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        “銳角三角函數(shù)”學(xué)習(xí)要點

        2016-03-04 23:36:14王競進
        初中生世界·九年級 2016年2期

        王競進

        “銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它揭示了直角三角形邊角之間的函數(shù)關(guān)系.學(xué)習(xí)本章時,需要抓住以下幾個要點.

        一、 認識四個基本概念

        本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

        如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b分別是∠A的對邊和鄰邊,我們把∠A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=.

        在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即sinA=.

        把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=

        從正切、正弦和余弦的概念可以看出:在Rt△ABC中,∠C=90°,和的值都隨銳角A的大小變化而變化,也都隨銳角A的確定而惟一確定.

        例1 (2015·曲靖)如圖2,在半徑為3的⊙O中,直徑AB與弦CD交于點E,連接AC,BD. 若AC=2,則cosD=_______.

        【解析】連接BC,

        ∵AB為直徑,

        ∴∠ACB=90°,

        在Rt△ACB中,cosA∵∠D=∠A,

        ∴cosD=cosA=,所以本題答案為.

        【說明】本題應(yīng)用圓周角的性質(zhì)將∠D轉(zhuǎn)化為∠A,使其轉(zhuǎn)化到直角三角形ABC中,再應(yīng)用余弦的概念求得結(jié)果.

        由直角三角形的邊、角中的已知元素,求出所有邊、角中的未知元素的過程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外的5個元素,至少知道包含1條邊的兩個元素就可以確定直角三角形中其余未知元素的值.

        例2 如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC平分線,AD=20.求AB的長.

        【說明】本題借助銳角三角函數(shù)的概念,使問題化歸到直角三角形中,應(yīng)用直角三角形的邊角之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)問題中的已知元素求得未知元素.

        二、 熟記三個特殊值

        利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性質(zhì),我們可以求得30°、45°、60°的三角函數(shù)值(如下表).

        從表格中我們可以發(fā)現(xiàn):sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2,分子可以看成是、、,正弦值隨角度的增大而增大;cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2,分子可以看成是、、,余弦值隨角度的增大而減??;tan30°·tan 60°=tan45°=1,正切值隨角度的增大而增大.

        例3 (2015·武威)已知α,β均為銳角,且滿足sinα-+=0,則α+β=______.

        【解析】∵sinα-+=0,

        可得:sinα-+tanβ-1=0,

        ∴sinα=,tanβ=1,

        ∴α=30°,β=45°,

        ∴α+β=75°,所以本題答案為75°.

        【說明】本題是一道考查同學(xué)們對特殊角的三角函數(shù)值和非負數(shù)的性質(zhì)掌握的問題,解答這類問題,需要同學(xué)們熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值.

        三、 掌握銳角三角函數(shù)解決實際問題

        解直角三角形的知識廣泛應(yīng)用于測量之中,主要用于計算距離、高度和角度.

        例4 (2015·衡陽)如圖4,為了測得電視塔的高度AB,在D處用高為1米的測角儀CD測得電視塔頂端A的仰角為30°,再向電視塔方向前進100米到達F處,又測得電視塔頂端A的仰角為60°,則這個電視塔的高度AB(單位:米)為( ).

        A. 50 B. 51

        C. 50+1 D. 101

        【解析】根據(jù)題意可知:

        ∠ACE=30°,∠AEG=60°,CE=DF=100(米).

        我們不妨設(shè)EG=x米,在Rt△AEG中,

        ∵∠AEG=60°,

        ∴AG=x;

        在Rt△ACG中,

        ∵AG=x,∠ACE=30°,

        ∴CG=x·=3x.

        ∵CE=DF=100,

        ∴x+100=3x,解得x=50,

        ∴這個電視塔的高度AB=AG+GB=50+1(米),所以本題答案為C.

        【說明】本題以測電視塔的高度為背景,考查解直角三角形的應(yīng)用能力,求解時抓住圖形中兩個直角三角形的公共邊建立相等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

        例5 (2015·遵義)如圖5,是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6米,中間平臺寬度DE=1米,EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N、M、B,∠EAB=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距離BM的長度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

        【解析】設(shè)BM為x米,則DF=BM=x.

        ∵Rt△CFD中,∠CDF=45°,

        ∴CF=DF·tan45°=DF=x,

        ∴BF=BC-CF=4-x,

        ∴EN=BF=4-x.

        ∵Rt△ANE中,∠EAN=31°,

        ∴AN=≈=(4-x).

        ∵AN+MN+BM=AB,MN=DE=1,

        ∴(4-x)+1+x=6,解得x=2.5.

        答:DM和BC的水平距離BM的長度約為2.5米.

        【說明】本題是一道典型的解直角三角形的應(yīng)用問題,需要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來解決.解決與直角三角形有關(guān)的應(yīng)用題最常用的方法是作垂線,構(gòu)造直角三角形,根據(jù)所給數(shù)據(jù),選用恰當?shù)娜呛瘮?shù)求出有關(guān)的量或用含有未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量進行求解.

        (作者單位:江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區(qū))

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