袁一丹

摘 要：立足于高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及函數(shù)模塊數(shù)學題的解題研究，提出了從數(shù)、形的角度提取信息并確立適切的數(shù)學對象，通過探索數(shù)學對象與數(shù)學問題的目標之間的聯(lián)系而解決數(shù)學問題這樣一個層層深入并能達成深化認識、拓展新知的數(shù)學問題解構過程。通過此類函數(shù)題解構方法，對處理函數(shù)高考題中數(shù)學對象確立產(chǎn)生的一題多解、溝通數(shù)學對象與問題目標之間的聯(lián)系進行了一題多變的案例研究。

關鍵詞：高中數(shù)學；函數(shù)題；解構

一、選題背景

（一）函數(shù)處在高中數(shù)學核心地位

函數(shù)知識貫穿高中數(shù)學，與數(shù)列、解析幾何等知識緊密聯(lián)系，是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是歷年浙江省高考的重難點（近三年純粹函數(shù)考題的統(tǒng)計見下表，不含其他知識背景考查函數(shù)題）。學好函數(shù)是學好高中數(shù)學的關鍵，同時是深入研究數(shù)學甚至是其他學科的基礎。

（二）數(shù)學對象確立的適切性是數(shù)學解題的關鍵點

數(shù)學解題結構的過程一般可分四環(huán)節(jié)：定義概念→探究性質(zhì)→建立聯(lián)系→實踐應用。詳細的，首先從數(shù)、形的角度提取信息并確立數(shù)學對象，然后探索數(shù)學對象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關系和相互作用而探究出性質(zhì)，再建立相關知識的數(shù)學聯(lián)系形成一個知識體系，最后應用所生成的新的知識體系來解決數(shù)學問題。這樣形成一個螺旋上升、層層深入并能達成深化認識、拓展新知的數(shù)學問題解構過程，而其中數(shù)學對象確立的適切性是數(shù)學問題解構的關鍵點。

【案例1】（2008年浙江理15）

已知t為常數(shù)。函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t= .

點析：此題難點是參數(shù)t的認識和處理。若通過分析解構出數(shù)學對象來開展解題的路徑，如確立數(shù)學對象為函數(shù)y=x2-2x，然后探究y=x2-2x的圖象與函數(shù)y=x2-2x-t的圖象及y=|x2-2x-t|的圖象的關系，再建立直觀的數(shù)學聯(lián)系，結合圖象解決問題。本題本質(zhì)的解構方法在于能否把問題轉化為一個確定函數(shù)圖象的平移和翻折變換到某一特定位置。

（三）高中生之于數(shù)學解題的思維盲點

高中數(shù)學語言相比初中數(shù)學抽象程度突增，知識內(nèi)容整體數(shù)量巨增，思維方法更具嚴謹性和推理性，對綜合分析能力較弱的學生易產(chǎn)生學困點，解題時更會出現(xiàn)思維盲點。如何從抽象的數(shù)學內(nèi)容中提取出適切的數(shù)學對象？如何把抽象的數(shù)學對象轉化得直觀而易于探究？這是我們數(shù)學解題研究一個努力的方向。

點析：此題難點在于題設信息怎么提取轉化，選項信息與題設信息之間的聯(lián)系是什么？根據(jù)題設信息已知函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)選項信息可選擇用換元法求f（x）的解析式，這一步驟是可操作的。但是篩選出正確選項的依據(jù)是什么？關注到題設信息“函數(shù)”，可追問求出來的關系式是“函數(shù)的表示形式”嗎？這一抽象思維過程是難點。因此此題的思維盲點在于我們想要了解的數(shù)學對象是什么，如果能確立數(shù)學對象為函數(shù)的解析式，結合對函數(shù)定義的考量，此題即破。

基于上述三個方面的教學實際需求，本文擬通過研究高中函數(shù)模塊中解題的教學實踐，歸納總結出以確立適切的數(shù)學對象是數(shù)學問題解構的關鍵環(huán)節(jié)，并以案例的形式確立數(shù)學對象來解題。

二、實踐嘗試

（一）基于函數(shù)模塊的數(shù)學對象的分類

1.理論基礎

（1）數(shù)學的語言功能

數(shù)學是具有獨特的符號系統(tǒng)和嚴謹?shù)谋磉_方式的一門語言。數(shù)學解題可以看成是運用數(shù)學語言進行數(shù)學閱讀、表達和交流的過程，也是培養(yǎng)學習者學會思考、學會邏輯思考、創(chuàng)造性思考，從而達成認識問題、解決問題的微實踐。

（2）數(shù)學的核心素養(yǎng)

認識數(shù)學問題的觀點越高，數(shù)學問題越簡單、樸素、自然，越透徹。高觀點的核心要素就是需要具備良好的知識結構和廣泛的知識面，同時能夠用最樸素的思想去推動數(shù)學問題解決的整個思維過程。在函數(shù)模塊對運用函數(shù)的觀點和運動變化的觀點進行深度思考，抽象出適切的數(shù)學對象，以此數(shù)學對象為核心，通過數(shù)學運算與直觀想象及數(shù)據(jù)分析探尋數(shù)學對象與待求數(shù)學問題目標之間的數(shù)學聯(lián)系，進行精準的數(shù)學運算和邏輯推理，達成解決問題的目的。

普高數(shù)學新課程標準提出學生數(shù)學學習的六大核心素養(yǎng)：

在解決數(shù)學問題的過程中可以很好地鍛煉學生抽象、建模、數(shù)據(jù)分析、運算等核心素養(yǎng)，不僅解決了數(shù)學問題，還“繁殖”出數(shù)學素養(yǎng)的“蘑菇群”。通過多年數(shù)學解題策略的研究，本人認為函數(shù)模塊中可以從題設中提取出問題解決的核心點——數(shù)學對象，并以此數(shù)學對象為核心探尋與問題目標的本質(zhì)聯(lián)系，以這樣一種最樸素的思想去思考，讓整個解題思維過程自然流暢。

2.分類設計

本文所指函數(shù)模塊數(shù)學解題中的數(shù)學對象特指：方程、函數(shù)、不等式三類。因為代數(shù)問題探究的基本上是等量關系和不等關系，其中等量關系中需要能分析出解決該問題時需要把等量關系看成方程還是函數(shù)展開探究，但有時候不考慮所含字母的身份，只是看成等式就可以解決問題。

本案例擬從數(shù)學對象選擇入手，展開一題多解的處理方法；然后再改變數(shù)學對象的特質(zhì)，展開一題多變下不斷調(diào)整策略溝通數(shù)學對象與問題解決目標之間的聯(lián)系，從而達成優(yōu)化解決一類問題的解題方法。

三、后記

本文提出的以確立適切的數(shù)學對象入手開展解題，在本人多年教學中一直滲透著、實踐著，所帶的畢業(yè)班都能在高考中于同類班級中取得平均分第一，并能出現(xiàn)高分?，F(xiàn)粗淺地總結出來分享給大家。希望能對教師的教學有所啟發(fā)，提高教學效益，并能幫助學生提高解題能力，增強解題信心，以收到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]張海燕.高中函數(shù)解題教學的研究[D].湖南師范大學，2012.

[2]陳鑫笑.高中函數(shù)學習障礙分析及教學對策研究[D].洛陽師范學院，2016.