☉湖北省武漢市漢陽區(qū)教育局教科中心 桂文通

人教版九年級數(shù)學(xué)教材（下冊）第58頁有如下一道習(xí)題，為方便我們稱為引例.

引例 如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

本文想結(jié)合引例，就如何挖掘課題習(xí)題的價值，構(gòu)建一類問題解決的基本模式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考作一點(diǎn)探討.

一、“出入相補(bǔ)”創(chuàng)新解法

我們可以運(yùn)用下面兩種方法解決引例：

方法1（常規(guī)解法）：設(shè)加工成的正方形為EFHG，邊長為xmm，邊GH在BC上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，高線AD與EF相交于點(diǎn)K.

答：加工成的正方形零件的邊長為48mm.

圖1

圖2

方法2（出入相補(bǔ)法）：將圖1補(bǔ)成矩形BCNM，如圖2，圖中的面積關(guān)系有：S△ARE=S△AKE，S△ABD=S△ABM，S△OBE=S△GBE，

所以S矩形OMRE=S矩形EGDK.

同理：S矩形QNPF=S矩形KFHD.

于是S矩形OMRE+S矩形QNPF=S正方形EFHG.

設(shè)GE=EF=x，則MR+QN=120-x，OM=80-x，列方程得x2=（80-x）（120-x），解得x=48.

比較兩種解法：方法1看似比方法2簡捷，但兩種方法的知識儲備是不一樣的，方法1需要運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；解法2的門檻要低得多，只需運(yùn)用面積的計(jì)算即可.方法2給人一種意外的驚喜，讓人感受到數(shù)學(xué)方法的樸實(shí)之美，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.其實(shí)方法2運(yùn)用了中國古代數(shù)學(xué)中“出入相補(bǔ)原理”，吳文俊院士在《出入相補(bǔ)原理》一文中指出：“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變.又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系.”

借鑒古人的思想方法來解決數(shù)學(xué)問題，能夠拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)發(fā)散思維，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法的力量，從而啟迪智慧增強(qiáng)信心，也能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化意義.

二、“以退為進(jìn)”探求作法

如果此題中的正方形沒有畫出，我們是否可以借用尺規(guī)畫出呢？

要求作一個正方形，使它的四個頂點(diǎn)在△ABC的三條邊上.可以如下思考：“只保留條件的一部分，而丟掉其他部分.”（波利亞語）很顯然畫出一個有兩個頂點(diǎn)在△ABC邊上的正方形很容易，畫三個頂點(diǎn)在△ABC邊上的正方形也可以.

于是我們可以嘗試畫出有三個頂點(diǎn)在△ABC邊上的正方形，如圖3，4，5.

圖3

圖4

圖5

圖6

從圖3，4，5中，我們可以觀察并猜想到這些正方形的第四個頂點(diǎn)排列規(guī)律：在同一條直線上.為了使第四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，我們用圖6，作法如下：

（1）作正方形MNPQ，使它的頂點(diǎn)M，N，P在邊AB和BC上.

（2）作射線BQ交邊AC于點(diǎn)F.

（3）過點(diǎn)F分別作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G.

由作法知四邊EFHG是矩形，而在圖6中，由EF∥MQ，F(xiàn)H∥PQ，得.又因?yàn)镸Q=PQ，得EF=FH.所以矩形EFHG是正方形.

其實(shí)，上面的作法采取了位似變換作圖法.通過作圖嘗試，讓學(xué)生觀察出第四個頂點(diǎn)的軌跡，體現(xiàn)了“探索是數(shù)學(xué)的生命線”教學(xué)策略；通過弱化條件，可以向?qū)W生滲透“以退為進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)家華羅庚對“以退為進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想解釋為：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.”

三、橫向變式構(gòu)建模式

例1 如果原題中所要加工的零件只是一個矩形EFHG，如圖7，此矩形零件的兩條邊長不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

分析與解：設(shè)EF=xmm，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，并用x表示出EG，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

圖7

所以S的最大值為2400mm2，此時EF=60mm，EG=40mm．

價值分析：本題突出了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，通過面積與有關(guān)線段的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，再利用配方法求出二次函數(shù)的最值．從問題的解決中，我們可以提煉一個重要結(jié)論：當(dāng)EF是△ABC的中位線時，矩形EFHG的面積最大.

應(yīng)用1 （鹽城中考題）（1）如圖8，是一張直角三角形紙片，∠B=90°，小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE，EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為______ .

圖8

圖9

（2）如圖9，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P，N分別在邊AB，AC上，頂點(diǎn)Q，M在邊BC上，求矩形PQMN面積的最大值為______（用含a，h的代數(shù)式表示）.

（3）如圖10，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．

圖10

圖11

（4）如圖11，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M，N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．

分析與解：（1）、（2）就是例2結(jié)論的一般化，答案分別為：-.

（3）將圖10補(bǔ)成圖8的形式，如圖12，延長BA，DE交于點(diǎn)F，延長BC，ED交于點(diǎn)G，延長AE，CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，F(xiàn)G的中點(diǎn)K.注意要說明中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，可求該矩形的面積為720.

圖12

圖13

（4）同（3），將圖11補(bǔ)成圖9的形式，如圖13，延長BA，CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，再作中位線PQ，作矩形PQMN，可求該矩形的面積為1944cm2.

例1給我們分別提供了解決不同問題的基本模式.數(shù)學(xué)家笛卡爾也說過“我所解決的每一個問題都將成為一個模式，以用于解決其他相關(guān)問題”，我們的解題教學(xué)應(yīng)該多提煉模式、多積累模式，讓學(xué)生自覺地運(yùn)用模式去解決新的問題，從而提高解題效率.

四、縱向引申深度拓展

例2 如圖14，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，三邊分別為a，b，c，且a＞b＞c，把它加工成正方形零件，使正方形的四個頂點(diǎn)都在三角形邊上，問正方形的兩個頂點(diǎn)放在哪條邊上可使加工出來正方形零件的面積最大？

分 析與 解 ： 設(shè)a，b，c三邊上的高分別為ha，hb，hc，△ABC的面積為S，落在a，b，c三邊上的正方形邊長分別為xa，xb，xc.

圖14

又因?yàn)閍＞b，于是xa＜xb.

同理xb＜xc，從而xa＜xb＜xc.

所以當(dāng)正方形的兩個頂點(diǎn)放在最短邊上可使正方形零件面積最大.

從例2我們可以得到一個這樣的命題，等邊三角形的三個內(nèi)接正方形的面積相等.反之，它的逆命題呢？即一個三角形的三個內(nèi)接正方形的面積相等，則這個三角形是等邊三角形.這個命題直觀上感覺是正確的，但需要我們進(jìn)行嚴(yán)格證明.

例3 如圖14，設(shè)△ABC三邊上的三個內(nèi)接正方形的面積相等，求證：△ABC為等邊三角形.（江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽題）

由已知xa=xb=xc，所以

又因?yàn)閍ha=bhb=chc，所以a+ha=b+hb=c+hc

因?yàn)閠≠0，所以t2-kt+2S=0，（2）

故a，b，c是二次方程（2）的根，但二次方程至多只有兩個相異的根，所以a，b，c中某兩數(shù)必相同，不妨設(shè)a=b.

因?yàn)閍-c≠0，所以ac=2S=aha，故c=ha.這樣△ABC是∠B為直角的直角三角形，b為斜邊，于是b＞a，這與a=b矛盾，故a=c.

所以a=b=c，即△ABC為等邊三角形.

例2通過縱向引申，開放思維形式，分類討論來探求結(jié)論的一般性；例3是對例2的一個引申結(jié)論的逆命題的探索.兩個例題的探究過程都能引發(fā)學(xué)生積極主動地深度思考，需要很強(qiáng)的綜合問題解決能力，除了運(yùn)用引例所蘊(yùn)含的基本知識和方法外，還綜合運(yùn)用了許多代數(shù)的方法，比如例2的作差比較法、因式分解法；例3中一元二次方程的基本理論和反證法思想的運(yùn)用.這些思維訓(xùn)練，很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教材是教學(xué)的根本，是最經(jīng)濟(jì)、實(shí)惠的題庫，蘊(yùn)含著取之不盡，用之不竭的題源，教師用好教材可以引發(fā)學(xué)生深度思考，為學(xué)生打開一扇天窗，促進(jìn)他們的核心素養(yǎng)的提高.習(xí)題教學(xué)經(jīng)常做到幾問：該題涉及哪些知識點(diǎn)、以什么為主？教學(xué)難點(diǎn)在何處？有哪些基本模型和基本方法？有哪些變式或拓展？如何挖掘出其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法等？如何將它的知識價值、教育價值的最大化.唯有如此，才能理深刻理解教材，才能讓學(xué)生脫離題海，回歸數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì).