路夢(mèng)綺 林劍

摘要：一次函數(shù)圖像在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛應(yīng)用。以工程問(wèn)題為例，分析此類題型解題過(guò)程及思路，總結(jié)規(guī)律方法；探究數(shù)形結(jié)合等思想的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)圖像；分析法；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-9129（2018）07-0255-01

Abstract：a function image has wide application in solving practical problems. Engineering problems， for example， analyzed such questions the problem solving process and thinking， summarizes rule method； To explore the use of several form combining ideas.

Key words：a function image； Analysis method； Several form combining

一次函數(shù)作為初中生接觸的第一類函數(shù)，其概念內(nèi)容、解題方法和數(shù)學(xué)思想是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。靈活運(yùn)用一次函數(shù)的圖像可以為解決實(shí)際問(wèn)題提供快捷簡(jiǎn)便的方法，教師應(yīng)該通過(guò)一些典型問(wèn)題的處理引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納方法，形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)，培養(yǎng)探索和創(chuàng)新精神，并通過(guò)相應(yīng)的訓(xùn)練達(dá)到熟能生巧、舉一反三、觸類旁通的目的。

現(xiàn)以工程問(wèn)題為例，分析解題方法：

例 甲車間使用2臺(tái)A型設(shè)備和乙車間使用1臺(tái)B型設(shè)備合作加工a個(gè)零件，合作一段時(shí)間后，甲車間的一臺(tái)設(shè)備因出現(xiàn)了故障停止生產(chǎn)，修好后繼續(xù)生產(chǎn)，直到完成任務(wù)。每臺(tái)設(shè)備加工零件速度不變，且相同型號(hào)的設(shè)備加工零件的速度相同，甲乙車間共同加工的零件數(shù)量y（件）與加工時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)圖像如圖所示。

（1）求兩種型號(hào)的設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)及a的值；

（2）求甲車間加工的零件數(shù)量z（件）與t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）求甲乙兩個(gè)車間加工的零件數(shù)相等時(shí)t的值。

[解析] （1）方法一：（算數(shù)法）

一臺(tái)A型機(jī)器與一臺(tái)B型機(jī)器的工作效率（290-140）÷（2.5-1）=100（個(gè)/小時(shí)）

（2）分段函數(shù)可分別用分析法求出三個(gè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)的z與t之間的函數(shù)關(guān)系式（“分析法”指以分析的方法尋找有用的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系）。

當(dāng) 時(shí)，甲車間兩臺(tái)機(jī)器的工作效率為 （個(gè)/小時(shí)），故z=80t。

當(dāng) 時(shí)，甲車間生產(chǎn)已產(chǎn)80個(gè)零件，之后一臺(tái)A型機(jī)器以40個(gè)/小時(shí)的效率生產(chǎn)，故z=80+40（t-1），即z=40t+40。

當(dāng) 時(shí)，甲車間已生產(chǎn) （個(gè)）零件，之后兩臺(tái)A型機(jī)器以80個(gè)/小時(shí)的效率生產(chǎn)，故z=140+80（t-2.5），即z=80t-60。

（3）分析可知只有在（2）中時(shí)間段內(nèi)可能出現(xiàn)兩車間加工零件個(gè)數(shù)相等。設(shè)乙車間加工零件個(gè)數(shù)為w個(gè)，則w=60t；

當(dāng)40t+40=60t時(shí)，t=2；當(dāng)80t-60=60t時(shí)，t=3。

通過(guò)以上分析，解決此類問(wèn)題可從以下幾個(gè)方面著手：

1.弄清坐標(biāo)軸所代表的實(shí)際意義。

2.注意坐標(biāo)系中一些關(guān)鍵點(diǎn)所表示的實(shí)際意義。

3.體會(huì)所設(shè)函數(shù)關(guān)系式中k值所代表的實(shí)際意義。其中“-”號(hào)要結(jié)合不同情況而定， 表示工作效率。

4.明確解決問(wèn)題的切入點(diǎn)在哪里。

要會(huì)看圖像，結(jié)合已知信息，直接找到淺層次問(wèn)題的答案，或者用算數(shù)方法、列方程（組）的方法解決起點(diǎn)稍高的問(wèn)題。找到了切入點(diǎn)，解決問(wèn)題就有了突破口，后繼問(wèn)題就可以依托切入點(diǎn)的答案進(jìn)一步探索，從而得到解決。

5.掌握利用函數(shù)圖像求一次函數(shù)解析式的兩種方法：

（1）待定系數(shù)法：從圖像中找出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)關(guān)系式，列方程（組）求出k，b的值。

（2）結(jié)合實(shí)際意義利用分析法列出函數(shù)關(guān)系式，此法有時(shí)比用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式簡(jiǎn)便，并且在找不到點(diǎn)的已知坐標(biāo)的情況下更能體現(xiàn)出它的優(yōu)勢(shì)（如（2）問(wèn)）。

6.直接理解圖像有困難時(shí)建議采用線段示意圖法幫助分析，列出函數(shù)關(guān)系式，使其把握實(shí)用的解決問(wèn)題的方法。

7.實(shí)際問(wèn)題常常涉及分段函數(shù)，注意培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想。

一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)圖像，了解圖像蘊(yùn)涵的信息，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法、分析法求函數(shù)表達(dá)式，并讓學(xué)生在經(jīng)歷用一次函數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，逐步加深對(duì)函數(shù)思想的理解[1]。

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，近幾年的中考數(shù)學(xué)試題更加注重與生活的聯(lián)系，貼近生活的一次函數(shù)圖像應(yīng)用題備受命題者的青睞。利用一次函數(shù)的圖像解決實(shí)際問(wèn)題能夠夯實(shí)學(xué)生對(duì)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力、探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，形成數(shù)學(xué)思維[2]。教師要在教學(xué)實(shí)踐中有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建方法框架，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想。

參考文獻(xiàn)

[1]崔競(jìng).“一次函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)，[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）2017，3，15.

[2]宋長(zhǎng)山.如何解決一次函數(shù)“圖像應(yīng)用題”.[J]初中生學(xué)習(xí)（高），2016，8，20.