☉重 慶 復 旦 中 學 丁慶彬

☉重慶市第二十九中學校 鄭 莎

以課時為單位的數(shù)學教學設計對于合理把握每節(jié)課的數(shù)學教學活動進程、優(yōu)化數(shù)學教學活動具有重要意義.但其自身也存在不足之處：易使學生的知識割裂，不利于形成一個完整的知識鏈條和結(jié)構(gòu)體系，而且過多地關注知識與技能，忽略了學科素養(yǎng)的培養(yǎng).銳角三角函數(shù)是人教版教科書九年級下冊第二十八章第一節(jié)內(nèi)容，該內(nèi)容既是對直角三角形邊角關系的深入研究，又是對函數(shù)關系的進一步深化，對以后高中階段學習三角函數(shù)起著鋪墊性作用.本設計充分遵循學生的認知水平，通過對學材資源的重組建構(gòu)單元教學體系，真正落實以學生學習為中心的教學觀，多維度提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力，從而實現(xiàn)發(fā)展學生學科素養(yǎng)的教學目標.

一、課堂導入，知識與方法兼顧

師生一起回憶已學過的有一個銳角為30°或45°的特殊直角三角形，引導學生探究并計算出這些特殊角所對直角邊與斜邊的比值.在此基礎上，保持角度不變，將三角形放大，如圖1，再讓學生思考其比值情況.

圖1

在教師的引導下，學生很容易得出結(jié)論：在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值.教師再提出問題：當∠A取其他的一個固定度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值呢？教師先借助幾何畫板進行動態(tài)演示，用幾何畫板畫出Rt△ABC，保持∠A的大小不變，拖動三角形至任意大小，其對邊與斜邊的比值a）大小不變，如圖2.

圖2

圖3

演示后，學生初步感知當一個直角三角形的銳角固定，其對邊與鄰邊的比值是不變的事實.在觀察完圖形后，教師引導學生還要通過已學過知識進行嚴謹?shù)臄?shù)學證明，并提出如下問題：

問題1：如圖3，任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么與′有什么關系.你能解釋一下嗎？

引導學生分組探究，并利用相似來證明結(jié)論的正確性.

設計意圖：改變千篇一律的情景引入方式，以復習切入，直截了當.通過對特殊銳角的對邊與斜邊比值不變性推廣到一般銳角，分別借助幾何畫板這一多媒體資源進行動態(tài)演示和利用相似進行嚴謹?shù)淖C明，不僅體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，同時也將直觀的圖形觀察與嚴謹?shù)倪壿嬜C明巧妙的結(jié)合起來.對學材資源進行挖掘和重組，讓課堂導入層層遞進，嚴謹而又自然.

二、新知探究，知識與方法融合

1.正弦

在探究當一個銳角固定時其對邊與斜邊的比值不變性的基礎上給出正弦的定義，教師在黑板上結(jié)合圖形（如圖4）寫出如下內(nèi)容，引導學生在教材中勾畫出相應內(nèi)容.

圖4

就概念的理解，教師做以下說明：

（1）sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習慣省去角的符號“∠”，當角是用三個字母表示時，“∠”不能省去；

（2）sinA表示一個比值，沒有單位.

結(jié)合課前導入給出如下兩個小問題，讓學生自主完成，以此鞏固概念.

（1）當∠A=30°時，則sinA=sin30°=______；

（2）當∠A=45°時，則sinA=sin45°=______.

2.余弦

在引入銳角∠A的余弦時，可以改變通過繼續(xù)探究比值的方式，引導學生在原有圖形的基礎上進一步表示出sinB==.根據(jù)已學過的正弦知識，顯然這個比值也是不變的.再回到圖形上，引導學生觀察邊AC、邊AB和∠A的位置關系，易知邊AC是∠A的鄰邊，邊AB仍然是斜邊，這樣就可以得到∠A的鄰邊與斜邊的比值也是不變，我們把這個比值叫作∠A的余弦，可表示為：cosA=

此時，順勢引導學生觀察sinB與cosA的關系，并嘗試給出如下一般的結(jié)論：

在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°，則sinB=cosA或sinA=cosB.

3.正切

回到圖形上，以∠A為參照角，引導學生思考除了對邊、鄰邊和斜邊之間的比值外，還可能會遇到哪些邊的比？學生會想到對邊與鄰邊、鄰邊與對邊、斜邊與對邊、鄰邊與斜邊等四種情況.教師可以做如下處理：

師：請同學們想一想∠A的斜邊與對邊的比以及斜邊與鄰邊的比，數(shù)值上與∠A的正弦和余弦分別有什么關系？

生：互為倒數(shù)的關系.

師：很好，由于在數(shù)值上具有簡單的倒數(shù)關系，因此在初中階段我們就不做特殊的學習，到了高中后，這兩種比值也會有新的定義.我們再來探究一下兩條直角邊的比值情況.

這樣就自然的引出了正切的定義：tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=

設計意圖：正弦的概念是師生經(jīng)歷一系列探究之后給出的，采用了常見的講授方式.余弦和正切的給出改變了傳統(tǒng)的方式，緊緊抓住“比值不變性”層層推進，自然生成.通過∠B的正弦得出∠A的余弦，不僅教會學生通過已知探究未知的方法，同時也得到互余兩角正余弦的特殊關系，為高中階段的學習鋪墊了思想方法.同時，本環(huán)節(jié)還充分考慮學生的認知和思維習慣，余弦和正切的引入并沒有沿用正弦的引入方式，而是在學生列舉出所有可能出現(xiàn)的比值情況下教師加以引導自然生成，同時對學生可能產(chǎn)生的疑惑（為什么只研究三種比值）給予很好的說明.這種“大學材”觀不僅培養(yǎng)了學生發(fā)散性的思維方式，同時也滲透了整體教學的思想.

三、概念延伸，知識與文化并舉

本節(jié)課的課題是銳角三角函數(shù)，而很多教師往往局限于正弦、余弦和正切的概念講授及簡單運用.很少會涉及到函數(shù)層面，即便有也是一帶而過.事實上，從知識的功能來看，本節(jié)課的一項重要任務就是通過對三角函數(shù)知識的學習來達到對函數(shù)的再延伸、再深入，而在教科書上也有一處旁白（如圖5）提示，值得我們?nèi)リP注和思考.

1.用列表的方式引入三角函數(shù)

以sinA為例，讓學生回憶幾個特殊角的正弦值.

∠A 30° 45° 60°sinA

師：請同學們想一想如果不是一個特殊角，我們又如何求出其正弦值呢？

生1：根據(jù)角度畫出直角三角形，測量該角對邊和斜邊后再計算比值.

生2：借助計算器計算.

師：測量法求值是一種很煩瑣的方法，而且還有誤差.使用計算器計算比較精準而且很快.無論采用那種方式，只要給出一個銳角就一定會有唯一的正弦值與之對應.這種對應關系和之前學習的函數(shù)是一樣的.因此，我們通常把sinA叫作A的函數(shù)，即為正弦函數(shù).同理，也把cosA和tanA分別叫作A的余弦函數(shù)和正切函數(shù).

2.從圖像的角度認識三角函數(shù)

圖5

教師利用幾何畫板畫出y=sinA（0≤∠A≤3π）的圖像，引導學生觀察和認識正弦函數(shù)圖像，如圖6.并補充說明：我們也可以用同樣的方法畫出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，也可以像研究其他函數(shù)一樣去研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進入高中后我們會進一步學習.

圖6

3.從歷史發(fā)展的角度了解三角函數(shù)

用幻燈片呈現(xiàn)出教材P70“閱讀與思考”材料——一張古老的“三角函數(shù)”，以此增進學生對三角函數(shù)的發(fā)展歷史和應用領域的了解，增長見識，提升文化素養(yǎng).

設計意圖：在教材旁白的提示下，以特殊角的正弦值為切入，通過簡單的列表形式讓學生感受到角度的變化引起正弦值變化的事實.類比已學過的函數(shù)知識，讓學生很容易接受三角函數(shù)這一新概念.借助幾何畫板現(xiàn)場畫出正弦函數(shù)圖像，讓學生從形的角度感知三角函數(shù).這樣多維度的探究和學習，既體現(xiàn)數(shù)學知識的聯(lián)系性，又體現(xiàn)數(shù)學學習的嚴謹性.本環(huán)節(jié)還鏈接了課后資源“閱讀與思考”，其在教學過程中起著拓展視野和提升文化素養(yǎng)的作用.

四、習題設置，知識與能力共生

課堂上，習題的設置既為了鞏固知識，更為提升學生的能力.可是，我們的課堂上往往只關注了知識的運用，卻忽略了能力的培養(yǎng).新課標指出：培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（以下簡稱“四能”）是數(shù)學課堂的重要使命.為此，本環(huán)節(jié)做了大膽的嘗試，不給學生預設固有的題目，只給出題目的基本條件和圖形（如圖7），讓學生以小組為單位利用剛學過的知識各自提出2-3個問題，每個小組代表向同學們展示本組所提出的問題，發(fā)動其他小組的同學去思考并嘗試解決.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，BC=5，AC=12.

各小組經(jīng)過探究后，依次展示自己的問題，并給出解題思路.許多問題大大超出了預設，生成了許多寶貴的資源.這些問題的生成成為課堂上重要的學材資源，極大地提升了學生學習的積極性，培養(yǎng)了合作學習的能力.

展示環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師應給予點評和歸納，引導學生如何在直角三角形中利用勾股定理和三角函數(shù)建立邊邊關系、邊角關系.并指出在五個元素（兩個銳角和三條邊）中，如果知道其中兩個元素（至少有一條邊），可以求出其他元素.

設計意圖：數(shù)學課堂不僅只關注知識本身，還要通過知識的學習和運用提升學生的“四能”.僅有預設的問題就無法實現(xiàn)”四能”的全面協(xié)調(diào)發(fā)展.本環(huán)節(jié)，學生在現(xiàn)有條件的基礎上提出許多寶貴的問題，增加了許多寶貴的課堂資源，不僅實現(xiàn)了對新知識的鞏固和運用，同時也培養(yǎng)了學生的主觀能動性和學科素養(yǎng).

圖7