房喜明 宋華兵
【摘要】在一元微積分中,分段函數(shù)是非常重要的一類函數(shù),恰當?shù)厥褂靡恍┓侄魏瘮?shù)作為例子有利于一些數(shù)學概念和定理的理解和掌握.本文給出一些使用分段函數(shù)的正面和反面情況和實例.
【關(guān)鍵詞】分段函數(shù);極限;連續(xù)的;可導的;可積的
【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】QK20160412001
一、引 言
分段函數(shù)在高等數(shù)學中非常重要,典型的分段函數(shù)有取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)(參見[1]、[2]、[3])等,還可以根據(jù)需要定義一些分段函數(shù).極限、連續(xù)、可導、可積等概念,復合函數(shù)求極限的理論以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和微分中值定理等理論是高等數(shù)學中的重要知識點,在這些數(shù)學問題中恰當?shù)厥褂靡恍┓侄魏瘮?shù)十分有必要.在信號處理與恢復的實際應用中,經(jīng)常使用一些分段函數(shù)產(chǎn)生小波基(參見[4]).在數(shù)值逼近中,也經(jīng)常使用由一次或二次多項式構(gòu)成的分段函數(shù) (參見[5]).因此對分段函數(shù)的研究和掌握不僅具有理論價值也有實際意義.本文主要討論高等數(shù)學中使用分段函數(shù)的情形,根據(jù)分段函數(shù)所起的作用,論述分正面和反面兩種情況.
二、主要內(nèi)容
首先討論分段函數(shù)正面使用的情況,之后討論反面的情況.
1.正面情況
(1)在理解一元函數(shù)的連續(xù)性和可導性的方面,可以舉一個正面的例子.例如:
設(shè)f(x)=ex+b,x∈[0,1],asinx+1,x∈[-1,0).
(1)討論f(x)在點x=0連續(xù)時需滿足的條件;
(2)討論f(x)在點x=0可導時需滿足的條件;
(3)f(x)在點x=0可導時,給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的導數(shù) (其中在端點處的導數(shù)是指單側(cè)導數(shù)).
掌握這個例子的求解有助于對于一些概念的理解,如函數(shù)在一點處的連續(xù)性、可導性及其關(guān)系,單側(cè)極限、單側(cè)可導、求導方法等,這些概念和知識點是非常重要的.這樣類型題目一般是要求學生必須掌握的.
(2)函數(shù)極值點和極值概念(參見[2])在高等數(shù)學中非常重要,為使學生理解好這一概念,可以給出一個分段函數(shù)的例子,例如:
f(x)=ex-1,x∈(0,1],1,x=0,x2,x∈(-1,0),1,x∈(-2,-1],(x+3)2,x∈[-4,-2]..
問題:找出極值點(答案是:極大值點x=0; 極小值點x=-3).這個例子結(jié)合圖像說明非常有利于學生掌握極值點及極值概念.
關(guān)于分段函數(shù)其他的正面例子還有很多,例如在用定義limn→∞xn=A時(參見[1]),需要確定一個正整數(shù)N,使得n>N時,恒有xn-A<ε成立,其中N值的確定一般要用到取整函數(shù).
2.反面情況
(1)關(guān)于函數(shù)在一點處的極限問題,有一個重要的知識點,即“函數(shù)在一點處的極限與函數(shù)在該點處的函數(shù)值沒有關(guān)系”.為此,可以舉一個分段函數(shù)的反例幫助理解這一思想.例如:
函數(shù)f(x)=x2,x≠0,-1,x=0在點x=0處極限是0,而函數(shù)值是1.
(2)關(guān)于函數(shù)在一點處的連續(xù)性和可導性的關(guān)系,我們知道是前者不能推出后者,但后者可以推出前者,也即可導必連續(xù),但連續(xù)未必可導.為理解好這一思想,可以舉一個分段函數(shù)的反例.如:
函數(shù)f(x)=x2,x≥0-x,x<0在點x=0處連續(xù),但是不可導.當然也有初等函數(shù)的反例,如函數(shù)f(x)=x13也在點x=0處連續(xù),但是不可導.
(3)復合函數(shù)求極限的運算法則(參見[2]),即設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復合而成,y=f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,若limx→x0g在該法則中,條件“且存在δ0>0,使得當x∈Uo(x0,δ0)時,有g(shù)(x)≠u0”不可缺少.為此可以給出一個分段函數(shù)的反例:
y=f(u)=2,u=1,u,u≠1,u=g(x)=x0,x≠0.
顯然,函數(shù)y=f[g(x)]在點x0=2的某去心鄰域內(nèi)有定義,并且limx→2g(x)=1,limu→1f(u)=1.因此,若不考慮上述條件而直接按照復合函數(shù)求極限的上述法則求極限,會有
實際上y=f[g(x)]=f(1)≡2,x≠0,因此limx→2f[g(x)]=2.導致錯誤的原因是該復合函數(shù)并不滿足該求極限法則的條件.可見,這個反例有助于明確該條件的重要性.
(4)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)非常重要,如有界性、最值性、零點定理和介值性等.其中閉區(qū)間和連續(xù)這兩個條件要求是不可缺少的,若缺少一個,則結(jié)論有可能不成立.為更好地理解這兩個成立條件,可以適當舉一些分段函數(shù)的反例.例如關(guān)于介值性,可以給一個反例.如:
設(shè)f(x)=x2,x∈[-1,0)∪(0,1],
-1,x=0.
則該函數(shù)的最大和最小值分別是1和-2,但不滿足介值性,因為區(qū)間(0,-1)內(nèi)的任何值都不是函數(shù)值.
(5)在求極值點或圖像上拐點的時候,對于學生來說,往往首先想到要利用求導,并尋找駐點和二階導數(shù)為零的點.雖然有知識點“駐點和不可導點是可能的極值點; 二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點是圖像上可能拐點的橫坐標”,但對于不可導點或二階導數(shù)不存在的點的考察容易被忽略.為此,舉一些分段函數(shù)的正面和反面例子有助于掌握該類問題的處理方法.例子可分幾種類型:駐點是(或不是)極值點; 不可導點是(或不是)極值點; 二階導數(shù)為零的點是(或不是)圖像上拐點的橫坐標; 二階導數(shù)不存在的點是(或不是)圖像上拐點的橫坐標.下面給出二階導數(shù)不存在而判斷拐點問題的兩個例子.設(shè)
則f1(x),f2(x)在區(qū)間[-1,1]上均連續(xù),在點x=0處都沒有二階導數(shù),其中f1(x)在點x=0處是一階可導的,而f2(x)在點x=0處是一階不可導的.因此,可知點x=0是這兩個函數(shù)的圖像上可能的拐點的橫坐標.再進一步考察可知,點(0,1)是f2(x)圖像上的拐點,不是f1(x)圖像上的拐點.
(6)微分中值定理的成立條件非常重要.為更好地理解和掌握這些成立條件,可以給出一些分段函數(shù)的反例用以加深印象.例如關(guān)于羅爾定理(參見[1]、[2]、[3]),可給出函數(shù)
f(x)=ex-1,x∈(0,1],(e-1)x2,x∈[-1,0].
此函數(shù)雖然滿足羅爾定理的條件(1)和(3),但因為條件(2)不滿足,使得結(jié)論不成立.其他的如拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以構(gòu)造分段函數(shù)的反例.
(7)定積分是一個既難理解而又非常重要的概念.為更好地讓學生掌握這一概念,可以舉一個分段函數(shù)的反例.例如可考慮狄利克雷函數(shù)D(x),該函數(shù)在區(qū)間[a,b]上不滿足定積分存在的定義.這一反例的給出不但有利于學生對于定積分概念中條件“如果不論對[a,b]怎樣劃分,也不論在小區(qū)間[xi-1,xi]上點ξi怎樣選取,只要當λ→0時,和S總趨于確定的極限I,那么稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分(參見[1]、[2]、[3])”的理解,而且也便于接下來順勢給出兩類可積分的函數(shù),即閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)和只有有限個間斷點的有界函數(shù)是可積的.
以上討論了分段函數(shù)作為反例的7種情形,其他情形還有很多,例如為更好地掌握凸(或凹)函數(shù)定義中的嚴格不等式要求(參見[1]),可以舉由一條或兩條直線構(gòu)成的分段函數(shù)的反例等.舉反例的目的是為幫助理解和掌握一些概念和定理等,雖然關(guān)注的有些只是一些細節(jié)性的知識點,但對于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維是非常必要的.
三、結(jié)束語
本文主要討論一元分段函數(shù)作為例子使用的情形.實際上,對于多元微積分,也有構(gòu)造分片函數(shù)例子的情形,如理解偏導存在與連續(xù)的關(guān)系,多元函數(shù)在一點處極限存在概念等(參見[1]、[2]、[3]).可以看出分段(片)函數(shù)在微積分中作用比較大,有時具有一般的初等函數(shù)所無法替代的地位,在教學中如果能恰當?shù)厥褂梅侄魏瘮?shù)作為例子是十分有意義的.
【參考文獻】
[1]復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,1983.
[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第6版.北京:高等教育出版社,2013.
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[4]崔錦泰.小波分析導論[M].西安:西安交通大學出版社,1997.
[5]Richard L Burden,J Douglas Faires.Numerical Analysis[M].Higher Education Press,2003.