趙春艷

摘 要 二重積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在一元函數(shù)定積分向多元函數(shù)重積分的轉(zhuǎn)化中起著至關(guān)重要的作用。二重積分以一元函數(shù)定積分為基礎(chǔ)，但是難度卻大大增加。本文提出了探究式課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景提出問題、引導(dǎo)討論解決問題、概括歸納得出結(jié)論、鞏固練習(xí)深化理解和課堂小結(jié)引申探究等教學(xué)模塊來(lái)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生深刻理解并熟練掌握直角坐標(biāo)系下把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 二重積分 積分區(qū)域 探究式教學(xué)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工經(jīng)管大類一門重要的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)和必備工具，具有其他課程不可替代的專業(yè)服務(wù)功能和素質(zhì)培育功能。因此，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用。由于我國(guó)高等教育已經(jīng)從精英教育進(jìn)入大眾教育階段，隨著本科大規(guī)模擴(kuò)招，給高等數(shù)學(xué)教育帶來(lái)了一系列問題：如上課班級(jí)人數(shù)眾多、授課學(xué)時(shí)少、教學(xué)內(nèi)容多等。再加上學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象難懂、枯燥乏味，教師若仍以傳統(tǒng)的“授課”模式給學(xué)生講課，那么高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基本上變成了被動(dòng)的聽、記、練、考的單調(diào)過(guò)程，這樣就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性不高，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果極不理想。

二重積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在一元函數(shù)定積分向多元函數(shù)重積分的轉(zhuǎn)化中起著至關(guān)重要的作用。二重積分是學(xué)生在學(xué)習(xí)了定積分的基礎(chǔ)上，首次學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)。二重積分的計(jì)算既是定積分的推廣，又為后面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)三重積分、曲線積分和曲面積分提供研究和學(xué)習(xí)的方法。二重積分這部分的內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。

經(jīng)過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐研究，我們?cè)O(shè)計(jì)了“利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分”的探究式教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景提出問題、引導(dǎo)討論解決問題、概括歸納得出結(jié)論、鞏固練習(xí)深化理解和課堂小結(jié)引申探究等教學(xué)模塊來(lái)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。在利用現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段的同時(shí)也注重板書設(shè)計(jì)，這樣既可以借助多媒體在直觀形象方面的優(yōu)勢(shì)，也能夠發(fā)揮板書在推導(dǎo)、再現(xiàn)教學(xué)整體過(guò)程和重點(diǎn)難點(diǎn)上的優(yōu)勢(shì)。我們?cè)谡n堂上始終貫穿“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體”的原則，使學(xué)生成為主動(dòng)的學(xué)習(xí)者而不是被動(dòng)的接受者，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并用數(shù)學(xué)思想去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

二重積分實(shí)質(zhì)上指二元函數(shù)的定積分，以一元函數(shù)定積分為基礎(chǔ)，但是難度卻大大增加。因此學(xué)生常常感到二重積分的計(jì)算方法本身太難理解、很難掌握，甚至?xí)W(xué)習(xí)興趣。為此，我們通過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計(jì)了探究式的教學(xué)方法來(lái)學(xué)習(xí)“利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分”。

1.1 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

俗話說(shuō)“好的開始是成功的一半”。因此，如何在課堂的開始設(shè)計(jì)出合適的場(chǎng)景和內(nèi)容，吸引學(xué)生的注意力和興趣就顯得至關(guān)重要。首先用PPT給學(xué)生播放兩幅圖，一幅是國(guó)家大劇院的觀眾廳，我們知道建筑設(shè)計(jì)不但要求外觀漂亮，有時(shí)還需考慮其體積。因?yàn)轶w積的大小會(huì)直接影響到聲音的傳播和空氣質(zhì)量等。另一幅圖是生活和工業(yè)中隨處可見的管道，兩根圓柱形管道直交處的體積會(huì)影響到物質(zhì)的輸送。然后在這個(gè)情景創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上提出兩個(gè)問題。問題一：劇院的觀眾廳和圓柱管道直交處都可看作是前面學(xué)過(guò)的哪種幾何圖形？在回答了第一個(gè)問題也就是這兩個(gè)都是曲頂柱體的情況下很自然地提出問題二：如何計(jì)算曲頂柱體的體積呢？我們前面學(xué)習(xí)過(guò)二重積分的幾何意義就是以為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積。讓學(xué)生意識(shí)到這節(jié)課的主要內(nèi)容就是二重積分的計(jì)算，而且現(xiàn)實(shí)生活需要我們知道曲頂柱體的體積該如何計(jì)算。這樣的情景創(chuàng)設(shè)就有助于吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為“利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分”的探究式教學(xué)設(shè)計(jì)做了一個(gè)良好的開端。

1.2 引導(dǎo)討論，解決問題

首先讓學(xué)生嘗試根據(jù)已有知識(shí)對(duì)二重積分的計(jì)算進(jìn)行分析。如果按照二重積分的定義式來(lái)計(jì)算二重積分，僅對(duì)少數(shù)表達(dá)式特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來(lái)說(shuō)是可行的。但是對(duì)于一般的函數(shù)和區(qū)域來(lái)說(shuō)，就會(huì)非常復(fù)雜，甚至無(wú)法計(jì)算。因此利用定義計(jì)算二重積分這不是一種切實(shí)可行的有效方法，我們有必要來(lái)探究一種計(jì)算二重積分的新方法。這種方法就是把二重積分化為二次積分（即兩次定積分）來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

其次，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組探討如何利用定積分計(jì)算曲頂柱體的體積，確定解決問題的方案，從而得到二重積分值。然后給學(xué)生幾分鐘的時(shí)間，簡(jiǎn)要表述討論后的結(jié)果。在這個(gè)階段，教師就從單純的知識(shí)傳授者變成了學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者。結(jié)合學(xué)生的討論，在探討曲頂柱體體積的計(jì)算時(shí)，采用的教學(xué)手段是利用MATLAB和Visio畫圖，并借助PPT動(dòng)畫演示，將抽象的計(jì)算方法直觀形象地給學(xué)生展示出來(lái)。首先設(shè)積分區(qū)域可用不等式來(lái)表示（如圖1所示）。這種積分區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)內(nèi)部且平行于軸的直線與的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)。這樣的積分區(qū)域稱為型區(qū)域。由以下兩步得到曲頂柱體的體積：

第一步，在上任取一點(diǎn)，用平面截曲頂柱體，得到的截面是一個(gè)以區(qū)間為底，以曲線為邊的曲邊梯形（如圖2所示）。由定積分的幾何意義知截面面積。讓取遍上[a，b]的一切值，得到一族平行截面（如圖3所示），且這族平行截面的面積。這個(gè)過(guò)程用Visio畫示意圖，用PPT動(dòng)態(tài)形象地展示出來(lái)。

第二步，啟發(fā)學(xué)生利用已知來(lái)推導(dǎo)未知。思考如何利用得到的平行截面面積來(lái)求出曲頂柱體的體積？引導(dǎo)學(xué)生回憶定積分應(yīng)用中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也就是利用定積分計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”，從而得到曲頂柱體的體積為

。形式上，我們將移到上的定積分后面，記作。

1.3 概括歸納，得出結(jié)論

教師和學(xué)生對(duì)上面探究的曲頂柱體體積的計(jì)算方法進(jìn)行分析總結(jié)。也就是要計(jì)算的值，若可以看做是型區(qū)域，即可以表示成（如圖4所示），則在上的二重積分就可轉(zhuǎn)化為先對(duì)后對(duì)的二次積分。在上述討論中，我們假設(shè)，但實(shí)際上這個(gè)公式的成立不受此條件限制。

類似地，若積分區(qū)域可看做是型區(qū)域，也就是可用不等式，來(lái)表示（如圖5所示），則在上的二重積分就可轉(zhuǎn)化為先對(duì)計(jì)算從到的定積分，后對(duì)計(jì)算在區(qū)間上的定積分的二次積分。

基于以上教師和學(xué)生的共同分析，在學(xué)生理解二重積分計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，很自然地就可以總結(jié)出直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：首先，畫出積分區(qū)域；其次，判斷積分區(qū)域類型；再次，確定積分次序和積分限；最后，把二次積分化為二次定積分并計(jì)算。

這一步既是對(duì)探究過(guò)程的鞏固，又是對(duì)探究結(jié)果的檢驗(yàn)。

1.4 鞏固練習(xí)，深化理解

在掌握利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法后，讓學(xué)生來(lái)做四道典型的練習(xí)題。第一題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，可以先先對(duì)后對(duì)積分，也可以先對(duì)后對(duì)積分。第二題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，有時(shí)需要考慮計(jì)算的復(fù)雜程度，以此來(lái)選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分次序。第三題，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來(lái)選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分次序。這是因?yàn)槟承┬问降姆e分如等不能用初等函數(shù)來(lái)表示，因此必須將其放在后面進(jìn)行積分。第四題，就是我們創(chuàng)設(shè)情景時(shí)提出的問題即“求兩個(gè)圓柱直交處的體積”，與前面呼應(yīng)，（下轉(zhuǎn)第100頁(yè)）（上接第97頁(yè)）理論與實(shí)際相結(jié)合會(huì)大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

1.5 課堂小結(jié)，引申探究

組織學(xué)生對(duì)利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分進(jìn)行歸納小結(jié)，這樣可以使學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程，領(lǐng)悟解決問題的實(shí)質(zhì)。通過(guò)例題的練習(xí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，此時(shí)應(yīng)該突出強(qiáng)調(diào)這次課堂內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。也就是在化二重積分為二次積分的過(guò)程中，要特別注意積分次序的選擇以及如何確定積分限的問題。

不會(huì)確定積分限是許多同學(xué)初次接觸二重積分的積分區(qū)域時(shí)容易遇到的問題。有些同學(xué)經(jīng)常用來(lái)表示積分區(qū)域。針對(duì)這個(gè)問題，我們將積分限的確定方法概括成通俗易懂、朗朗上口的四句話即“域邊兩線夾，外限依靠它；域中一線穿，內(nèi)限定上下”（如圖4和5所示）。尤其要特別指出，外限一定是兩個(gè)常數(shù)，而內(nèi)限通常為函數(shù)，有時(shí)也可為常數(shù)。然后再詳細(xì)解讀：域邊兩線夾，外限依靠它，也就是說(shuō)外限即后作定積分的積分變量的上下限必須是常數(shù)；域中一線穿，即我們?cè)诜e分區(qū)域中，作平行于且與坐標(biāo)軸同向的射線；此時(shí)內(nèi)限定上下，也就是該射線與的邊界先后相交的點(diǎn)就是內(nèi)限也就是先做定積分的積分變量的下限和上限，該積分限通常為函數(shù)。積分限為常數(shù)的積分變量通常就是此積分區(qū)域的類型。

在講解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，采用的教學(xué)方法是一邊在黑板上按步驟畫圖一邊詳細(xì)講解。通過(guò)總結(jié)，以及對(duì)難點(diǎn)內(nèi)容的解析，讓學(xué)生掌握了重點(diǎn)，找出了解決問題的關(guān)鍵，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法。

最后，教師針對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)提出兩個(gè)相關(guān)的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考。問題一是讓學(xué)生搜集二重積分的應(yīng)用，了解二重積分的重要性；問題二是啟發(fā)學(xué)生探討極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算法。這樣就可以把二重積分的計(jì)算不僅僅局限于高數(shù)課堂，也可以擴(kuò)展到課堂之外，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題結(jié)合社會(huì)生活進(jìn)行探究。

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