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        淺談初中二次函數(shù)的教學(xué)

        2018-10-24 11:04:16黃認(rèn)先
        關(guān)鍵詞:滲透

        黃認(rèn)先

        【摘要】 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要知識點,它與一元二次方程、一元二次不等式、方程組以及幾何知識都有必然的聯(lián)系。同時,也為學(xué)生進(jìn)入高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ)。本文僅就二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容的總體認(rèn)識、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力談一些看法。

        【關(guān)鍵詞】 掌握 認(rèn)識 歸納 滲透 發(fā)掘 化解

        【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711(2018)07-124-02

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        二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它不僅是一個重要的數(shù)學(xué)概念,也體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。二次函數(shù)是中考的必考點,考題的難易跨度較大,基礎(chǔ)題、能力題、拓展題三種層次的題目都有可能出現(xiàn)。初中學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)、式、方程等研究常量的計算問題,到學(xué)習(xí)函數(shù)研究變量的變化規(guī)律,是認(rèn)識上的一次重大飛躍。學(xué)習(xí)函數(shù),可以幫助學(xué)生深化對代數(shù)式的認(rèn)識,溝通方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系,完成相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)。同時,二次函數(shù)一章的學(xué)習(xí)也是初中代數(shù)與高中代數(shù)之間在內(nèi)容與思想方法上的銜接與過渡。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識時,缺乏從整體上認(rèn)識二次函數(shù)與圖象以及性質(zhì)的統(tǒng)一性,因而解題上存在著盲目性,缺乏簡潔性和靈活性,運(yùn)用二次函數(shù)解決實際問題的能力明顯不足。根據(jù)多年的教學(xué)實踐,本人認(rèn)為出現(xiàn)這些問題的癥結(jié)。從教師這方面來說主要有三個原因:一是教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”或多或少存在“兩張皮”現(xiàn)象,沒有有機(jī)地統(tǒng)一起來;二是教學(xué)中數(shù)與形的“兩張皮”現(xiàn)象,未能做到數(shù)形結(jié)合和歸納總結(jié)進(jìn)行教學(xué);三是教學(xué)過程沒有充分體現(xiàn)出以學(xué)生發(fā)展為本,缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。本文僅就二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容的總體認(rèn)識、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力談一些看法。

        一、掌握教學(xué)目標(biāo)與指導(dǎo)思想

        二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是:通過學(xué)生積極參與,在探求、認(rèn)知的全過程中理解和掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),初步學(xué)會應(yīng)用,培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力,掌握基本的數(shù)學(xué)方法,增強(qiáng)創(chuàng)新意識,發(fā)展積極的情感態(tài)度和價值觀。為實現(xiàn)這一目標(biāo),必須貫徹新的課程理念,在教學(xué)課程的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容的取舍、課堂教學(xué)的設(shè)計與組織等方面,處處以學(xué)生發(fā)展為本。樹立課程是為學(xué)生提供學(xué)習(xí)經(jīng)歷并獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗的觀念,確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。遵循學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展的規(guī)律,組織合理的知識結(jié)構(gòu),展現(xiàn)知識的生成、發(fā)展和形成的過程;設(shè)計出科學(xué)的課堂教學(xué)環(huán)節(jié),提供學(xué)生親身感受、體驗和實踐的機(jī)會,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動性,發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神;通過學(xué)習(xí)情景的創(chuàng)設(shè),實踐環(huán)節(jié)的開發(fā)和學(xué)習(xí)渠道、手段的拓寬,實現(xiàn)知識的傳承、技能的掌握;能力的發(fā)展、方法的運(yùn)用;情感態(tài)度和價值觀的形成。

        二、從生活實例中認(rèn)識二次函數(shù)的概念

        二次函數(shù)的概念的教學(xué),教材中安排了“正方體的表面積與棱長”、“比賽的場次數(shù)與球隊數(shù)”以及“產(chǎn)量與計劃增長倍數(shù)”等三個實例引入二次函數(shù)的概念.這一節(jié)的課堂設(shè)計和教學(xué)組織應(yīng)做好三個環(huán)節(jié),達(dá)到兩個目標(biāo):一是引導(dǎo)學(xué)生通過思考、合作討論與交流,自己找到三個實例的函數(shù)關(guān)系式——即建立數(shù)學(xué)模型:(1)y=6x2(2)y=0.5x2-0.5x(3)y=-100x2+100x+200;二是通過觀察、比較、抽象,學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個函數(shù)解析式的共同點——函數(shù)都是用自變量的二次式表示的,從而理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù),a≠0)的概念。三是引導(dǎo)學(xué)生從三個實例中,自變量的變化以及函數(shù)相對應(yīng)的變化情況,來理解函數(shù)定義域的意義并求出各函數(shù)的定義域。通過以上三個環(huán)節(jié)的教學(xué)過程,使學(xué)生理解了二次函數(shù)的概念,并能認(rèn)識到實際生活中二次函數(shù)的例子隨處可見,從而激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

        三、類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

        二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本章的教學(xué)重點和難點.許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的主要問題是不能把二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象統(tǒng)一起來,只會機(jī)械地、孤立地認(rèn)識二次函數(shù)圖象和性質(zhì),沒有從整體上完整地把握其性質(zhì);對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中的系數(shù)a、b、c在決定二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的形狀與位置等方面的意義和作用,缺乏深刻、完整的認(rèn)識,即數(shù)與形“兩張皮”。本人在教學(xué)過程中,運(yùn)用類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì):例如,在討論二次函數(shù)y=x2時,可以類比一次函數(shù)研究二次函數(shù)。又如,對于二次函數(shù)y=ax2是分a>0和a<0兩種情況討論,先討論a>0的情況就可以類比a<0的情況進(jìn)行討論。再如,討論二次函數(shù)y=2x2-6x+21的圖象和性質(zhì),再讓學(xué)生運(yùn)用類比的方法研究二次函數(shù)y=-2x2-4x+1的圖象和性質(zhì)。

        數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)貫穿二次函數(shù)討論。對于簡單二次函數(shù)y=x2的研究就是從畫函數(shù)的圖象開始,然后從圖象了解它的性質(zhì)。其后對二次函數(shù)的研究,也展現(xiàn)了從解析式到圖象,從圖象到性質(zhì)的過程,從特殊例子歸納一般結(jié)論。例如,讓學(xué)生觀察二次函數(shù)y=2x2、y=3x2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象的共同點與不同點,歸納函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象特點;探究函數(shù)y=-2x2、y=-3x2的圖象與函數(shù)y=-x2的圖象的共同點與不同點,歸納函數(shù)y=-ax2(a<0)的圖象特點;又如拋物線y=2(x+1)2+3與拋物線y=2x2的關(guān)系,從而歸納出把拋物線y=ax2向上(下)、向左(右)平移得到拋物線y=a(x-h)2+k的結(jié)論。

        由y=ax2→y=ax2+k→y=a(x-h)2→y=a(x-h)2+k→y=ax2+bx+c的處理方法,從特殊到一般,由易到難,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在課堂教學(xué)中,要始終貫穿類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),要使學(xué)生真正認(rèn)識到圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式,就如同解析式、列表是函數(shù)的表達(dá)形式一樣。

        四、在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

        近年來的中考試題中,二次函數(shù)的考查力度也逐漸加大,其數(shù)量與分值明顯增加,設(shè)計內(nèi)容廣泛,具有一定的難度和深度,其題型也是多種多樣,同時,此類以二次函數(shù)為背景的問題,綜合性強(qiáng),題型多,并藉此考查學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

        (一)滲透思想方法,著眼規(guī)律教學(xué)

        二次函數(shù)一章比較多地運(yùn)用了待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,選擇恰當(dāng)?shù)睦},滲透“方法”的教學(xué),幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法審題,尋求解題規(guī)律,有利于數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)和提高。

        例1,直線AB過x軸上的點A(2,0),且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點,B點坐標(biāo)為(1,1)。

        (1)求直線與拋物線所表示的函數(shù)解析式

        (2)如果拋物線上有一點D,使得S△OAD=S△OBC,求D點的坐標(biāo)。

        解(1)由直線過點A(2,0)、B(1,1),得直線方程為y=-x+2.又由拋物線y=ax2過點B,得a=1,即拋物線為y=x2.

        (2)由點C是直線與拋物線交點,易得C點坐標(biāo)為(-2,4).以設(shè)代求,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,x2).則

        S△OAD=x2,S△OBC=S△OAC-S△OAB=3.易得D點的坐標(biāo)

        (二)發(fā)掘內(nèi)在聯(lián)系,形成知識結(jié)構(gòu)

        例2已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B(1)求m的取值范圍;

        (2)證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點P,并求出點P的坐標(biāo); (3)當(dāng)■

        分析:(1)根據(jù)題意得出△=(1-2m)2-4m(1-3m)=(1-4m)2>0,得出1-4m≠0,解不等式即可;

        (2)y=m(x2-2x-3)+x+1,故只要x2-2x-3=0,那么y的值便與m無關(guān),解得x=3或x=-1(舍去,y=0,在坐標(biāo)軸上),故定點為(3,4);

        (3)由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|■-4|,由已知條件得出■≤■<4,得出0<|■-4|≤■,因此|AB|最大時,|■-4|=■,解方程得出m=8,或m=■(舍去),即可得出結(jié)果。

        用二次函數(shù)連貫一元二次方程和不等式的知識,可幫助學(xué)生深化對方程及不等式的理解,使分散的知識系統(tǒng)化,形成完整的知識結(jié)構(gòu)。另一方面,運(yùn)用函數(shù)思想處理方程和不等式問題,以及運(yùn)用方程和不等式知識對運(yùn)動變化過程中的函數(shù)局部問題作靜態(tài)處理的思想方法,為后續(xù)解析幾何學(xué)習(xí)又能起到打基礎(chǔ)的作用。

        (三)綜合運(yùn)用知識,化解壓軸題

        由于綜合題涉及的知識點多、數(shù)學(xué)方法多、數(shù)學(xué)思想多。這就要求學(xué)生準(zhǔn)確迅速地對綜合題提供的信息進(jìn)行梳理、提煉,運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識對綜合題進(jìn)行分解、組合。

        例3如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點,點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點,直線BP與y軸相交于點C

        (1)求拋物線y=-x2+

        ax+b的解析式;

        (2)當(dāng)點P是線段BC的中點時,求點P的坐標(biāo);

        (3)在(2)的條件下,求sin∠OCB的值。

        分析:(1)將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b,解得a,b可得解析式;

        (2)由C點橫坐標(biāo)為0可得P點橫坐標(biāo),將P點橫坐標(biāo)代入(1)中拋物線解析式,易得P點坐標(biāo);

        (3)由P點的坐標(biāo)可得C點坐標(biāo),A、B、C的坐標(biāo),利用勾股定理可得BC長,利用sin∠OCB=■可得結(jié)果。

        二次函數(shù)綜合題的分解與組合是一個難題,分解綜合題實質(zhì)上就是不斷把原問題化解為若干個小問題。實質(zhì)上也是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。教學(xué)中教師要注重對學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

        總而言之,二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要知識點,這是中考的必考重要考點。還是初中代數(shù)與高中代數(shù)之間在內(nèi)容與思想方法上的銜接與過渡,教師在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

        [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

        [1]劉四偉.對于一道初中數(shù)學(xué)競賽題的理解和運(yùn)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高中版·學(xué)研版),2011(01).

        [2]吳坤雄.2011年中考考點復(fù)習(xí)策略(13)——“函數(shù)的考法分析”[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),2011(03).

        [3]楊紅葆.二次函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì)的評課案例[J].新課程學(xué)習(xí)(中),2011(07).

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