摘要：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是新人教版現(xiàn)行教材九年上冊(cè)，比舊教材增加的部分知識(shí)內(nèi)容，但在習(xí)題配置上是比較簡(jiǎn)單。因此，這就容易讓九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)在這一部分知識(shí)點(diǎn)中，造成忽視！那么如何加強(qiáng)對(duì)這方面知識(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)呢？筆者認(rèn)為主要應(yīng)該從以下幾個(gè)方面入手：第一，重視一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)；第二，重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與平幾某知識(shí)綜合的復(fù)習(xí)；第三，重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與拋物線綜合的復(fù)習(xí)。

關(guān)鍵詞：根與系數(shù)關(guān)系；知識(shí)綜合；數(shù)學(xué)思維

多年以來(lái)，筆者在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一線工作。發(fā)現(xiàn)：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在人教版教材中的地位是從重點(diǎn)到一般，從一般到?jīng)]有；然后再?gòu)臎](méi)有到一般，從一般又回到重點(diǎn)。現(xiàn)行新人教版教材在九年上冊(cè)中，是增加了這一部分知識(shí)，但在習(xí)題配置上也是輕描淡寫(xiě)。在二次函數(shù)這一章節(jié)中似乎也忽略了對(duì)這一部分知識(shí)的加強(qiáng)。因此，這就容易讓九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)在這一部分知識(shí)點(diǎn)造成忽視。那么如何加強(qiáng)對(duì)這方面知識(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)呢？筆者認(rèn)為主要應(yīng)該從以下幾個(gè)方面入手：

一、 重視一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)

一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系這一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的掌握，首先是要從它的基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)開(kāi)始，然后才有可能進(jìn)行適當(dāng)?shù)木C合應(yīng)用。

例1有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A. 如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B. 如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同

C. 如果5是方程M的一個(gè)根，那么15是方程N(yùn)的一個(gè)根

D. 如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1

分析：本題的各選擇支所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)主要有：一元二次方程的解的定義；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系。由此可見(jiàn)，一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不可忽視。事實(shí)上對(duì)于選擇支B，我們可以這樣作出剖析：如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么Δ=b2-4ac≥0，ca>0，所以a與c符號(hào)相同，ac>0，所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意。其余選擇支在這里不作詳細(xì)剖析。

二、 重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與平幾某知識(shí)綜合的復(fù)習(xí)

重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與平幾某知識(shí)模塊的綜合，人們首先是考慮一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系與平幾有關(guān)知識(shí)綜合，然后根據(jù)題目已知條件，在這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)尋找有機(jī)結(jié)合點(diǎn)。

例2等腰三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根，則n的值為（）

A. 9

B. 10

C. 9或10

D. 8或10

分析：由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b

①當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，不妨設(shè)a=2；由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系

得到2+b=6，2+b=n-1，即可得到結(jié)果。

②當(dāng)a=b時(shí)，方程x2-6x+n-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由Δ=（-6）2-4（n-1）=0可得結(jié)果。

這里需要特別指出的是，如果說(shuō)所求得的n值不能使三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2組成三角形，那么這樣的n值是不合題意的，要舍去。

三、 重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與拋物線綜合的復(fù)習(xí)

當(dāng)拋物線綜合應(yīng)用問(wèn)題中，涉及拋物線與x軸有兩點(diǎn)時(shí)，人們往往把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，使用已知條件，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而達(dá)到綜合解決問(wèn)題的目的。

例3已知拋物線y=-x2+2（m+1）x+m+3與x軸相交于兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上），與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求m的取值范圍；

（2）若|OA|∶|OB|=3∶1，在該拋物線對(duì)稱軸右邊圖像上求一點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得∠PCO=∠BCO。（2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷第12題）

分析：（1）僅僅知道，關(guān)于x的方程-x2+2（m+1）x+m+3=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，是不夠的.

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上.

所以我們還要考慮方程，-x2+2（m+1）x+m+3=0的兩根一正一負(fù)，

也就是這個(gè)方程的兩根積是負(fù)數(shù)，才能求m的取值范圍是m>-3.

（2）先求函數(shù)解析式。由|OA|∶|OB|=3∶1，可設(shè)點(diǎn)A（-3n，0），B（n，0），則可根據(jù)一元二次方程-x2+2（m+1）x+m+3=0的根與系數(shù)關(guān)系得-3n+n=2（m+1），-3n·n=-（m+3），

解得m=0。

從而函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3.

由此可知A（3，0），B（-1，0），C（0，3）。

再由∠PCO=∠BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

可知BC與PC關(guān)于直線OC對(duì)稱。

作B關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（1，0），

可設(shè)直線PC是一次函數(shù)y=kx+b的圖象，則

3=k·0+b，0=k·1+b，解得k=-3，

b=3

所以PC是一次函數(shù)y=-3x+3的圖象。

從而不難求得拋物線對(duì)稱軸右邊圖象上有一點(diǎn)P（5，-12），

使得∠PCO=∠BCO。

總之，一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系這一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在九年級(jí)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，不容忽視。教學(xué)中可通過(guò)重視一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)；重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與平幾某知識(shí)綜合的復(fù)習(xí)；重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與函數(shù)圖象知識(shí)綜合的復(fù)習(xí)；重視一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與拋物線知識(shí)綜合的復(fù)習(xí)。做到了以上四點(diǎn)，就完全可以達(dá)到復(fù)習(xí)的效果，從而較好地提高學(xué)生綜合應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

作者簡(jiǎn)介：林國(guó)耀，福建省莆田市，福建省莆田華僑中學(xué)。