王曉梅 楊曉春

摘 要：無窮小量是極限中的一個重要概念。在求極限過程中，等價無窮小是常用的方法之一，正確使用等價無窮小可以大大簡化極限運算。本文主要研究的是等價無窮小在考研數學求極限中的應用。

關鍵詞：等價無窮??；考研數學；極限

極限問題是整個微積分學的基礎，是高等數學基礎概念與核心內容之一。在考研數學中，極限問題的分值大約是4～10分，而高數在考研數學的分值大約是84分，因此極限問題是不容忽視的一部分。通常，大家是利用一階等價無窮小解極限問題，然而，等價無窮小并不只有一階無窮小，如何獲取更多的等價無窮小并應用到實例中是大家更想知道的。本文在第二部分給出了由泰勒公式得到的常見的高階無窮小及實例，并對此問題作了進一步說明，希望對大家有所幫助。

一、 常見的等價無窮小

當x→0時，有

a）1-cosx～x22b）ln（1+x）～x c）sinx～x， e）ex-1～x，f）n1+x-1=xn。

靈活地使用這些等價無窮小，我們可以快速地求解極限問題。

例1 （2016）已知函數f（x）滿足limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=2，則limx→0f（x）=

解：因為

limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=等價無窮小e，flimx→012f（x）sin2x3x=等價無窮小climx→0f（x）x3x=limx→0f（x）3=2

所以limx→0f（x）=6。

利用以上等價無窮小，可以處理一些相對簡單的極限問題，就limx→0sinx-tanxsin2x而言，直接做就會出錯。一些書說加減不能用等價無窮小，只有乘除可以使用等價無窮小，這句話是正確的。若可以找到分子部分整體的等價無窮小，則這個問題就會轉變?yōu)槌顺龁栴}，就可以直接計算。下面本文將在第二部分給出高階等價無窮小，可以運用它使一些加減式的問題轉化為乘除式的。

二、 泰勒公式及高階等價無窮小

（一） 泰勒公式

在各種試題中常用到以下泰勒公式。

ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；

sinx=x-x33！+x55！+…+（-1）m-1x2m-1（2m-1）！+ο（x2m）；

（二） 高階等價無窮小

通過移項可以把泰勒公式轉化為任意階的等價無窮小。如下：

當x→0時，有

a）1-cosx-x22～x424 b）ln（1+x）-x～-x22 c）sinx-x～-x36 d）ex-1-x～x22

下面我們將運用這些高階等價無窮小解歷年真題。

例2（2015）設函數f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=c=kx3。若f（x）與g（x）在x→0時是等價無窮小，求a，b，k的值。

解：（法一）因為ln（1+x）=x-x22+x33+ο（x3），sinx=x-x33！+ο（x3），則由

1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3

=taylorb，climx→0（1+a）x+（b-a2）x2+a3x3+ο（x3）kx3

得1+a=0

b-a2=0

a3k=1，所以有a=-1

b=-12

k=-13。

（法二）由已知可得：

1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3=洛必達limx→01+a1+x+bsinx+bxcosx3kx2

=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2（1+x）

=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2

=洛必達limx→01+bsinx+b（1+x）cosx+b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx6kx

由limx→03kx2=0，limx→06kx=0可得

limx→0（1+a1+x+bsinx+bxcosx）=limx→0（1+a）=0，

limx→0[1+bsinx+2b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx]=limx→0（1+2bcosx）=0

所以a=-1，b=-12；

代入a，b，得k=-13。

通過上面的例題及解法我們可以看出，高階等價無窮小運算量較小，且計算方便；而其他的方法較為復雜，計算量較大。

三、 總結

等價無窮小在求解極限問題時有著廣泛的應用，但要選擇恰當的方法進行求解。本文著重介紹了由泰勒公式獲取的高階等價無窮小并運用它解決了一些相對復雜的極限問題。那么，如何獲取并使用高階等價無窮小是值得我們去研究，思索的問題。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析-第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟大學.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]陳大橋.等價無窮小代換在求極限中的常見應用及推廣[J].成都師范學院學報，2014.

作者簡介：

王曉梅，楊曉春，遼寧省大連市，大連海事大學理學院。