【摘要】創(chuàng)新素養(yǎng)是核心素養(yǎng)的“核心”成分，當下數(shù)學課堂教學應重點關注學生創(chuàng)新素養(yǎng)的生成與提升，培育學生的創(chuàng)新素養(yǎng)應成為數(shù)學課堂教學的一個重要目的和一條基本原則。構建創(chuàng)新素養(yǎng)視域下的完整數(shù)學知識以及基于完整數(shù)學知識深度學習體系，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)、創(chuàng)新素養(yǎng)生成、提升的必由之路。從深度學習走向深度教學，是教與學的一致性與相融性所決定的必然選擇。

【關鍵詞】課堂教學 創(chuàng)新素養(yǎng) 完整知識 學習體系 生成與提升

【基金項目】北京市朝陽區(qū)“十三”教育科學規(guī)劃重點課題—喚醒與提升高中學生數(shù)學學習力課程與教學的實踐研究（ZD1351004）階段研究成果。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0118-04

創(chuàng)新素養(yǎng)已被列入我國核心素養(yǎng)的框架體系之中。將我國學生發(fā)展六個核心素養(yǎng)可以進一步聚焦，并結合當前我國課堂教學現(xiàn)狀，我們認為，創(chuàng)新素養(yǎng)是核心素養(yǎng)的“核心”成分，當下數(shù)學課堂教學應重點關注學生創(chuàng)新素養(yǎng)的生成與提升，培育學生的創(chuàng)新素養(yǎng)應成為數(shù)學課堂教學的一個重要目的和一條基本原則。

從學生發(fā)展方面看，創(chuàng)新素養(yǎng)決定個人前途，決定個人的社會貢獻度。創(chuàng)新素養(yǎng)是個人綜合素質的集中體現(xiàn)，是個人主體性的巔峰表現(xiàn)，是人的現(xiàn)代化的重要表征，關乎學生的根本利益和長遠利益，是學生未來有效應對不確定性外部環(huán)境的制勝法寶。創(chuàng)新素養(yǎng)對于學生一生的可持續(xù)發(fā)展、一生的幸福生活而言，比考試技能重要得多。應試技能側重簡單機械記憶，創(chuàng)新能力側重高級思維與復雜問題解決，相比較而言，前者是低級素養(yǎng)，后者是高級素養(yǎng)。在21世紀，墨守成規(guī)必定無所作為，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素養(yǎng)是對學生“真的好”。[1]

我國把培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)作為教育優(yōu)先目標，對于學生個體形成新的目標導向和角色認同至關重要。通過層層傳導機制，國家目標傳導到學生個體，使學生形成創(chuàng)新型目標導向和創(chuàng)新能力角色認同。創(chuàng)新型目標導向是個體創(chuàng)新能力的牽引力。具有創(chuàng)造型目標導向的學生個體會展現(xiàn)出更高的創(chuàng)造力水平。[2]

一、創(chuàng)新素養(yǎng)的內涵以及構成要素

創(chuàng)新素養(yǎng)是創(chuàng)新知識、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新態(tài)度或品格等多方面的綜合表現(xiàn)，它涵蓋創(chuàng)新品格和創(chuàng)新能力兩大方面。[3] 其中，創(chuàng)新品格指的是個體在創(chuàng)新過程中表現(xiàn)出來的人格品質和道德品質，包括創(chuàng)新人格（也即創(chuàng)造性人格）、創(chuàng)新道德素養(yǎng)（價值觀）等，屬于非認知因素，如動機、興趣等，對于創(chuàng)新過程與行為具有動力作用。創(chuàng)新能力是指個體在已有的知識、經驗和實踐基礎上，產生新穎且有價值的產品的心理特征，既包括傳統(tǒng)上人們所重視的發(fā)散思維，也包括批判性思維和聚合思維。創(chuàng)新能力也稱創(chuàng)造力、創(chuàng)新性、創(chuàng)造性，是人類心理機能的高級表現(xiàn)，屬于“高階認知能力”。因此，創(chuàng)新能力是一種綜合能力，核心是創(chuàng)新性思維，創(chuàng)新性思維是綜合性思維能力，是多種思維方式平衡發(fā)展、復合作用的結果，包括發(fā)散性思維和聚合性思維、批判性思維等類型。創(chuàng)新能力具有很強的統(tǒng)領、概括作用，可以把批判性思維統(tǒng)攝起來，因為創(chuàng)新能力強的人，批判性思維不會差。

創(chuàng)新能力體現(xiàn)在創(chuàng)新性的思維過程與創(chuàng)新性的成果（產品）兩個方面。創(chuàng)新性思維過程，是生成新異、有效的問題解決方法的認知系統(tǒng)加工過程；創(chuàng)新性成果是創(chuàng)新性思維過程的產物，可以是一種新概念、新設想、新理論，也可以是一項新技術、新工藝、新產品，但必須同時符合新穎性和有用性兩個要求。新穎性和有用性是創(chuàng)新能力的兩大核心特質，也是從概念上判別創(chuàng)新能力與否的基本標準。

二、創(chuàng)新素養(yǎng)視域下的完整數(shù)學知識結構構建（學生學什么？）

學生學的知識能不能發(fā)揮作用，形成能力、素養(yǎng)，能不能運用這些知識，根本取決于學生是否掌握了有完整結構的知識。仔細分析，知識的完整性取決于知識由一些更基本的要素構成，只有當這些基本要素，都具備時，性質（功能）才能產生，真的知識才能形成，或者知識才能成為知識。我們知道結構由一些要素經、緯度有機支撐交錯而成的。

那么，我們應讓學生經歷什么樣態(tài)的數(shù)學知識的數(shù)學知識學習，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、創(chuàng)新素養(yǎng)才能夠生成，提升或發(fā)展呢？我們認為這種樣態(tài)的數(shù)學知識（完整數(shù)學知識）包括五個層面（橫向寬度或廣度）與四個水平（縱向深度）（見下表）。

五個層面（橫向廣度）包括：情境與問題、知識的形成過程、知識應用過程、知識創(chuàng)新過程與形成知識體系五個相互聯(lián)系、相互遞進的知識發(fā)生、發(fā)展過程。

數(shù)學知識的這五個層面充分展示了數(shù)學知識從哪里來，又到哪里去，數(shù)學知識是如何創(chuàng)造出來，又如何運用該知識去創(chuàng)造相對新知識的無限發(fā)展過程。當然，這個過程是數(shù)學知識創(chuàng)造者在特定的歷史背景、文化背景、社會背景下，面對真實情境，帶著個體認知世界與問題的思想觀念、信念、意向、行為準則和思維方式，運用個體智慧、思維方法，以獨特的科學精神，獨具色彩的人文魅力，遵循著實踐、認識、再實踐、再認識、……的規(guī)律，并在“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界”的過程中，創(chuàng)造數(shù)學知識的。

情境與問題：情境（或背景）是知識的依存條件。沒有情境的知識是不存在的。幾乎所有的知識都擁有自然背景、或歷史背景、或社會背景、或文化背景，都與特定的背景相關聯(lián)[4]。知識的背景是知識的信念條件和證據(jù)條件的根據(jù)。知識源于認識，而認識又源于實踐。（這里，情境與背景等同）

知識形成：就是知識創(chuàng)造者利用舊知識創(chuàng)造知識的過程。作為人創(chuàng)造的知識，從動態(tài)上看，無不是由“問題+思維方法+結論（概念、命題與理論）”所構成，其中，問題是知識產生的源泉，正如波普爾所言：“知識的增長永遠始于問題，終于問題——愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)大量新問題的問題?！币虼?，沒有新問題就沒有新知識。

在這個層面中，數(shù)學知識創(chuàng)造者從用數(shù)學眼光觀察真實情境中的具體問題或材料出發(fā)，經歷了觀察與實驗—比較—分析與綜合—抽象與概括；或歸納推理、類比推理、診斷推理、統(tǒng)計推理形成猜想或命題（原初形態(tài)或初級形態(tài)的經驗知識，一般是數(shù)學家數(shù)學直覺的結果），然后，一般后采用邏輯論證證明猜想的真實性。這是知識成為知識的證據(jù)條件。一般說來，知識的證據(jù)條件有兩個：一是邏輯論證；二是事實證據(jù)。數(shù)學知識需要：論證、推理與證明；科學類知識需要：試驗與觀察；社科類知識需要：聯(lián)系實際。數(shù)學不同于其它科學，它是人類根據(jù)自己的需要而抽象建構起來的，它的真理性必須經受邏輯和實踐的雙重檢驗。

知識應用：是指數(shù)學知識創(chuàng)造者使用數(shù)學知識所形成的新方法，再去解決不同情境中的問題的過程。實際上是數(shù)學知識的發(fā)展過程，或創(chuàng)造新數(shù)學知識的過程。也實際上是對形成的數(shù)學知識再進行實踐檢驗過程。這也是知識成為知識的杜威標準。杜威指出：“所謂知識，就是認識一個事物和各方面的聯(lián)系，這些聯(lián)系決定知識能否適用于特定的環(huán)境，并將之作為區(qū)分真假知識的標準”。只有組織到我們心理傾向中的知識，是我們能讓環(huán)境適應我們的需要，并使我們的目的和愿望適應我們所處的環(huán)境，才是真正的知識。知識內在于人的經驗，它只能在人與客觀世界的關系中通過人的能動活動才得以生產和創(chuàng)造。

數(shù)學知識創(chuàng)造者所創(chuàng)造的數(shù)學知識，只有回到新的不同的情境中去，能解決不同情境（數(shù)學知識相關的現(xiàn)實情境問題、數(shù)學內部不同情境問題、不同學科情境問題，實際上是數(shù)學知識的縱橫應用）中的問題時，才向真正的數(shù)學知識邁進了一步。所謂新情境是指不同于開始時的情境，因此，這里的應用不是簡單的應用，不是知識的模仿應用。能夠解決需要多種數(shù)學知識介入、多種方法運用的常規(guī)性復雜問題和綜合問題。

知識創(chuàng)新：知識創(chuàng)新是知識運用的最終目的，是指數(shù)學知識創(chuàng)造者能不能運用所創(chuàng)造的數(shù)學知識創(chuàng)造相對更新的數(shù)學知識，形成方法并能解決新的問題。即考察數(shù)學知識是否具有生長力。毋庸置疑，碎片化的、孤立的知識點是不能存活的。這也是實踐驗證數(shù)學知識能否成為真正數(shù)學知識的重要一步。

能正確地提出新問題問題就是邁出了創(chuàng)新的第一步。（李政道）從知識應用角度談創(chuàng)新，那么，創(chuàng)新包括橫向創(chuàng)新與縱向創(chuàng)新。知識創(chuàng)新是知識創(chuàng)造者對許多數(shù)學問題都有可能通過變式、改變條件、類比推理等手段而產生出新的問題，當把變式推廣的問題解決之后，就能得到一個新的知識。此外，知識創(chuàng)新的另一種顯示是知識創(chuàng)造者在解決問題過程中實現(xiàn)了方法的突破，能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題，在解決問題中突破常規(guī)的方法就是知識創(chuàng)新。[5]

更重要的是，知識創(chuàng)新是知識創(chuàng)造者具有批判性思維能力和反思能力，良好的數(shù)學直覺與聯(lián)想能力，能夠提出富有見解的數(shù)學猜想，具備對問題的證偽和證實的能力，能夠對數(shù)學問題進行變式、拓展和推廣。具備解決非常規(guī)數(shù)學問題的能力，能夠靈活運用知識和方法解決非常規(guī)性問題。能夠用數(shù)學思維對事物進行判斷和分析，數(shù)學學科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論。

知識創(chuàng)新的核心是新的思想觀念和公理體系的產生，其直接結果是新的概念范疇和理論學說的產生，為人類認識世界和改造世界提供新的世界觀和方法論；知識創(chuàng)新的目的是追求新發(fā)現(xiàn)、探索新規(guī)律、創(chuàng)立新學說、創(chuàng)造新方法、積累新知識?？傊?，知識創(chuàng)新為人類認識世界、改造世界提供新理論和新方法，為人類文明進步和社會發(fā)展提供不竭動力。

知識創(chuàng)新體現(xiàn)出知識的真正本質是一個動態(tài)的發(fā)展過程。這是把數(shù)學看作人類的一種創(chuàng)造性活動，從而數(shù)學主要地就是一種探索的活動，并一定包括有錯誤、嘗試與改進的過程，更必然處于不斷發(fā)展和變化之中。知識發(fā)展是在應用、繼承中創(chuàng)新，沒有繼承就沒有創(chuàng)新，沒有創(chuàng)新也就沒有真正的繼承。在肯定中否定，有其內在的鏈條。知識之間會存在依存關系或邏輯關系，新知識的產生總是與某些舊知識有內在的聯(lián)系。因此，一個知識總會有自身生長與發(fā)展的空間。

形成（構建）新的知識體系（知識創(chuàng)造者的知識體系）

知識創(chuàng)造者經歷了情境與問題、知識形成、知識應用與知識創(chuàng)新四個階段之后，再一次以縱觀全局的哲學家的氣魄，科學求真的理性精神，和諧向善的人文情懷，涌動創(chuàng)新的藝術魅力，去回顧、再認識、反思自己的創(chuàng)造產品并力求成為人類最高價值追求——“真、善、美”的載體后，構建自己的知識體系，并納入已有的數(shù)學理論體系，從而完成了自己的一個完整的數(shù)學知識的創(chuàng)造過程。從而提高自己的審美鑒賞力、與數(shù)學直覺能力。

四個水平（縱向深度）包括：現(xiàn)象水平、概念水平、方法水平、價值水平。是指知識的五個層面在縱向上都包含這四個水平的知識。

譬如，知識應用層面，知識創(chuàng)造者在知識創(chuàng)造過程中，不僅關注其所創(chuàng)造知識的運用，還要關注什么叫應用，如何應用以及應用的價值是什么。

知識五個層面與四個水平構成了數(shù)學知識創(chuàng)造者的知識結構。這也是數(shù)學知識之所以成為知識的內在邏輯。是學生應該學習的數(shù)學知識結構，是學生生成數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)以及情感、態(tài)度、價值觀與創(chuàng)新素養(yǎng)的數(shù)學知識全息元、必要條件。也是喚醒學生內在數(shù)學素養(yǎng)、創(chuàng)新素養(yǎng)的觀照。是學生形成具有專家型知識結構，成為具有適應性專長的人的數(shù)學知識鏡面，既是深度學習的目標，也是深度學習的機制；更是構建課程材料、實施深度教學、評價水平劃分的前提與基礎。

三、創(chuàng)新素養(yǎng)視域下的完整數(shù)學知識深度學習體系構建（學生怎么學？）

我們認為深度學習體系：讀一讀——想一想（認識） ——練一練（初步實踐） ——想一想（再認識）——練一練（再實踐）——想一想（再認識） ，自此，完成了一個認知循環(huán)。其中 “想”是核心，強調了學生的發(fā)展。數(shù)學學習只是通過數(shù)學這個材料開發(fā)人的智力，挖掘人的潛力，培養(yǎng)人的創(chuàng)造力，在這個過程中，著眼點是學生，數(shù)學知識只是培養(yǎng)人、發(fā)展人的一種手段、工具而已。實際上是，將學生創(chuàng)新素養(yǎng)、數(shù)學核心素養(yǎng)的培育深深扎根于深度學習體系上。

首先是：讀一讀。這里指教師針對數(shù)學主題單元、或一章內容構建設計的能呈現(xiàn)知識五個層面與四個水平的完整的課程材料（這里預示著課程設計的根本性變革，必須設計具有專家思維的課程），讓學生實施整體、全面而又有重點的初步閱讀。整體、全面是讓學生對我們構建的完整數(shù)學知識的五個層面包括：“情境與問題、知識的形成過程、知識應用過程、知識創(chuàng)新過程、形成知識體系”全面閱讀；重點是指關注數(shù)學知數(shù)學知識從哪里來，又到哪里去，即數(shù)學知識是如何被創(chuàng)造出來，又如何運用該知識去創(chuàng)造相對新知識的。

這里的閱讀集中在知識的“創(chuàng)新”上，這也是學習科學所強調的深度學習中“深度”的應有之義。其實，我們構建的完整數(shù)學知識的五個層面有兩個知識的創(chuàng)新過程，第一是“知識的形成過程”是利用舊知識創(chuàng)造知識的過程，通常情況我們成為“理解”。第二個創(chuàng)新是“知識創(chuàng)新過程”，是利用知識創(chuàng)造相對更新知識的過程。

還原知識的本真狀態(tài)，任何知識都是在特定的情境中生成與顯現(xiàn)，產生于某種給特定的“境域”，產生于知識發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者與研究者的生活、情感與信念以及研究共同體內外的爭論、協(xié)商和各種思想支撐條件。知識在情境中是活的；脫離情境的知識，是死的。數(shù)學情境是指數(shù)學知識產生、提出、發(fā)展的條件、背景、過程、或故事。從廣義上講，數(shù)學情境也是數(shù)學知識的一個重要組成部分，數(shù)學知識轉化為數(shù)學素養(yǎng)離不開數(shù)學情境的介入與參與。如果說數(shù)學知識是數(shù)學素養(yǎng)形成的載體，那么數(shù)學情境是數(shù)學知識的載體。這也是核心素養(yǎng)教學倡導的“問題與情境”是教學的首要環(huán)節(jié)的重要原因之一。

從學生學習的角度講，學生進入學習必須具備兩個條件：一是學習主體的求知愿望，二是學習主題的相關經驗。因為沒有愿望，學習就沒有動力；沒有經驗，學習就沒有支撐。因為我們的教學需要來自學生內心深處的愿望，也需要來自學生生命歷程的經驗，所以我們需要情境。情境是為了激發(fā)學生的愿望，情境是為了激活學生的經驗，具備了這兩個條件，學習才能有效地展開。所以，情境能夠激活、喚醒學生的情感和認知，是學生學習的驅動力，可以使學生對枯燥乏味的知識有豐富的附著點和切實的生長點，增加學習活動的生動性、趣味性、直觀性，讓學生在知識學習與應用實踐的互相碰撞中真正明白知識的來龍去脈，形成能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。

教師為學生構建、呈現(xiàn)真實的情境（現(xiàn)實情境、科學情境、數(shù)學情境），讓學生用數(shù)學地眼光觀察、感受、體驗情境，研究情境背后的故事，找出與數(shù)學有關的線索，描述、解釋情境，從而直觀地、富有意義地發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學問題。

在這個過程中，學生不僅看到數(shù)學知識是如何脫胎于情境、直觀地感受到數(shù)學知識的原始形式，又受到數(shù)學創(chuàng)造者如何創(chuàng)造數(shù)學知識的熏陶，激活、發(fā)展了自己的直覺力、聯(lián)想力、想象力、創(chuàng)造力。

教師在教學過程中，應轉變觀念，充分認識數(shù)學閱讀中，研究情境的重要意義，引導學生反思什么情境，數(shù)學情境一般有幾類，為什么要研究情境？情境中的數(shù)學問題一般有幾類？甚至還要明確既然數(shù)學問題來自情境，那么，反過來，數(shù)學問題的解決是否應該賦予、創(chuàng)造一定的情境呢？又如何創(chuàng)造情境呢？等等對這些問題的思考，對于學生如何學習數(shù)學、如何解決數(shù)學問題，培養(yǎng)其自主學習能力，甚至如何創(chuàng)造數(shù)學、發(fā)展創(chuàng)新素養(yǎng)是大有好處的。

其次是：想一想。主要針對“知識形成”環(huán)節(jié)想一想所讀內容到底是講什么，把不明白的東西想明白。其實，就是讓學生思考“知識創(chuàng)造者是如何根據(jù)第一環(huán)節(jié)中提出的問題，進行分析，提出概念、猜想或命題的；又運用什么方法界定概念、證明猜想或命題，然后形成數(shù)學知識的?！币簿褪亲寣W生想（或認識）清楚知識創(chuàng)造者利用舊知識創(chuàng)造知識的。

深度學習是建立在對“知識形成”的理解基礎之上的。學生的學習理解是學生（主體）與知識創(chuàng)造者（主體）之間的對話，真正的理解需要完成“知識形成”的真誠對話。

其實，這是一個非常簡單的道理。如果我們想理解一個人之所以“是這樣”的，就必須了解他思考問題的方法，而要理解他思考問題的方法，就又必須了解他的生活狀況。而他要理解我，也必然是這樣的。因此，深層次的理解在本質上是主體與主體之間對于對方所面臨的問題、所擁有的資源、所持有的價值判斷、所特有的思維方法的理解。這樣的相互理解的過程在本質上是一個質疑與交流的對話過程。是生命與生命的相遇、連通，是生命與生命的接近、濡染、交換，是生命對生命的影響、塑造、成全；是學生生命的變化，提升、完成。

學生因經歷了像數(shù)學家一樣的思考、創(chuàng)造的過程，個人的創(chuàng)造欲望被喚醒，生命活力得到激發(fā)；同時，隨著充斥在問題解決過程中的各種疑問、困難、障礙一一破解，學生的聰明才智、獨特個性充分展現(xiàn)，學生的思維品質得到錘煉，認識能力逐步深化。總之，學生在認知、情感、技能等等方面發(fā)生了系統(tǒng)變化，創(chuàng)新素養(yǎng)得到了提升。

培育、提升學生創(chuàng)新素養(yǎng)，其實就是在學生與知識創(chuàng)造者（文本）對話的關鍵處引導、幫助學生把那個真正屬于自己的充滿創(chuàng)新涌動之美的內在精神世界喚回來，喚出來。有了精神上創(chuàng)新的自我，又有話（想法）要說，這時，解決問題的方法、技能技巧才被迫切需要。有迫切需要，才會有學習。所以，學生通過理解他人創(chuàng)新，就是把一個更為寶貴、真實、有價值、有意義的才充滿創(chuàng)新的精神世界中的自我，留在了這個世界里，這是何等重大之事情！學生，正是因為創(chuàng)新，才獨特、不可替代并富有價值。

教師幫助、呵護學生養(yǎng)成理解他人創(chuàng)新的習慣，重視學生創(chuàng)新的狀況，不是僅僅想提升數(shù)學成績，這是對學生的生命負起了責任，是一個數(shù)學老師給學生一生留下的通向優(yōu)秀與幸福的豐富通道與寶貴源泉。這樣，教學中教師把知識點傳授給學生時，會自覺追問為什么傳授，怎樣傳授，知識點到底對教師和學生意味著什么，有何價值與意義，等等。都需要教師自己進行獨立的判斷與思考，這樣，教師就不再是教材知識的忠實傳播者，而成了教材知識的轉譯者、評判者與創(chuàng)生者。

在知識形成環(huán)節(jié)，教師還應不斷引導學生反思與交流什么叫數(shù)學知識創(chuàng)新？人類為什么要對數(shù)學知識進行創(chuàng)新？又如何對數(shù)學知識進行創(chuàng)新？等等。對促進學生創(chuàng)新能力發(fā)展、創(chuàng)新素養(yǎng)的提升有著積極深遠的意義。

其三是：練一練。初步實踐，就是實踐一下，在上一環(huán)節(jié)（知識形成）你看到的知識，根據(jù)個人的理解（實際上是初步建構）所形成的概念、方法、技能，試一試能否用于解決簡單問題。譬如，概念的學習，有的教師將概念的學習分為兩部分：概念定義的學習和運用概念解題?？墒怯薪涷灥慕處熀芮宄?，定義之后的做題本質上學生概念的鞏固和發(fā)展。其實，做題的本質不是“鞏固”，而是學生概念的“形成和發(fā)展”或初步建構。概念的界定學習并不意味著學生概念形成了，而只是學生概念形成的開端。[6]有的學生在做題過程中，會自發(fā)地發(fā)展自己的概念，有的學生則不會，他們需要教師在他們的概念發(fā)展過程中給予啟發(fā)和引導。如果教師認為概念界定學習就意味著概念的形成了，那么，這種啟發(fā)和引導作用就不可能自覺地發(fā)生了。

其四是：想一想。就是通過上一環(huán)節(jié)的初步實踐，對自己建構的知識，再思考、認識，然后再通過練習，驗證所學知識、技能、方法的可操作性，然后通過想一想去融匯貫通，建立一種新的思維定勢。思維定勢一旦形成，學生對認識、辨別事物、解釋事物的速度就加快，從而使得學生的能力增強。因此，新知識學習的難點不在于新詞語的學習，而在于思維定勢的建構。尤其是，隨著年齡的增長，對新知識的認識，會螺旋式不斷上升。例如函數(shù)概念，在初中學，在高中還要學。高中的函數(shù)概念與初中函數(shù)概念不同：初中是“變量說”，高中則是“對應說”，高中函數(shù)概念學習的關鍵在于突破初中的“一個自變量變化后因變量必然變化”的思維定勢，建構包含多樣甚至無限的變化模式的、抽象度更高的思維定勢。正如維果茨基描述的“它開始時是簡單類型的概括，隨著自身的發(fā)展，兒童便從簡單類型的概括轉向越來越高級類型的概括，最終以形成真正的、確實的概念而完成這個過程。”

學生在其三、其四這兩個環(huán)節(jié)的學習過程中，總是在不斷實踐中提升認識，又在自己的不斷認識指導下自己的實踐。離開實踐就沒有認識，實踐總包含著認識，并成為它的構成因素。學生的認識是在實踐中產生、發(fā)展和接受檢驗的過程，同時又是認識指導實踐，發(fā)揮其功能的過程。學生在這樣的實踐與認識過程中，

不僅要基于以往知識與經驗重新建構自己的認知過程，不斷地豐富、 修正、深化、拓展先前的認識，甚至頓生靈感，還要與多樣化的情境（如教師、同伴、社區(qū)以及社會文化等）彼此互動，在動態(tài)變化中不斷充分發(fā)展自己的潛能、進行著認知結構和認知方式的改變與調整、認識力的提高、新思維與新行為的涌現(xiàn)與養(yǎng)成。

即知識的獲得既是一個積極的將外部的客觀知識內化為主觀知識，從而獲得知識的客觀意義的過程，又是一個學習者主動探索，與教材文本開展對話，進行多視界融合，建構與創(chuàng)生新的意義的過程。

教師在其三、其四教的活動中，不僅要看學生實際“做”了什么，“做”得怎樣，還要看學生“想”了什么，“想”得怎樣。因為學生數(shù)學素養(yǎng)是學生在經歷的數(shù)學活動中產生的，它難以通過傳授來獲得，其生成依賴學生對數(shù)學的體驗、感悟、反思和表現(xiàn)。因此，學生的學習過程是學生身體運動、認知、元認知、情感共同參與的過程。

我們強調學習活動中的實踐，數(shù)學活動之中的實踐本質上是一種學習，即實踐型的學習或學習型的實踐。實踐學習的核心要素是身體參與?，F(xiàn)代腦科學研究表明：“大腦本身并不能獨立完成高級的認知功能，大腦和通過身體與外界世界的互動對于高級認知過程的理解起著關鍵作用……，而這個身體是與外部世界互動的身體?！睘榇耍F(xiàn)代認知科學強調具身認知，具身認知的核心內涵是學生身體的參與。我們強調身體參與，意味著學習不僅用腦子想、思考，而且要用自己的眼睛看，用自己的耳朵聽，用自己的嘴巴說，用自己的手做，即用自己的身體去經歷，用自己的心靈去感悟。這不僅是學生理解知識、追問知識、評判知識、建構自己知識、創(chuàng)造自己知識的需要，而且是喚醒學生與學生自我喚醒生命活力、促進與自我促進生命成長的需要，更是喚醒教師、知識創(chuàng)生者等生命活力的需要，從而，喚醒了生命空間（教師、學生同伴、知識創(chuàng)生者等）的生命活力，這大概也是古人講的“教學相長”的真正本意。

強調身體參與，陶行知先生特別強調手腦并用的意義，他說“人生兩個寶，雙手和大腦。用腦不用手，快要被打倒。用手不用腦，吃飯吃不飽。手腦都會用，才是開天辟地的大好佬?！蔽覈鴼v史上，也有“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”和“紙上得來終覺淺，心中悟出始知深”的古訓。在國外，蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利也說過，“兒童單靠動腦，只能理解和領會知識；如果加上動手，他就能明白知識的實際意義；如果再加上心靈的力量，那么認識的所有大門，都將在他面前敞開，知識將成為他改造事物和進行創(chuàng)造的工具”。杜威的“做中學”理論更是全面深刻地闡述了動手的價值與意義，他認為，學生要獲得真知，就必須在活動中主動去體驗、嘗試、改造，必須去“做”，因為經驗都是由“做”得來的。[7]

由于不同的學生在學習活動中的實踐和認識具有自身的特殊性，因此，每個學生自身在動態(tài)變化中不斷進行著自己的知識建構與創(chuàng)新，并生成個體的意義與發(fā)展，即核心素養(yǎng)的生成。知識的生成是教學目的設計的基本出發(fā)點，學生智慧的發(fā)展、能力的提高、素質的形成是在獲取知識的過程中完成的。

其五是：練一練。就是學生把對其三、其四環(huán)節(jié)學習中所建構的知識意義、形成的基本技能和方法，積極主動地遷移到不同的情境中去，通過解決不同情境中問題的練習，向縱橫發(fā)展，以達到真正熟練掌握，并與原認知結構中的相關知識建立起縱向和橫向的聯(lián)系，促進新知識的學習或建構。

學習的本質是什么？按照一般的理解，學習是通過獲得經驗而使個體產生持續(xù)變化的行為方式。這里的關鍵是“持續(xù)”二字，沒能讓個體產生持續(xù)變化的行為不是學習。另一方面，現(xiàn)代學習論認為，學習不是獲得，而是建構?！敖嫛币辉~與“解構”相對，其原意是指建筑起一種構造。運用到學習領域，我們可以將“建構”的基本涵義理解為建立自己對知識和事物的理解，構造出屬于自己并能解決問題的知識結構、思維模式和意義系統(tǒng)。

但是，個體對于知識、事物和自我的建構都不是一蹴而就的，其間涉及彌補、修正、更新、深化、整合等多種心理環(huán)節(jié)。換句話說，建構本來就是一個由易到難、由淺入深、由表及里、由分到合的持續(xù)過程。因此，學習的本質即持續(xù)的建構。何謂持續(xù)的建構？持續(xù)的建構首先是連續(xù)不斷地建構，其終極目標乃是學科本質、心靈世界和自我意義的完整建構。持續(xù)的建構也是層層遞進地建構，其基本特征乃是縱深性與層次性。

現(xiàn)行教學之所以缺乏深度，其中一個重要原因乃是學生缺乏連續(xù)性、縱深性與層次性的建構學習過程。我們強調練一練，就是強調學習的實踐性，也就是強調做中學與用中學。這里是在用中學，用中學就是將“用”知識作為“學”知識的一種手段和方法，將“用”知識的過程作為“學”知識的過程，或將“用”知識的過程作為學生持續(xù)建構知識個體意義的過程。正如毛澤東曾指出：“讀書是學習，使用也是學習，而且是更重的學習?！?/p>

用中學的另一層含義就是強調知識的發(fā)展這一基本特性，知識之所以成為知識的原因之一就是其能夠解決新問題后創(chuàng)造出更新的知識。知識運用的最終目的是知識創(chuàng)新，這樣的學習過程最能喚醒、激發(fā)學生創(chuàng)新的生命活力，提升學生創(chuàng)新精神。因此，學生應用知識的過程，從根本上說是知識作為“創(chuàng)新精神種子” 發(fā)育成為個體的思想、智慧和美德的過程。

教學過程中，要不斷引導學生對知識應用過程的互動交流與表達。學習科學研究表明，互動交流與表達是深度學習最容易發(fā)生的環(huán)節(jié)，當“學生對自己正在發(fā)展中的知識進行表達的時候，可以學得更好。”之所以如此，是因為在表達之前，學生必然對自己的想法和觀點進行內部整理，再加上同伴的交流，個人的認識得到了補充、修正和條理化。并且這一過程反思性地分析自己知識狀態(tài)的過程，因而也是一個元認知發(fā)揮作用的過程，因此，表達知識應用的過程是學生真正建構自己知識的過程，乃至創(chuàng)新的過程。又是學生能夠真正地認識自我、找到自我、覺醒自我并提升自我的過程，正如蘇格拉底所說的，人是在不斷地“認識你自己”的過程中得以成熟和發(fā)展的。由于學生對知識應用過程、應用結果往往產生豐富的產生的一種積極的意義體悟和情感體驗，因此，理智感和成就感的不斷增強。

反過來，豁然開朗、成就體驗至高峰體驗又激勵著他們不斷地探究與體驗、反思與感悟，不斷地挑戰(zhàn)自我，完善自我。

譬如，我們剛學的知識有何應用？在縱向上，又如何應用本知識對以前研究的舊問題給出一般性的解法？能否利用本知識創(chuàng)造出相對更新的知識？在橫向上，與哪些知識有著聯(lián)系？如學習了函數(shù)知識后，能否引導學生自己解決方程根的問題以及不等式問題呢？能否解決幾何中的最值問題呢？能否解決物理學甚至現(xiàn)實生活中的問題呢？等等。知識應用的價值又是什么呢？如何理解知識的創(chuàng)新與知識的繼承？

其六是：想一想。就是學生對知識學習的全過程實施再認識，歸納總結，歸入自己已有認知體系，形成新的認知結構。深度的知識學習是理解并促進對知識的邏輯要素和意義系統(tǒng)的轉化。深度知識學習過程不是一個線性的知識訓練過程，而是一個復雜的生成過程。想一想就是要學生想明白：數(shù)學知識是如何被創(chuàng)造出來，又如何運用該知識去創(chuàng)造相對新知識的；任何有價值的知識都具有發(fā)展性，并且與其它知識有著縱橫交錯的內聯(lián)系；如何將他人知識內化為個人知識的；他人是如何創(chuàng)造的，從而自己學會如何創(chuàng)造知識。在此基礎上，教師還要引導學生欣賞數(shù)學知識的真善美，因為這不僅是數(shù)學創(chuàng)造的前提與標準，更是數(shù)學知識固有的教育價值——喚醒與提升學生生命的自然純真之美、和諧向善之美、涌動創(chuàng)新之美使然。自此，完成了一個認知循環(huán)。

學生的創(chuàng)新素養(yǎng)、數(shù)學核心素養(yǎng)是這一深度學習體系的系統(tǒng)屬性。因此，“學后必須產生新思維、新行為效果”應該是創(chuàng)新素養(yǎng)的本質內涵。創(chuàng)新能力潛藏于學生生命里，支撐、推動、展現(xiàn)在學習體系中每個環(huán)節(jié)，完成一次認知循環(huán)，從而獲得喚醒、發(fā)展；反過來，又促進學習體系產生新成果（學生新智慧的生成與精神生命的成長）。“循環(huán)往復”，創(chuàng)新素養(yǎng)的整體功能伴隨學生全身心參與學習活動（學習內容、學習媒體和學習環(huán)境）與之相互作用不斷得到提升，并繼續(xù)促進學生在“會創(chuàng)新”、“善創(chuàng)新”、“樂創(chuàng)新”的興奮狀態(tài)中，高質量、高效率的完成學習任務，從而促使學生實現(xiàn)自我超越、自主發(fā)展，終身發(fā)展。

四、結語

總之，以發(fā)展學生的創(chuàng)新素養(yǎng)為目標導向的深度學習是知識經濟時代對人才規(guī)格的新要求使然。在知識經濟時代是知識成為經濟發(fā)展的第一資源和動力的時代。知識經濟需要的人才是能夠進行知識創(chuàng)新和解決真實情境中復雜問題的人。

而現(xiàn)在學校教育嚴重滯后于時代的發(fā)展。因此，學習科學研究和推廣深度學習，試圖進行徹底的教育變革，這是對這一時代要求的呼應。20世紀末在一些國際組織和各國興起的核心素養(yǎng)研究與實施，是以“專家思維”和“復雜交往”為標志的。所謂“專家思維”，是指在特定的情境中，但所有標準化的解決問題的方法均告失敗時創(chuàng)造新方法以解決特定問題的能力。所謂“復雜交往”是指在不可預測的社會清凈中，通過提供各種解釋和示例（實際上是創(chuàng)造知識）以幫助他人掌握復雜概念、促進復雜對話延續(xù)和發(fā)展的能力。也就是我們所說的“必備品格”和“關鍵能力”。顯而易見，我們所倡導的完整數(shù)學知識的深度學習正是培育學生核心素養(yǎng)的，尤其是提升學生的創(chuàng)新素養(yǎng)。

因為我們所講的完整數(shù)學知識是創(chuàng)生者創(chuàng)造知識的完整過程，學生在學習理解與建構這個過程的時候，必然敞開自己的心靈與知識創(chuàng)生者、同伴、教師進行著生命對話交流，不僅對知識進行“自我加工”，還要在反思的基礎上，將經過“自我加工”的書本知識進行個人意義的升華和表達，真正變成學生自己的“個人知識”，自我建構并獲得知識的意義增值。

從深度學習走向深度教學，是教與學的一致性與相融性所決定的必然選擇。必須克服表層學與教的局限性，更完整地引導學生經歷豐富的認知過程、情感過程，以及將知識個性化和社會化過程，更注重學生的多樣化學習投入，更重要的是，通過引導學生深度的理解、體驗、對話、探究和反思性思維，獲得對知識的意義生成和多樣性價值。

創(chuàng)新是人類真知的全部來源。在人類從蠻荒走向文明，從蒙昧走向有知，從遠古走向現(xiàn)代的漫長歷程中，每一次進步都體現(xiàn)著創(chuàng)新的思想光芒?？梢院敛豢鋸埖卣f，人類發(fā)展的生長點在于人的創(chuàng)造力。[8]因此，培育和發(fā)展學生的創(chuàng)新素養(yǎng)理所當然地成為當前課堂教學一個極其重要的目標、任務。[9]

參考文獻：

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[2] Madjar N.， Shalley C. E. Multiple Tasks and Multiple Goals Effect on Creativity： Forced Incubation or Just a Distraction ？ [J].Journal of Management， 2008， （4）.

[3]師保國等.核心素養(yǎng)視域下的創(chuàng)新素養(yǎng)內涵及其落實，課程教材教法，（2017），（2）.

[4]郭元祥.論深度教學：緣起、基礎與理念，教育研究與實驗，（2017），（3）.

[5]喻平.數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架，數(shù)學教育學報，（2017），（4）.

[6]季蘋.教什么知識：對教學的知識論基礎的認識[M].北京：教育科學出版社，2009.9.

[7]余文森.論學科核心素養(yǎng)形成的機制，課程教材教法，（2018），（1）.

[8]教育部科學技術司，共青團中央學校部，中國科普研究所.青少年創(chuàng)造力國際比較[G].北京：科學出版社.2003-09.

[9]索云旺等.高效數(shù)學教學行為特征指導下的數(shù)學課堂教學設計，數(shù)學教育學報，（2013）（5）.

作者簡介：

索云旺（1965—），山東濱州人，大學本科，特級教師，主要從事課程與教學以及競賽數(shù)學研究。