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        淺析高中數(shù)學(xué)小題中有關(guān)構(gòu)造函數(shù)問題

        2018-10-20 10:56:44宋英軍
        文理導(dǎo)航 2018年20期
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

        宋英軍

        【摘 要】為同學(xué)們總結(jié)有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)中小題的部分題型的解題思路,幫助其擺脫對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的陰影,特對函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的部分小題做出一些個人的總結(jié),希望對同學(xué)們有些許幫助。

        【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);構(gòu)造函數(shù);由條件推導(dǎo)新函數(shù)

        根據(jù)各種有關(guān)函數(shù)構(gòu)造小題,本人將其分為兩大類:⑴有關(guān)函數(shù)奇偶性的簡單函數(shù)構(gòu)造問題。⑵單純的復(fù)雜函數(shù)構(gòu)造問題。由于例題過于繁雜,本人便不一一列舉。不過,在講述解題方法之前,本人先對其所用的基本公式進(jìn)行一下說明,以便于之后的總結(jié)。

        由于目前高中對函數(shù)介紹較少,對于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算主要應(yīng)用以下幾個公式:

        1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的加減法運(yùn)算公式;

        2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算公式;

        3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。

        為了便于做出總結(jié),特在此將函數(shù)導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算公式做一些改動。改動并證明如下:fxgx′=f′xgx-fxg′xgx2fx

        gx-1′=f′xgx-1+fxg′xgx2=f′xgx-1+fxgx-1′可知,函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算公式與除法運(yùn)算公式實(shí)質(zhì)性等同。

        類型一:有關(guān)函數(shù)奇偶性的簡單函數(shù)構(gòu)造問題;

        1.(高考)奇函數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問題的顯性應(yīng)用

        常見條件:①fx在R上可導(dǎo);②fx+f-x=2Ax2在R上恒成立;③f′x-2Ax在0,+∞或-∞,0為正或為負(fù)。

        構(gòu)造過程:fx+f-x=2Ax2fx-Ax2=-f-x-A-x2。所以,fx在R上為奇函數(shù)。令gx=fx-Ax2,則g′x=f′x-2Ax,即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

        2.(拓展)偶函數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問題的顯性應(yīng)用

        常見條件:①fx在R上可導(dǎo);②fx-f-x=2Ax在R上恒成立;③f′x-2A在0,+∞為正或為負(fù)。

        構(gòu)造過程:fx-f-x=2Axfx-Ax=f-x-Ax。所以,fx在R上為偶函數(shù)。令gx=fx-Ax,則g′x=f′x-2Ax,即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

        3.(拓展)隱性應(yīng)用

        眾所周知,兩個奇函數(shù)相加仍為奇函數(shù),偶函數(shù)亦然。而x的奇次方為奇函數(shù),x的偶次方為偶函數(shù)。如果上述的奇函數(shù)與x的奇次方相加,偶函數(shù)與x的偶次方相加,即可構(gòu)造出更加復(fù)雜的函數(shù)。但因其難度太大,在此便不做具體說明。

        類型二:單純的復(fù)雜函數(shù)構(gòu)造問題

        1.(高考)冪函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

        常見條件:①fx在R上可導(dǎo);②xf′x+Afx在0,+∞或-∞,0或R上為正或為負(fù)。

        構(gòu)造過程:令gx=xAfx,得g′x=xAf′x+AxA-1fx=xA-1xf′x+Afx。即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

        2.(高考)指數(shù)函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

        常見條件:①fx在R上可導(dǎo);②f′x+Afx在0,+∞或-∞,0或R上為正或為負(fù)。

        構(gòu)造過程:令gx=eAxfx,得g′x=eAxf′x+AeAxfx=eAxf′x+Afx。即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

        3.(高考)正余弦函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

        由于此類問題形式簡單而種類繁多,我將以表格形式列出。表格如下:

        4.(高考)三項式問題

        常見條件:①fx在R上可導(dǎo);②Ax+Bfx+xf′x在0,+∞或-∞,0或R上為正或為負(fù)。

        構(gòu)造過程:因為Ax+Bfx+xf′x=xf′x+Afx+Bfx=xf′x+Bfx+Axfx,所以猜測新函數(shù)gx=eAxxBfx,得g′x=eAxxB-1Ax+Bfx+xf′x。故新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

        以上便是本人對小題中函數(shù)構(gòu)造的全部見解,希望對同學(xué)們有些許幫助。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]五年高考,三年模擬.組卷網(wǎng)

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