李甜

摘 要 本文主要介紹了Taylor公式和幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)展開式，并針對(duì)Taylor公式的應(yīng)用簡(jiǎn)單討論了幾個(gè)問題，即利用Taylor公式求極限，判斷級(jí)數(shù)的斂散性，進(jìn)行近似計(jì)算，求行列式的值。

關(guān)鍵詞 Taylor公式 極限 斂散性 近似計(jì)算

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.03.019

Taylor公式是微積分中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它是分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具。本文對(duì)以往的成果加以探討，進(jìn)一步說明Taylor公式的應(yīng)用。

1 一元函數(shù)的Taylor公式

Taylor公式的一般形式為： （） = （） + （）（） + （）2 + … + + （）

其中 （）為拉格朗日余項(xiàng)（<<）或者皮亞諾余項(xiàng)（）。在Taylor公式中如果取 = 0，則Taylor公式變成Maclaurin公式： （） = （0） + （0） + + … + （0<<1）

或者寫成

（） = （0） + （0） + + … + + （）

Taylor公式的作用就是在已知函數(shù) （）在某點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù)值的情況下，可以用這些導(dǎo)數(shù)值作為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式（）去近似函數(shù) （）在這一點(diǎn)領(lǐng)域的值，并且給出了兩者之間的偏差。

2 Taylor公式的幾點(diǎn)應(yīng)用

2.1 求函數(shù)的極限

有些函數(shù)的求極限過程非常復(fù)雜或者沒有辦法求解，這個(gè)時(shí)候就可以考慮運(yùn)用Taylor公式將函數(shù)展開，利用多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單性質(zhì)求解極限。

例1 求極限。

解：當(dāng)→0時(shí)， ～ ，由Taylor公式知， = + （）， = + （）把兩個(gè)的高階的無窮小的代數(shù)和仍記作（），所以 = + （） + （） = + （）

即 = =

2.2 求近似值

利用Taylor公式可以對(duì)某些函數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算。

例2 計(jì)算1.1準(zhǔn)確到。

解：（1 + ） = + + … + + （0<<1，>）

要計(jì)算1.1 = （1 + 0.1），可取 = 0.1，為了使誤差不超過，則∣∣<<<

所以≤0.00001，解得≥4。因此，取=4，有

1.1≈0.1 + ≈0.095308

2.3 求函數(shù)的原函數(shù)

若函數(shù) （）在（或某個(gè)區(qū)間）上連續(xù)，則函數(shù) （）在上存在原函數(shù)（） = （）， ，但是這個(gè)原函數(shù)不一定可用初等函數(shù)表示。如果用一般的方法不能求出原函數(shù)，則可以將 （）進(jìn)行Taylor展開，那么 （）可表示成冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)形式。

例 求 （） = 的原函數(shù)

解： = + … + + …

由于它在任意閉區(qū)間一致收斂，于是€HO，它的原函數(shù)為：

（） = = [] = =

2.4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性

在判斷級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，可利用Taylor公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)展開成簡(jiǎn)單形式，再利用判斂準(zhǔn)則進(jìn)行斂散性判斷。

例5 判斷級(jí)數(shù)（）的斂散性。

解：由 = （1 + ） = + + …<

知<，所以 = >0，所以該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

而

= > =

所以 = < （ ） =

所以收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知原級(jí)數(shù)收斂。

2.5 判斷廣義積分的斂散性

在判斷廣義積分| （）|的斂散性時(shí)，通常選用廣義積分（>0）進(jìn)行比較后通過研究無窮小量| （）|（→+）的階來有效地選中的值，從而簡(jiǎn)單地判定| （）|的斂散性（注意到：如果| （）|得收斂，則 （）得收斂）。

例 6 判定廣義積分（ + 2）的斂散性。

解：由 = 1 + + + （）

得

| （）| = ∣ + 2∣

= ∣ + ∣

= ∣（1 + ·· + （））+ （1·· + （））∣

= ∣·+ （）∣

因此， = ，因?yàn)槭諗?，所以| （）|收斂，從而（ + 2）收斂。

2.6 計(jì)算行列式

有關(guān)利用代數(shù)知識(shí)計(jì)算行列式方法很多，但應(yīng)用微分學(xué)的方法計(jì)算行列式的卻很少見。然而利用Taylor公式求解行列式確實(shí)非常有效，下面介紹利用Taylor展式計(jì)算行列式。

例7 求階行列式

解：記（） = ，按Taylor公式在處展開：

（） = （） + （）（） + （） + … + （）

易知

可得（） = ， = 1，2，3，…，時(shí)均成立。

根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，易知

= （），

= （）（），… ，

= 2（）， = 1

于是（）在 = 處的各階導(dǎo)數(shù)為

（）= （） = （） = ，

（）= （） = （） = …

（）= （） = … （） = …2

（） =

把以上各個(gè)導(dǎo)數(shù)代入上式中，有

（） = + （） + （）2 + … + +

如果 = ，則有（） = [ + ]；

如果 ≠ ，則有（） = 。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳傳章，金福林.數(shù)學(xué)分析（下）.北京：高等教育出版社，1986.

[2] 馮平，石永廷.Taylor公式在求解高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用[J].新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003.11（4）：65-66.

[3] 王向東.數(shù)學(xué)分析的概念和方法.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1989.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1999.

[5] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：人民教育出版社，2000.