融入思想方法與解題應用，在未來的研究工作中，還應該分析如何在運用過程中選擇合理的方法和策略。

1.2 特征

由于在數(shù)學概念的學習過程中，很多數(shù)量關系的表現(xiàn)形式非常抽象，學生在理解時的難度較大，而數(shù)形結合思想就可以將一些復雜的問題濟寧簡化，例如將抽象的代數(shù)語言轉化為直觀的幾何圖形，這也是數(shù)學教師重點培養(yǎng)學生的能力。如百分數(shù)、分數(shù)的學習中就可以借助線段圖還分析數(shù)量關系。在實際的解題過程中，小學生由于自身的能力差異，很容易將一些內(nèi)容混淆或遺漏，此時也需要借助數(shù)形結合的優(yōu)勢來分析數(shù)學信息的性質(zhì)與幾何意義，分析圖形中所包含的內(nèi)部條件，利用量化，在數(shù)的精確性與合理性支持下，通過圖形來彌補抽象思維的缺陷，讓思維模式更加嚴謹。

2.數(shù)形結合教學的功能

2.1 提升解決問題的有效性

在實際的教學活動當中，教師可以通過數(shù)形結合思想來引導學生將靜態(tài)的思維方式轉化為動態(tài)的思維方式，將其視作是相同事物在不同時間段的位置差異，以培養(yǎng)學生的辯證思維能力，更好地理解數(shù)學問題的本質(zhì)[1]。例如下題。

某平行四邊形與梯形的高都是5cm，梯形上底和平行四邊形的底為10cm，梯形上底比下底少3cm，那么梯形的面積比平行四邊形的面積多多少平方厘米？

一般情況下，多數(shù)學生在解決這一問題時，都會先計算出梯形的面積與平行四邊形的面積。梯形面積為：（10+10+3）×5÷2=57.5，平行四邊形的面積為10×5=50，所以兩者之間的差異為57.5-50=7.5，單位為平方厘米。雖然這種解題方法沒有任何錯誤，但是所耗費的時間相對較長。如果我們利用數(shù)形結合的思想，在解體過程中進行繪圖，就可以通過簡單的步驟獲取結果，例如下圖所示。

實際上，我們不難看出，利用圖形進行描述之后，梯形面積比平行四邊形面積多出來的部分即為部分的直角三角形，三角形的底為3cm，高為5cm，因此這一部分的面積為3×5÷2=7.5平方厘米。可以看出用圖形表示數(shù)量關系時能夠更加清晰直觀，也能簡化運算步驟，降低解題難度，激發(fā)學生的思維能力。在數(shù)學教學環(huán)節(jié)當中，也會有相對復雜的數(shù)學問題，數(shù)形結合教學功能也在這一時刻得到了發(fā)揮。

2.2 強化知識結構

小學階段是積累知識并強化知識結構的重要階段，學生在這階段的學習過程中會接觸到從平面圖形向立體圖形的過渡。在數(shù)學教學中，很多學生在形體知識的使用上存在著明顯缺陷，但其實只要能根據(jù)題目要求繪制出圖形，就能快速地幫助學生了了解圖形的特征。例如在學習到長方體與正方體的相關知識時，就可以加以利用。例如：

一個長方體在高增加2cm的同時，表面積增加了56平方厘米，求原長方體的體積是多少？

雖然學生對于長方體的體積計算與表面積的計算公式已經(jīng)非常熟練，但是在問題的解決過程中仍然會感到迷茫，無法有效辨別去尋找長方體的長、寬、高，無從下手。所以，應該讓學生根據(jù)要求畫出相關圖形，就可以利用圖形和數(shù)據(jù)進行思考。例如下圖。

根據(jù)圖中說明，我們可以得到的信息就變得更多了。在表面積計算方面，額外增加的長方體四個面都是相同面積的長方形，其寬為2cm，面積總和為56平方厘米，我們根據(jù)這一條件可以計算出單獨一個面的面積為14平方厘米，所以長為7cm，原長方形的高為7-2=5cm，因此體積為：7×7×5=245立方厘米。可以看到，在充分利用圖形后，問題變得非常簡單，學生也可以快速地尋找出問題的解決方法。雖然這道例題具有抽象性，但將其轉化為圖形，利用數(shù)形結合的思想，就能強化學生對于基礎知識的理解，直接利用長方體的表面積與體積計算公式來得出最終結果，其效果也更加顯著。

2.3 激發(fā)思維能力

在小學數(shù)學的教學過程中，數(shù)形結合思想的重要價值在于讓學生具備數(shù)學知識的掌握能力，重點發(fā)展學生思維，培養(yǎng)解決問題的能力，將數(shù)學課程充滿樂趣，豐富課堂內(nèi)容與課堂規(guī)劃。新課程標準改革之下，課標由以前的雙基變?yōu)樗幕?，其中的變化在于?shù)學思想的地位得到了穩(wěn)定提升。在傳統(tǒng)的課堂教學當中，數(shù)學思想并不是主要的學習內(nèi)容，但是在現(xiàn)代教學過程中，需要大膽地將其作為主流教學內(nèi)容，讓教師引導學生展開知識教學工作。換言之，教育不應該只注重眼前的利益，而應該注重思維能力的發(fā)展與學習能力的提升[2]。即便是以后學生進入初中、高中，數(shù)形結合也可以將代數(shù)問題幾何化；集合問題代數(shù)化。比如在求空間立體幾何以及圓錐曲線的時候我們往往會建立空間或平面直角坐標系。這其實就是集合問題代數(shù)化。這樣計算大大降低了難度。而代數(shù)問題集合化則可聯(lián)想到函數(shù)、向量等。

3.小學數(shù)學數(shù)形結合的教學應用現(xiàn)狀

面對新課標的要求，傳統(tǒng)的雙基局面被打破，作為教師也需要轉變教學觀念，重視思想方法的教學。為了了解教學現(xiàn)狀，對我市X學校的小學數(shù)學教師進行了問卷調(diào)查，深入了解教學過程中數(shù)形結合的相關內(nèi)容，以便于更好地展開研究工作。從教師的年齡與職稱來看，基本都是具備5年以上經(jīng)驗的高級教師，說明教師具備足夠的教學經(jīng)驗與教育能力。從問卷調(diào)查的問題來看，主要集中于幾個不同方面，即數(shù)形結合的思想觀念、數(shù)學思想方法分析、課后練習與數(shù)形結合思想、學生態(tài)度等。從問卷結果來看，大多數(shù)教師都能在教學過程中涉及到數(shù)形結合的內(nèi)容，也愿意主動地利用這一思想方法展開教學，但是實際情況下利用數(shù)形結合思想進行方法教學的情況并不顯著，這說明教師尚未對數(shù)形結合形成系統(tǒng)化理解，對于方法教學的重視程度還有待提升[3]。另一方面，如果教師對數(shù)形結合的掌握程度非常熟練，也會在教學過程中進行使用，讓學生更好地體會這些思想方法的優(yōu)越性。所以從問卷調(diào)查的結果來看，教師還不熟悉如何利用數(shù)形結合思想更好地引導學生，對于這一方面的研究具有顯著的教學價值。

從學生的角度來看，學生在分析數(shù)量關系的過程中，也更傾向于直接進行問題思考，而不是通過圖形來分析解決問題。隨著時代的發(fā)展，教育教學模式也會有新的發(fā)展理念，如何讓學生養(yǎng)成良好的習慣，掌握正確的數(shù)學思想方法，也成為了當前教學的重點，學生也應該適當調(diào)整自己的學習方式。

4.數(shù)形結合的教學應用策略分析

4.1 以形助數(shù)

以形助數(shù)的模式在代數(shù)領域中得到了廣泛使用，能夠讓學生對知識點的理解更加深刻，并掌握正確的學習方法。例如在學習到分數(shù)的相關內(nèi)容時，在學生掌握了分數(shù)單位與分數(shù)計算模式的基礎上，讓學生了解真分數(shù)與假分數(shù)的特征，從而讓學生更好地進行理解和掌握，了解真分數(shù)小于1，假分數(shù)大于等于1的基本原則，便于對知識點進行概括。在教學過程中，可以通過繪制正方形的方式鞏固分數(shù)的基礎知識，培養(yǎng)感性認識，并且啟發(fā)學生進行思考，比較分子、分母之間的數(shù)量關系。此外，通過數(shù)軸也同樣能達到這一目標，利用數(shù)軸引導學生比較真分數(shù)與假分數(shù)和1之間的關系，結合具體情境展開思考。這樣一來學生也不會死記硬背地區(qū)理解數(shù)學知識點，符合小學生的思維特征，以形象直觀的思維為主，逐步地從抽象邏輯思維能力方面展開過度，充分理解在小學數(shù)學的概念學習中數(shù)形結合思想的運用[4]。

當然，圖形與幾何之間的關系同樣密切，空間形式可以用圖像、曲線、數(shù)量關系等進行表述，這些數(shù)學語言共同構建了數(shù)學的抽象特征，并從中尋找合理表達問題的數(shù)量關系。例如前文提到過的三角形面積計算方案，將其轉化為多邊形的面積計算方式，然后從引導中進行指導，教師通過巡視指導的方案來讓學生掌握面積的計算方法。在此案例之中，抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形結構進行了結合，利用“形”將抽象的關系轉化為直觀的圖形，讓學生主動參與到思考的過程當中，培養(yǎng)其空間感與邏輯分析能力。在未來的幾何領域房中，也能夠利用這一思想更好地掌握數(shù)學基礎概念，如公式定理等[5]。

4.2 以數(shù)解形

以下題為例。

一個邊長20cm的正方形，如圖所示，圖中兩個直角梯形的高相等，但面積相差了10平方厘米，那么圖中A的長度為多少cm？

在思考過程中，我們可以將問題轉化成為圖形來進行解決，而利用數(shù)形結合思想進行思考，問題也可以變得迎刃而解?？梢钥吹?，兩個直角梯形的面積相差10平方厘米，但是底有共同的一條底，高相同，則差的那一部分底也就是我們需要計算的A邊長度。所以，可以通過增設輔助線的方式，來將其轉化為三角形面積的計算方式，三角形面積為10平方厘米，高為5cm，所以A邊即為三角形的底，所以A長度為：10×2÷（10÷2），結果為4cm。從這一案例當中，體現(xiàn)了以數(shù)解形的思想，按照圖形結構關系特征尋找到了恰當?shù)慕怏w方式，將代數(shù)的算法進行優(yōu)勢化處理，將抽象的數(shù)以直觀清晰的幾何圖形來分析題目所給的條件，讓學生的思維能力得到了有效鍛煉。

在統(tǒng)計學的相關知識當中，也有著數(shù)形結合思想的用武之地。例如兩幅統(tǒng)計圖選擇了不同的縱軸單位，可以更好地了解數(shù)據(jù)的變化趨勢，也能了解在統(tǒng)計概率的相關知識當中應該注重對數(shù)據(jù)的分析，對“數(shù)”進行的針對性研究。如果僅僅只有形而沒有數(shù)，那么無法發(fā)揮形的生動性，也無法體現(xiàn)數(shù)的嚴謹性，無法做到揚長避短[6]。在未來的綜合實踐工作當中，教師也應該引導學生更細致地區(qū)觀察形，從中獲取需要的數(shù)據(jù)信息，將其進行結合分析，才能更準確地去看待問題。換言之，對于學生來說，數(shù)學思想方法并不是短期內(nèi)能夠形成的能力，就像游泳一樣，需要有一套系統(tǒng)化的游泳技巧訓練，才能在水中避免被水淹沒，通力，數(shù)學思想方法的教學目標也應在潛移默化中進行積累，以提升學生素養(yǎng)為根本目的，達到提升數(shù)學學習有效性的重要目標。

5.結語

數(shù)形結合思想作為小學數(shù)學學習當中的重要思想，在教材內(nèi)容中涉及到了多個方面，對于教師來說也需要深入分析教材，充分掌握屬性結合的思想。從實際的教學工作來看，需要更加具有針對性，以提升學生的邏輯思維能力與教師自身發(fā)展作為主要目標，實現(xiàn)共同進步。本文首先針對數(shù)形結合的內(nèi)涵與特征展開了分析，并從其功能性過渡到現(xiàn)階段的教學現(xiàn)狀，最終以實際的教學現(xiàn)狀分析了數(shù)形結合思想的應用策略，旨在讓教師對其有更加深刻的認識，學會融會貫通，更好地貫徹課程標準的相關要求，讓學生的數(shù)學能力穩(wěn)定提升，具備數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]楊重林. “數(shù)形結合”思想在小學數(shù)學教學中的滲透與應用[J]. 中學課程輔導：教學研究， 2013， 7（22）：119-119.

[2]汪渭芳. “數(shù)形結合”天地寬——數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的滲透與應用[J]. 小學教學參考， 2010（17）：30-31.

[3]陳紅霞. 以形助數(shù) 化難為易——試談數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的應用[J]. 湖北教育（教育教學）， 2010（3）：17-18.

[4]潘文芳. 數(shù)形結合，提升素養(yǎng)——例談數(shù)形結合思想方法的滲透[J]. 數(shù)理化解題研究， 2016（17）：66-66.

[5]李勇. 巧用“數(shù)形結合”，妙解小學問題——談“數(shù)形結合”思想在小學數(shù)學教學中的滲透[J]. 數(shù)學大世界（教師適用）， 2012（7）：43-43.

[6]易玲. 例談小學數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的滲透[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2015（z1）：73-74.