樓雙燕

摘 要：現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是人類思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，通常會(huì)用變式教學(xué)的方法，采取變式提問(wèn)的引導(dǎo)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方面的研究和探索，從而找到解決問(wèn)題的根本途徑。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)；思維；高考數(shù)學(xué)

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，可以看出高考數(shù)學(xué)試題加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用的考查，這就要求我們教師平時(shí)要加大對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。如何提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的解題速度、正確率，光靠題海戰(zhàn)術(shù)是不夠的，本人認(rèn)為要注重學(xué)生解題后的反思、點(diǎn)評(píng)，發(fā)揮“一題多變”“一題多解”“多題一解”的變式，打破學(xué)生的傳統(tǒng)解題思想，從全新的角度進(jìn)行分析，找到最佳的解決方案，提高解題效率。

變式教學(xué)注重對(duì)學(xué)生內(nèi)在思維的遞進(jìn)過(guò)程，利用變式教學(xué)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化歸，是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常用的、極其有效的教學(xué)手段，可以讓學(xué)生站在整體的角度，全面地思考問(wèn)題，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考的意識(shí)。而這些都需要教師在新舊知識(shí)之間做一定的鋪墊，層層遞進(jìn)，使得學(xué)生能一步步地解決問(wèn)題。本文主要對(duì)這三種解題方法及題型的變式進(jìn)行闡述。

一、一題多變之變式

一題多變之變式，就是通過(guò)對(duì)某一題目進(jìn)行條件變化、結(jié)論探索、逆向思考、拓廣變式、推廣應(yīng)用等多角度、多方位的探究，使一個(gè)題目變?yōu)橐活愵}，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)及探索、創(chuàng)新能力。

例：已知橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一

點(diǎn)，∠F1PF2=90°，則S△FPF=__________。

變式1：若“∠F1PF2=90°”改成“∠F1PF2=60°”，則S△FPF=__________。

變式2：已知橢圓+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一點(diǎn)，∠F1PF2=？茲，則S△FPF=__________。

變式3：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點(diǎn)，∠F1PF2=？茲，則S△FPF=__________。

本例題是一個(gè)特殊角90°的問(wèn)題，變式成一般的角度60°，勾股定理就無(wú)法使用了，需要用到橢圓的定義及余弦定理，（2c）2=PF12+PF22-2PF1PF2cos60°=（PF1+PF2）2-3PF1PF2=4a2-3PF1PF2，

所以PF1PF2=（a2-c2）=b2

所以S△FPF=PF1PF2sin60°=b2=3

若改成一般橢圓呢？能否既得到一般性的結(jié)論，又具有推廣意義，進(jìn)行了變式2的訓(xùn)練，此時(shí)經(jīng)過(guò)計(jì)算可得出S△FPF=b2tan，再者我們將橢圓變成雙曲線，同樣利用雙曲線的定義及余弦定理得出S△FPF=，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

變式4：已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的

一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，則橢圓和雙曲線離心率的倒是之和的最大值為_______（2014年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題）

利用橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式得：b21tan30°=（設(shè)橢圓和雙曲線的虛半軸長(zhǎng)分別為b1，b2，離心率分別為e1，e2）

即+=4，由柯西不等式得（+）2=（+·）2≤（+）·（1+）=，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取到等號(hào)，從而+≤。

點(diǎn)評(píng)：一題多變已歸類出一般性的結(jié)論，為了能進(jìn)一步鞏固結(jié)論，又進(jìn)行拓展變式4的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。一題多變的題目，重視了同類題型的歸類總結(jié)，從而避免了盲目的題海訓(xùn)練，使數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)變得輕松而有效率。

二、一題多解之變式

一題多解是指從不同角度，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)原理、不同的數(shù)學(xué)方法和不同的數(shù)學(xué)思路進(jìn)行解題。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為______。

本例題利用基本不等式求最值的一類典型例題，學(xué)生也比較容易出錯(cuò)，比如：

2x+y=1≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取到等號(hào)，從而+≥2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到等號(hào)，這樣的錯(cuò)誤未考慮兩次均值不等式能否同時(shí)取到等號(hào)。下面從不同方法來(lái)解決此類例題。

解法一：“1”的代入

+=（+）（2x+y）=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取到等號(hào)，所以+的最小值為3+2。

點(diǎn)評(píng)：已知“和”為定值，求“和”的最值問(wèn)題，解題的基本思路是兩者相乘，構(gòu)造基本不等式。

解法二：三角換元法

因?yàn)閤，y∈R+，且2x+y=1，所以令2x=cos2α，y=sin2α，所以+=+=+=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取到等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：已知“和”為定值，可以借助于cos2α+sin2α=1，運(yùn)用三角換元法構(gòu)造基本不等式。

解法三：消元構(gòu)造法

因?yàn)閤，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，），則+=+===當(dāng)且僅當(dāng)1-y=時(shí)取到等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)解法一、二、三的教學(xué)，可以讓學(xué)生輕松地理解和掌握均值不等式在求最值時(shí)應(yīng)滿足的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”。

解法四：整體換元法

令+=t，則txy=x+y，

又因?yàn)閤，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，）

所以t（1-2y）y=1-2y+y

即方程2ty2-（1+t）y+1=0在y∈（0，）內(nèi)有解。

令f（y）=2ty2-（1+t）y+1，則<Δ≥0或≥f（）<0，解得

t≥3+2

點(diǎn)評(píng)：整體換元的解題基本思路是運(yùn)用函數(shù)的思想方法，求

某個(gè)量的最值就可看成關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)，如果變量較多，就采取消元的思想進(jìn)行降元。

開展一題多解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，鞏固數(shù)學(xué)思想方法的滲透，挖掘例題的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。但一題多解的最終目的不是展示多少種方法，而是尋找一種最佳、最簡(jiǎn)潔的方法。

三、多題一解之變式

在數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐中可以看出，雖有多個(gè)題目，但屬于同一種類型，故可用同一種思路或方法來(lái)解決問(wèn)題，即為多題一解。在解題過(guò)程中，為強(qiáng)化某一解題方法，我們將一些不同內(nèi)容的練習(xí)有機(jī)串聯(lián)起來(lái)，編成一組，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，讓學(xué)生用同一種方法去解，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的，提高學(xué)生的化歸能力，使零碎的知識(shí)整合成一個(gè)有機(jī)的整體，從而提高學(xué)生解題技巧技能和運(yùn)用知識(shí)的能力。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為______。

在前面我們已經(jīng)用多種方法解決了本例題，在平時(shí)最常用的、最簡(jiǎn)潔的方法還是“1”的代換，可歸納為：已知“和”為定值，求“和”的最值問(wèn)題。為了更好地活用“和”為定值的條件，在教學(xué)中可以給出變式，達(dá)到舉一反三的效果。

變式1：已知x，y∈R+，且+=1，則x+y的最小值為______。

點(diǎn)評(píng)：x+y=（+）（x+y）=10++≥10+2=16，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取到等號(hào)。

變式2：已知x，y∈R+，且9x+y=xy，則x+y的最小值為_________。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閤，y∈R+，且9x+y=xy，所以+=1，就回到了變式1，充分挖掘題目中“和”為定值的隱含條件，就迎刃而解。

變式3：設(shè)a>b>c，不等式+≥恒成立，則m的最大值為______。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閍>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>0，所以變式3的原不等式等價(jià)為[（a-b）+（b-c）]（+）≥m恒成立的問(wèn)題，[（a-b）+（b-c）]（+）=2++≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a+c=2b時(shí)取到等號(hào)，所以m的最大值為4。

變式4：已知x，y，z∈R+，且x+y+z=2，則++的最小值為_________。

點(diǎn)評(píng)：++=（++）（x+y+z）=（3++++++）≥（3+2+2+2）=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取到等號(hào)。

可見，我們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)一些典型例題進(jìn)行變式或引申是很有必要的，雖然這里有多個(gè)題目，但都屬于已知“和”為定值，求“和”為最值的問(wèn)題，通過(guò)多解一題的變式，不僅達(dá)到了復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以挖掘?qū)W生思維的深度。同時(shí)我們?cè)诒纠ㄒ阎獂，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為________）的一題多解的基礎(chǔ)上通過(guò)變式訓(xùn)練，將其解題的思想方法進(jìn)行整理提煉，升華為多題一解，來(lái)提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

顧泠沅教授曾說(shuō)過(guò)：“變式教學(xué)是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一大法寶?！弊兪浇虒W(xué)其實(shí)是一類“體系”教學(xué)即教師引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般、由一般到特殊多視野認(rèn)知同一類體系的數(shù)學(xué)問(wèn)題的循環(huán)過(guò)程，在數(shù)學(xué)課堂中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用變式教學(xué)可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性、深刻性和變通性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加深學(xué)生的思維深度，還能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。變式教學(xué)是將學(xué)生從“題?！敝薪饷摮鰜?lái)的一種重要途徑，同時(shí)也使學(xué)生在課堂上迸發(fā)了學(xué)習(xí)的思維火花。

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？誗編輯 高 瓊