賈豐瑞

摘要：排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容，以計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)。由于其知識(shí)本身的靈活多變性和難以理解性，作為高中生在分析和解決排列組合問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)思維邏輯混亂，分類不清，考慮不全，找不到解題突破口等問(wèn)題。本文就高中階段遇到的排列組合問(wèn)題進(jìn)行歸類總結(jié)，簡(jiǎn)要闡述幾類排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律。

關(guān)鍵詞：高中 排列組合 解題規(guī)律

排列組合以及計(jì)算原理作為組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其應(yīng)用與我們生活聯(lián)系緊密。它不僅是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。尤其是在計(jì)算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展中，組合數(shù)學(xué)扮演的角色不可替代作為高中生深入研究排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想很有必要，也為以后我們進(jìn)去大學(xué)學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、排列組合的發(fā)展

數(shù)學(xué)這門與生活息息相關(guān)的學(xué)科是隨著人類的進(jìn)步不斷完善的，排列組合問(wèn)題最早在公元前《易經(jīng)》這本書中就出現(xiàn)了，在之后的八卦圖、干支歷紀(jì)年法和五行循環(huán)理論中都包含了先人排列組合的思維，而國(guó)外是直到12世紀(jì)印度的典籍中才出現(xiàn)了排列組合思維。其后，關(guān)于排列組合的知識(shí)框架不斷完善、理論應(yīng)用不斷豐富，在日常生活中越來(lái)越具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，并有了專門的數(shù)學(xué)符號(hào)和計(jì)算表達(dá)[1]。

二、計(jì)數(shù)原理

排列組合是專門研究離散事物按照一定的規(guī)則安排或配置的不同方法數(shù)的數(shù)學(xué)[2]。下面介紹兩種主要的計(jì)數(shù)方法：

（一）加法原理 （分類計(jì)數(shù)原理）

就如螞蟻森林自2016年開始在干旱地區(qū)種樹，有梭梭樹、沙柳、樟子松等多種樹木，現(xiàn)在每年梭梭樹能種Z1棵，沙柳Z2棵，樟子松Z3棵，……，第x種樹種了Zx棵，則一年內(nèi)螞蟻森林一共種了N= Z1+Z2+Z3+……+Zx棵樹[3]。種的樹的總量就是把每一種樹種植的數(shù)量相加，這就是加法原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（二）乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理）

比如我們做一張?jiān)嚲?，有X道題，第1題有Z1個(gè)選項(xiàng)，第2題有Z2個(gè)選項(xiàng)，……以此類推，第X題有Zx種選項(xiàng)，所以我們完成這張?jiān)嚲砭陀蠳= Z1×Z2×Z3×……×Zx種不同的可能性了[3]。

三、排列組合問(wèn)題解題規(guī)律

高中考試中遇到的關(guān)于排列組合的題目往往與實(shí)際生活相連，題型多樣、靈活，這就要求考生思路要靈活。題目中的干擾信息比較多，好多都是沒(méi)用的，我們第一步就要仔細(xì)審題標(biāo)記關(guān)鍵數(shù)字，提取有效信息；第二步就是要抓住題目的本質(zhì)特征，采用相對(duì)應(yīng)的方法來(lái)解決題目。

（一）特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

解決高中階段的排列組合問(wèn)題其實(shí)有很多解題的“套路”和竅門，解題時(shí)可以抓住題目中的關(guān)鍵，找出特殊元素和特殊位置，先將特殊確定，在處理其他的問(wèn)題。如果題目中有特殊位置，解題時(shí)就把特殊位置空出來(lái)，先填充上合適的數(shù)，然后安排其他的位置。若遇到的題目中有很多約束條件，那要仔細(xì)看題干，把特殊元素和特殊位置都拎出來(lái)，將數(shù)字排列組合時(shí)這些條件都要考慮的到。

例1：從0，5，6，7，8，9六個(gè)數(shù)中選5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位奇數(shù)，每個(gè)數(shù)字只能使用一次，一共能組成多少個(gè)這樣的奇數(shù) [4]？

解析：審題可以發(fā)現(xiàn)這一題有很多限制條件。首先是位置，五位奇數(shù)的末位只能從5，7，9中挑選；題目要求組成的數(shù)是五位數(shù)，所以第一個(gè)數(shù)字不能為0，只能從6，8和剩余的奇數(shù)中任選一個(gè)；首位和末位確定后，中間的位置就可以用剩余數(shù)字任意填充了，有 種選法；∴根據(jù)乘法原理解題得，共

中選擇方法。

（二）相鄰元素“捆綁”策略

如果做到的題目中要求某兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字必須相連，那就可以用“捆綁”思維來(lái)解答這道題?！袄墶辈呗跃褪菍⒈仨毾噜彽脑匕凑疹}目要求的順序排列組合成一個(gè)組，將這個(gè)組看成一個(gè)元素，再與其它元素排列。

例2：將紅橙黃綠青藍(lán)紫七種顏色的小球排成一行，其中紅球要與橙球相鄰，黃球要與綠球相鄰，那么一共有多少種排序方式？

解析：依照“捆綁”法解題，首先將紅色小球與橙色小球“捆綁”成一個(gè)組，黃色小球和綠色小球“捆綁”成一個(gè)組，然后將這兩個(gè)組與其它元素排列，同時(shí)紅球橙球，黃球和綠球的順序也可以互相調(diào)換，計(jì)算 得到不同顏色小球排列的不同方法。

（三）相鄰問(wèn)題“插空”策略

如果題目要求兩個(gè)元素要按照一定的順序排列但是不能相鄰，那就可以先隨意排列沒(méi)有特殊要求的元素，然后再將有要求的元素插入已拍好順序的元素的中間或兩端。

例3：現(xiàn)有9張撲克牌，2張梅花，3張黑桃，4個(gè)紅桃，將它們排成一行，但不能連排兩張紅桃，9張撲克牌共有幾種排列方法？

解析：根據(jù)相鄰問(wèn)題“插空”策略，要先排列2張梅花和3張黑桃，共有 種排列方法，將4張紅桃插入已排好的五張撲克牌有 種排列方法，計(jì)算 即為答案。

（四）重復(fù)排列問(wèn)題“求冪”策略

若一個(gè)題目是只考慮元素，與位置沒(méi)有任何關(guān)系，元素的位置可以重合沒(méi)有限制，這就成了“求冪”排列問(wèn)題。若果將X種不同的元素沒(méi)有任何限制地安排在Y個(gè)位置上，則有YX種放置方式。

例5：夏天到了，小紅家開了一家冰淇淋店，冰淇淋有香草、巧克力、草莓等8種口味，在5分鐘內(nèi)就來(lái)了10名顧客，那請(qǐng)問(wèn)小紅在五分鐘內(nèi)做的冰淇淋可能有多少種？

解析：第一位顧客可能選擇8種口味中任意一種，

第二位顧客也有8種口味可以選擇，

……

依此類推，小紅在5分鐘內(nèi)有810種可能的冰淇淋做法。

以上是在高中階段排列組合單元常見(jiàn)的例題，通過(guò)對(duì)這些典型例題的解析希望可以幫助大家對(duì)排列組合問(wèn)題有更深刻的了解，能夠具體問(wèn)題具體分析，整理出一套有用、有效率的解題思路，能把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能在考試中獲得更高的分?jǐn)?shù)。

四、結(jié)語(yǔ)

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，而且在培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)能力，思維能力，提高人的綜合素質(zhì)上發(fā)揮著不可代替的作用。而對(duì)高中生而言，學(xué)習(xí)排列組合時(shí)我們要認(rèn)真對(duì)待，從中得到解題規(guī)律，為以后學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)打下基礎(chǔ)，從而更好地服務(wù)于社會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉明君.高中生排列組合認(rèn)知水平研究[D].西北師范大學(xué)，2016.

[2]張國(guó)平.從排列組合中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法[J].師范教育，2003，（05）：15.

[3]許娟.高中排列組合的教學(xué)研究與時(shí)間[D].西北師范大學(xué)，2006.

[4]武蕊紅.排列組合中常見(jiàn)的問(wèn)題及解題方法[M].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）研究生論文?？?013，（27）：5-7.

（作者單位：鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）