☉重慶市大渡口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 廖帝學(xué)

☉重慶市第九十五中學(xué)校 李 敏

一、背景

試題 （2017年重慶市中考數(shù)學(xué)第25題）對任意一個(gè)三位數(shù)n=xyz，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）.例如，n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）計(jì)算：F（243），F(xiàn)（617）；

（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k=，當(dāng)F（s）+F（t）=18時(shí)，求k的最大值.

自2015年來，重慶市中考數(shù)學(xué)試題中已經(jīng)連續(xù)三年出現(xiàn)與上述試題類似的新定義型閱讀理解試題.與其他各地的新定義型閱讀理解題不同的是，重慶中考數(shù)學(xué)閱讀理解試題堅(jiān)持把考點(diǎn)指向“整數(shù)”.結(jié)合背景材料，學(xué)生需借助代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行“找數(shù)，性質(zhì)研究”等解題活動(dòng).

這類試題的材料都是以“新定義”的形式呈現(xiàn)，語言表述風(fēng)格與學(xué)生們平常見的教材的語言表述風(fēng)格明顯不同，文字?jǐn)?shù)量多，新定義的符號不常見，十分新穎.而且，它還是一道綜合性較強(qiáng)的代數(shù)類題目，解答時(shí)常常要進(jìn)行比較復(fù)雜的代數(shù)式運(yùn)算、不等式分析、分類討論.這類題以能力立意，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，對考生的“閱讀”、“理解”、“推理”、“解答”都存在著巨大的挑戰(zhàn).同時(shí)，也給后繼的教學(xué)帶來一定的困難.

怎樣教學(xué)生“閱讀”？怎樣教學(xué)生“理解”？怎樣教學(xué)生“解答”？帶著這樣的一些問題，我們以這類試題中常見的與整除有關(guān)的試題為例進(jìn)行了一個(gè)課時(shí)的教學(xué)實(shí)踐與探索.

二、教學(xué)實(shí)踐

1.準(zhǔn)備——尋找依據(jù)

從教材和教學(xué)來看，“整除”在初中三年的學(xué)習(xí)過程中并不多見，當(dāng)然應(yīng)用得也少.所以在本節(jié)課的第一個(gè)環(huán)節(jié)里，教師結(jié)合后繼教學(xué)給出了3道練習(xí)題：

題1 已知一個(gè)三位整數(shù)P=abc，百位上數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，則這個(gè)三位整數(shù)可以表示成______.

題2 整除：若整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除（或說b能整除a）.例如：A能被37整除，A與37之間的關(guān)系表示為______或______.

題3 當(dāng)1≤x≤9時(shí)，且x為整數(shù)，設(shè)m=3x+5，則m的取值范圍是______.當(dāng)m能被11整除時(shí)，x=______.

題1旨在讓學(xué)生知道怎樣用一個(gè)代數(shù)式表示一個(gè)整數(shù).一個(gè)三位整數(shù)，百位上數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，則這個(gè)三位整數(shù)可以表示成100a+10b+c.

題2是為讓學(xué)生在整除的條件下會(huì)用代數(shù)式表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，A被37整除，也就是=k（k為整數(shù)）或A=37k.

題3是為了引導(dǎo)學(xué)生從不等式的角度去看數(shù)的取值范圍，尋找滿足條件的數(shù).當(dāng)1≤x≤9且x為整數(shù)時(shí)，設(shè)m=3x+5，則m的取值范圍是8≤m≤32.解答時(shí)可以直接利用不等式的基本性質(zhì).也可以根據(jù)題意得≤9，進(jìn)而求出m的取值范圍.當(dāng)8≤m≤32時(shí)，能被11整除的數(shù)有11、22，但由于x為整數(shù)，所以x=2.這樣設(shè)計(jì)目的在于提醒學(xué)生在解題時(shí)注意解的合理性，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

2.初讀——明白定義

要解決新定義型閱讀理解題，首先必須理解“新定義”，“新定義”規(guī)定了什么“新規(guī)則”，介紹了什么“新操作”，界定了什么“新運(yùn)算”，閱讀之初，一定要著力把它弄清楚.

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)里，教師用PPT展示下面一段文字材料讓學(xué)生自行閱讀：

若一個(gè)三位整數(shù)m=xyz（x，y，z為整數(shù)，且1≤x≤9，0≤y≤9，0≤z≤9）滿足y=2x－z，則稱m為“極美數(shù)”.如m=111，滿足2×1－1=1，則稱111為“極美數(shù)”.

閱讀之后，教師為了檢驗(yàn)學(xué)生對新定義“極美數(shù)”的理解，設(shè)計(jì)了兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)：

（1）請一位同學(xué)任意說出一個(gè)三位整數(shù)，然后請其他同學(xué)來判斷它是否是“極美數(shù)”；

（2）隨意抽一位同學(xué)舉例說出一個(gè)“極美數(shù)”.

通過這兩個(gè)有激勵(lì)性的活動(dòng)，讓學(xué)生很快抓住這段閱讀材料的關(guān)鍵點(diǎn)：y=2x－z，比較深刻地理解了“新定義”.

3.再讀——明理列式

接下來，教師用PPT展示了下面一段材料供學(xué)生“再讀”：

已知一個(gè)“極美數(shù)”m，交換“極美數(shù)”m的百位數(shù)字與十位數(shù)字得到新數(shù)n=yxz，則稱n為m的“美極數(shù)”.如m=102滿足2×1－2=0，則m為“極美數(shù)”，交換其百位數(shù)字和十位數(shù)字得到的新數(shù)n=12，則稱12為102的“美極數(shù)”.

待學(xué)生閱讀后，教師提出問題：請說明任何一個(gè)“極美數(shù)”的“美極數(shù)”都能被3整除.

在我國，創(chuàng)新能力研究大多以企業(yè)為主體，高校創(chuàng)新能力研究還比較薄弱。以“高校創(chuàng)新能力”為關(guān)鍵詞在中國知網(wǎng)檢索后發(fā)現(xiàn)，2010年后發(fā)表在中文核心期刊上的學(xué)術(shù)論文僅有21 篇，其研究主要從推動(dòng)科研團(tuán)隊(duì)建設(shè)［1，2］和協(xié)同創(chuàng)新［3－5］兩個(gè)視角來研究高校創(chuàng)新能力的提升機(jī)制。由文獻(xiàn)可以看出:(1)現(xiàn)有研究已經(jīng)意識(shí)到我國高校創(chuàng)新能力的重要性，但對于高校創(chuàng)新能力的內(nèi)涵界定還沒有形成共識(shí);(2)現(xiàn)有研究或以某個(gè)高校為例進(jìn)行案例分析，或以整個(gè)高校體系為研究對象進(jìn)行問題分析，極少關(guān)注區(qū)域性高校的創(chuàng)新能力研究;(3)現(xiàn)有研究多是從理論上探討高校創(chuàng)新能力的影響作用，缺少數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的實(shí)證分析。

此環(huán)節(jié)教學(xué)實(shí)錄如下：

師：讀了這一段材料，你勾畫出的關(guān)鍵詞是什么？

生：交換百位數(shù)字和十位數(shù)字的位置.

師：你能說明任何一個(gè)極美數(shù)的美極數(shù)能被3整除嗎？請思考“任何”一個(gè)三位整數(shù)該怎么表示？“能被3整除”又該怎么表示？

幾分鐘后，教師隨機(jī)抽一位同學(xué)在黑板上板書解答過程如下：

解：設(shè)“極美數(shù)”為100a+10b+c，則其“美極數(shù)為”100b+10a+c（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），根據(jù)題意得

因?yàn)?0a－33c為整數(shù)，

所以100b+10a+c能被3整除.

師：通過兩段材料的學(xué)習(xí)，請大家小結(jié)一下，我們該如何解答有關(guān)整除的閱讀理解題.

生2：遇到整除問題，我們可以將其轉(zhuǎn)化為含此因數(shù)的乘積形式.

4.深讀——變形求值

通過前面的“準(zhǔn)備”、“初讀”、“再讀”，學(xué)生經(jīng)歷了“表示數(shù)”、“表示數(shù)之間的關(guān)系”、“整除問題”，已經(jīng)初步感知了解決這類問題的方法，教學(xué)逐步推進(jìn)，教師用PPT展示了下面具有挑戰(zhàn)性的問題：

已知一個(gè)三位整數(shù)P=abc（其中a，b，c為整數(shù)，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“極美數(shù)”，Q是P的“美極數(shù)”，若P的兩倍與Q的差能被13整除，求P的值.

解：由題可知，

又因?yàn)閎=2a-c，

所以2P-Q=30a+81c.

因?yàn)?≤a≤5，0≤c≤5，

所以4≤4a+3c≤35.

又因?yàn)?P-Q能被13整除，

所以4a+3c=13或26.

綜上可知，P=582.

最后，教師對此題進(jìn)行總結(jié)：這類題目可以先分離出能整除的部分，再研究余式部分是否能被整除.

三、教學(xué)思考

1.條分縷析加深閱讀理解

勿庸諱言，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“閱讀理解”有別于其他學(xué)科（特別是文科）的閱讀理解.由于數(shù)學(xué)問題的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，這里“閱讀”的目標(biāo)更多的是為了“理解”：理解問題中每一個(gè)句子，每個(gè)圖表，每一個(gè)符號，每一個(gè)關(guān)系式……并且還要不斷地進(jìn)行語句分析和語義轉(zhuǎn)換，把一些“新情境”、“新問題”和自己已有的、熟悉的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，不斷轉(zhuǎn)化，直到問題解決.

作為一種以考查“閱讀理解能力”為目的的題型，閱讀理解題對學(xué)生的閱讀理解能力要求是非常高的.當(dāng)然，對學(xué)生這種能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情.“怎樣讀？怎樣思考？”都需要我們在平時(shí)的教學(xué)中“教”.本節(jié)課中教師著眼于讓學(xué)生“初讀”、“再讀”、“深讀”，讀的時(shí)候要勾畫關(guān)鍵詞，講的時(shí)候要不斷地追問，引導(dǎo)學(xué)生逐句逐段地理解.這是在教給學(xué)生“讀”的方法和“思”的方法.

2.層層推進(jìn)促進(jìn)思維發(fā)展

本節(jié)課的教學(xué)過程思路十分簡潔清晰.

教學(xué)活動(dòng)從“初讀”到“再讀”，再到“深讀”，教學(xué)內(nèi)容從“極美數(shù)”到“美極數(shù)”，再到探究“極美數(shù)”和“美極數(shù)”的關(guān)系，層層遞進(jìn)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)以思維為主線，突出策略性.

在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生“讀”和“思”，對新材料進(jìn)行分析，逐步推出了“請說明任何一個(gè)“極美數(shù)”的“美極數(shù)”都能被3整除”、“已知一個(gè)三位整數(shù)P=abc（其中a，b，c為整數(shù)，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“極美數(shù)”，Q是P的“美極數(shù)”，若P的兩倍與Q的差能被13整除，求P的值.”等問題供學(xué)生解答.課堂教學(xué)逐步推進(jìn)，有效地讓學(xué)生習(xí)得解決這類問題的策略，有力地促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展.

3.大膽探索方能漸入佳境

閱讀理解題特色鮮明，選材廣泛，源于課本又高于課本，常常讓人難以意料.新定義型閱讀理解試題只是閱讀理解題中的一種.本節(jié)課也僅僅就其中與整除有關(guān)的問題的教學(xué)作了一次實(shí)踐和探索.雖然，將這類問題引入課堂后，教學(xué)方法、教學(xué)模式好象無章可循，但在教學(xué)中教師讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、體驗(yàn)、表達(dá)仍是我們的教學(xué)的追求.“教無定法”，大膽探索方能漸入佳境.