張羿嵩

摘 要：高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會遇到分類討論，例如在解不等式中，里面涉及有參數(shù)，必不可少的就是會進(jìn)行分類討論。其實分類討論也不是特別復(fù)雜，那么這就需要學(xué)生多利用數(shù)形結(jié)合的思想，這樣很多抽象的數(shù)據(jù)可以讓他們具體化。另外，高中生還應(yīng)當(dāng)熟悉幾種典型分類討論題目的解題方法，這樣每次做題的時候就可以做到心中有數(shù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分類；討論思想；參數(shù)；數(shù)形結(jié)合；具體化；方法

一、分類討論思想的必要性

分類討論思想是高中自始至終貫穿的一條主線，學(xué)生需要充分了解分類討論的必要性，下面我們從以下3個方面進(jìn)行分析和研究。

（一）明確分類討論的原因。在做題目的時候由于函數(shù)定義域的限制，所以必須在定義域中求得有效解，那么就需要在各個定義域進(jìn)行分類討論，必要的時候也可以多結(jié)合一下數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系，可以將分類寄托在圖像上，這樣更加形象。

（二）熟練掌握分類討論的方法。當(dāng)給一個函數(shù)，他的參數(shù)不確定是，就需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，要將參數(shù)的一個大致范圍確定出來，然后在確定的范圍內(nèi)然后進(jìn)行分類討論，這樣參數(shù)的問題可以變成具體的數(shù)值問題。

（三）將分類討論的結(jié)果進(jìn)行歸納整理。在完成各個對象的分類討論時，需要將求得的解進(jìn)行歸納整理，這個時候也是需要自己細(xì)心的時候了，因為有些結(jié)果重復(fù)了，你就需要將重復(fù)的進(jìn)行合并整理。

二、分類討論在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)

（一）函數(shù)中分類討論思想的體現(xiàn)。這種題目一般會以選擇題和填空題的形式進(jìn)行考察。一般分類討論思想會和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想進(jìn)行結(jié)合。

例題：假定函數(shù)f（x）=x2+x，x<0-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍為a≦ 。

題目分析：此題考查的是分段函數(shù)的知識，然后運(yùn)用換元的知識進(jìn)行解決。

解答： ①

或者 ② 解得①：

-2≤？子<0，解得②？子≥0，所以？子≥-2，于是f（a）≥-2，就相當(dāng)于a<0a2+a≥-2 ③ 或者a≥0-a2≥-2 ④ ，解得③：a<0，解得④：0≦a≦，綜上所述a≦。

（二）導(dǎo)數(shù)中分類討論思想的體現(xiàn)。這種題目一般可以分成兩類：含參數(shù)變量和不含參數(shù)變量。一般來說含參數(shù)變量的難度較大。

例題：已知函數(shù)f（a）=acosa-sina，a∈[0，？仔，2]

若x<

分析：此題需要利用分類討論進(jìn)行分析。

解答：當(dāng)a>0時，x<相當(dāng)于sina-ax>0相當(dāng)于sina-ay<0

令g（a）=sina-ca即g'（a）=cosa-c

當(dāng)c≤0時g（a）>0，對任意a∈（0，？仔/2）恒成立

當(dāng)c≥1時，對任意a∈（0，？仔/2），g'（a）=cosa-c<0所以

g（a）在區(qū)間[0，？仔/2]上單調(diào)遞減，從而g（a）

當(dāng)0

因為g（a）在區(qū)間[0，a0]上是增函數(shù)

所以g（a0）>g（0）=0所以g（a）>0對∨a∈（0，？仔/2）恒成立

當(dāng)且僅當(dāng)g∈（？仔/2）=1-（？仔/2）c≥0即0

綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)c≤2/？仔時，g（a）>0對任意a∈（0，？仔/2）恒成立

當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時，g（a）<0對任意a∈（0，？仔/2）恒成立

所以：若x

（三）數(shù)列中分類討論思想的體現(xiàn)。這個題目一般會以大題的形式出現(xiàn)在試卷中，一般會有兩問至三小問，一般來說，第一問比較簡單，就是求一個數(shù)列的基本系數(shù)，都是根據(jù)公式來求得，求解的時候需要考生仔細(xì)一點(diǎn)。第二、三問難度可能大一點(diǎn)，會有分類討論夾雜在其中。

例題：已知等差數(shù)列{bn}滿足：

b1=2，且b1，b2，b3成等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列{bn}的通項公式

（2）記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，是不是存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800？若果存在，求n的最小值；如果不存在，請說明原因

解答：（1）設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，根據(jù)題意可得，2，2+d，2+4d成等比數(shù)列，所以有（2+d）2=2（2+4d），解得d=0或者d=4.當(dāng)d=0時，{bn}=2；當(dāng)d=4時，bn=4n-2。

從而得到數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2或bn=4n-2.

（2）當(dāng)bn=2時Sn=2n顯然2n<60n+800此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800成立

當(dāng)bn=4n-2時，Sn=2n2令2n2>60n+800，解得n>40所以存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800成立，此時n的最小值為41

綜上所述：當(dāng)bn=2時，不滿足滿足題意的n

當(dāng)bn=4n-2時，存在滿足題意的n，此時n的最小值為41。

綜上所述，要想真正的把分類討論思想徹底弄清楚，那么就需要多去練習(xí)這樣的題目，在大腦里面建立自己的做題體系。導(dǎo)致分類討論的原因有很多，數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形，數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則、基本定理、公式的限制，圖形位置的不確定性、變化等等都可能引起分類討論。建議同學(xué)們在進(jìn)行分類討論解題時，要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏。做到上面所述的三個原則會對大家解題有很大的幫助，希望大家形成有條理、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維。