向妮　陳立　毛井

摘 要 以興趣為先導(dǎo)，融合理工學(xué)科背景，模塊化解析微分方程課程教學(xué)實(shí)踐；凸顯微分方程課程教學(xué)：理科夯實(shí)基礎(chǔ)理論；工科創(chuàng)新運(yùn)用數(shù)理方法。

關(guān)鍵詞 微分方程 教學(xué)方法 教學(xué)實(shí)踐

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.035

Integrate Science and Engineering， Stimulate Interest， Modular

Differential Equation Teaching Practice

XIANG Ni， CHEN Li， MAO Jing

（Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan， Hubei 430062）

Abstract Taking interests as the guide， integrating the background of science and engineering， modular teaching of differential equation courses； highlight the differential equations teaching： science compaction basic theory； engineering innovation using mathematical methods.

Keywords differential equations； teaching methods； teaching practice

1 微分方程的課程特點(diǎn)和現(xiàn)狀

微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的任務(wù)是建立數(shù)學(xué)模型，尋求各種求解方法、進(jìn)行理論分析，從而達(dá)到解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的目的。作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)主干課程，課程教學(xué)的宗旨在于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力，并為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。隨著教學(xué)實(shí)踐的深入研究，現(xiàn)行教學(xué)體系已呈現(xiàn)諸多弊端。[1]

（1）教學(xué)內(nèi)容求多：在湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，微分方程本科階段開(kāi)設(shè)了“常微分方程”和“偏微分方程”兩門(mén)微分方程的課程，分別安排在大學(xué)二年級(jí)的專(zhuān)業(yè)必修課和三年級(jí)專(zhuān)業(yè)選修課。常微分方程的教學(xué)內(nèi)容包含初等積分法、存在唯一性定理、高階方程、常微分方程組以及非線性方程的穩(wěn)定性等內(nèi)容；偏微分方程其主要核心內(nèi)容是三種方程四種方法。教學(xué)內(nèi)容繁多，難度大，內(nèi)容處理精細(xì)且抽象。我們對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化處理，在大綱基本要求下，把解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性、可微性；貝塞爾方程；Laplace變換；偏微分方程的定性理論分析[2]中的內(nèi)容作為選學(xué)內(nèi)容，在課堂上教師只作簡(jiǎn)單的指導(dǎo)，有興趣的學(xué)生利用討論班的形式進(jìn)行講解。由于學(xué)校教學(xué)課時(shí)的調(diào)整，微分方程授課總課時(shí)大大減少，使得必要的知識(shí)點(diǎn)難以充分展開(kāi)，在新形勢(shì)下有待于對(duì)微分方程的教學(xué)模式以及學(xué)生的學(xué)習(xí)方式做進(jìn)一步的實(shí)踐探討。

（2）工科內(nèi)容理科化：一方面嚴(yán)密的公式化推導(dǎo)雖然讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的技巧，但缺乏對(duì)所學(xué)內(nèi)容物理背景的理解；另一方面雖然學(xué)生學(xué)了很多的理論知識(shí)但是遇到實(shí)際問(wèn)題依然無(wú)從下手。面對(duì)新世紀(jì)人才培養(yǎng)的要求，我國(guó)高等學(xué)校中的微分方程教學(xué)將面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，新的形勢(shì)和面臨的任務(wù)需要對(duì)這些課程的教學(xué)進(jìn)行深入改革，以適應(yīng)復(fù)合型人才培養(yǎng)的需求。我校微分方程這門(mén)課程不僅在數(shù)學(xué)系開(kāi)設(shè)，它也進(jìn)入了電子信息工程，材料科學(xué)工程等工科專(zhuān)業(yè)的課程體系，但缺點(diǎn)是理科和工科所開(kāi)設(shè)的課程中學(xué)生和教師都缺乏溝通與聯(lián)系，互相之間沒(méi)有做到取長(zhǎng)補(bǔ)短，沒(méi)能使理科學(xué)院在講授基礎(chǔ)推導(dǎo)的優(yōu)勢(shì)以及工科學(xué)院在講授物理背景的強(qiáng)項(xiàng)相互融合，理工科學(xué)生在學(xué)習(xí)上也很少有機(jī)會(huì)交流學(xué)習(xí)心得。

（3）學(xué)習(xí)興趣缺失：由于微分方程理論知識(shí)過(guò)多，應(yīng)用性知識(shí)不足，實(shí)踐活動(dòng)的欠缺，所學(xué)知識(shí)脫離現(xiàn)實(shí)生活，造成學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏目的性，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣的缺失。隨著科技的進(jìn)步，微分方程不僅僅局限在描述客觀世界中起到關(guān)鍵作用的物理規(guī)律，例如流體力學(xué)問(wèn)題中的Navier-stocks方程，用來(lái)描述物理中波傳播的波動(dòng)方程，主要由傳熱和擴(kuò)散現(xiàn)象導(dǎo)出的熱傳導(dǎo)方程等。目前其應(yīng)用領(lǐng)域已延伸到其他學(xué)科領(lǐng)域，例如自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、人文社會(huì)學(xué)等。這門(mén)古老而又嶄新的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，不僅需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備，而且要求教師在授課過(guò)程中結(jié)合多種教學(xué)方法，課后訓(xùn)練習(xí)題以及實(shí)例不斷提高課程教學(xué)質(zhì)量，將課堂理論知識(shí)融入到交叉學(xué)科中解決實(shí)際問(wèn)題。

2 理工融合，模塊化教學(xué)實(shí)踐

2.1 順應(yīng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才培養(yǎng)要求

創(chuàng)新源于思想、觀念的升華，取決于實(shí)踐中科學(xué)發(fā)現(xiàn)。具體到微分方程課程教學(xué)中涉及到：課程內(nèi)容選擇、授課方式的出新、教學(xué)手段的直觀理性以及課程實(shí)踐的完善等等。微分方程課程中的概念抽象、公式多、邏輯性強(qiáng)、定理論證煩難，初學(xué)者往往不易理解和接受。如何發(fā)掘并實(shí)現(xiàn)課程教學(xué)的創(chuàng)新人才培養(yǎng)途徑，湖北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院微分方程課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)結(jié)合國(guó)家理工融合戰(zhàn)略背景，采用模塊化教學(xué)實(shí)踐，融合傳統(tǒng)的啟發(fā)式、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，巧妙移植物理背景的直觀、生動(dòng)的特點(diǎn)，從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為依托，較好地完成了該課程在湖北大學(xué)的教學(xué)，取得了超出預(yù)期的效果。

2.2 模塊化教學(xué)實(shí)踐

2.2.1 模塊化之教學(xué)內(nèi)容分層次

模塊化教學(xué)：理科側(cè)重理論教學(xué)、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析水平，注重存在唯一性定理、微分方程中定性理論等理論知識(shí)的講解；工科（電類(lèi)）：有意識(shí)地介紹一些利用微分方程建模的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的一些基本思想同時(shí)指導(dǎo)他們根據(jù)建立的模型利用Matlab軟件找出問(wèn)題的解。教學(xué)中先給學(xué)生播放某無(wú)人機(jī)模型研發(fā)團(tuán)隊(duì)制作的演示視頻，吸引學(xué)生的興趣，在觀看無(wú)人機(jī)的各種飛行技巧之余，讓學(xué)生尋找該團(tuán)隊(duì)在視頻中闡釋的各種微分方程（組）模型的用途，使得學(xué)生對(duì)微分方程的定義更直觀，也讓他們從實(shí)例中了解微分方程的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述科學(xué)問(wèn)題，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題并用科學(xué)語(yǔ)言解釋上述問(wèn)題的過(guò)程。

2.2.2 模塊化之教學(xué)案例（體現(xiàn)微分方程的自然引入）

在教學(xué)中注重問(wèn)題的提出及其背景，穿插相關(guān)的歷史與人物軼事，活躍課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與熱情。偏微分方程的第一堂課上，我們以生活中的偏微分方程為主題制作PPT，利用各種圖片、動(dòng)畫(huà)事例給學(xué)生展示各個(gè)領(lǐng)域的微分方程。帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)時(shí)下熱門(mén)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域出現(xiàn)的微分方程模型。比如在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，[3]從1895年德國(guó)人倫琴發(fā)現(xiàn)X射線到通過(guò)海底電纜從英國(guó)倫敦至美國(guó)紐約傳輸?shù)牡谝环鶖?shù)字圖像講起，在微分方程建模基礎(chǔ)上，采用壓縮技術(shù)，將原來(lái)需要傳輸一個(gè)星期的過(guò)程壓縮到了三個(gè)小時(shí)以內(nèi)，同時(shí)也介紹微分方程在圖像去噪、放大、修復(fù)、去彩等技術(shù)中的應(yīng)用；在期權(quán)定價(jià)理論中我們給學(xué)生介紹著名的Black-Scholes模型；在介紹熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)之前給學(xué)生講傅里葉與《熱的解析理論》的故事，介紹他對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的精湛處理，開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)物理學(xué)的嶄新領(lǐng)域。結(jié)合團(tuán)隊(duì)的科研成果，給學(xué)生介紹相關(guān)的一些數(shù)學(xué)模型的推到。

例1[4]講述最優(yōu)運(yùn)輸問(wèn)題的發(fā)展簡(jiǎn)史。介紹1987年法國(guó)數(shù)學(xué)家Brenier在研究流體力學(xué)時(shí)建立了最優(yōu)運(yùn)輸問(wèn)題和Monge-Amp鑢e方程間的聯(lián)系，他證明最優(yōu)映射實(shí)質(zhì)上是某個(gè)凸函數(shù)（或勢(shì)函數(shù)）的梯度，且滿足如下形式：

例2[4]幾何光學(xué)的光線反射和折射問(wèn)題中也可以導(dǎo)出Monge-Ampre 型方程，這類(lèi)問(wèn)題涉及到反射和折射拋物面形狀的設(shè)計(jì)，具體還可細(xì)分為遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)光學(xué)。光線反射在遠(yuǎn)場(chǎng)光學(xué)中的描述可以認(rèn)為是一種費(fèi)用函數(shù)為c（x，y）=-log（1-x y）的最優(yōu)運(yùn)輸問(wèn)題。光線反射在近場(chǎng)光學(xué)中的情況略有不同，以平行光反射問(wèn)題為例，對(duì)應(yīng)的方程為：

例3[5]超弦理論的緊致化研究中，Candelas， Horowitz， Strominger， Witten構(gòu)建了極大對(duì)稱(chēng)的四維時(shí)空M上的度量積，其中M含有10維時(shí)空中的6維Calabi-Yau真空。與此同時(shí)，Strominger為了達(dá)到時(shí)空超對(duì)稱(chēng)化的目的，提出了Strominger模型。Fu，Yau將Strominger模型轉(zhuǎn)化為如下方程：

在課堂教學(xué)模式的選擇上，我們采用傳統(tǒng)黑板教學(xué)+多媒體教學(xué)模式相結(jié)合的方式進(jìn)行。根據(jù)微分方程內(nèi)容的特點(diǎn)，分析確定具體內(nèi)容和實(shí)施方案。凡涉及到證明思想、方法等思想深刻的內(nèi)容仍然用傳統(tǒng)教學(xué)方法，（如常微分方程的存在唯一性定理的證明）；對(duì)于內(nèi)容相對(duì)淺顯、學(xué)生容易理解的問(wèn)題，特別是空間圖形的演示，充分發(fā)揮多媒體課件的作用，既能在較短的時(shí)間內(nèi)既講清思路和方法，也增加信息量，提高教學(xué)效率。

2.2.3 模塊化之教學(xué)實(shí)踐（實(shí)驗(yàn)室教學(xué)一塊：程序?qū)崿F(xiàn)——工科必要的內(nèi)容）

由于微分方程課程本身特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較困難，課程組全體老師公開(kāi)電話、郵箱、微信或者QQ號(hào)，以加強(qiáng)聯(lián)系。通過(guò)這些媒介，我們及時(shí)收集反饋信息，了解學(xué)生狀況。每次課前10分鐘先采用多媒體教學(xué)模式回顧上節(jié)課的核心內(nèi)容，再解答部分學(xué)生問(wèn)題。每周我們?cè)O(shè)定固定時(shí)間幫助學(xué)生解決一周之內(nèi)所學(xué)內(nèi)容的難疑點(diǎn)。每周課后的答疑及時(shí)解決了學(xué)生一周之內(nèi)所學(xué)內(nèi)容的疑難點(diǎn)，為下一步的學(xué)習(xí)掃清障礙。我們將一些經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)視頻發(fā)給學(xué)生，幫助他們?cè)谡n余輔助學(xué)習(xí)。

因材施教，我們探究和實(shí)施了適合學(xué)生水平和課程特點(diǎn)的自學(xué)討論式、啟發(fā)探究式教學(xué)法。針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，將他們吸引到我們所從事的科研課題中來(lái)，帶領(lǐng)他們參加討論班，拓寬視野，引導(dǎo)他們閱讀外文文獻(xiàn)，使他們的科研能力得到初步的訓(xùn)練。教師精細(xì)設(shè)計(jì)課程內(nèi)容載體，實(shí)行以主題發(fā)言為主線的模式。為形成研究討論問(wèn)題的氛圍，在授課班級(jí)內(nèi)將學(xué)生分成若干個(gè)學(xué)習(xí)討論小組，為學(xué)生創(chuàng)造自主的創(chuàng)新性學(xué)習(xí)最適合的環(huán)境。加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)與指導(dǎo)，鼓勵(lì)興趣小組的學(xué)生積極參加各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽等活動(dòng)，促使他們?cè)趯?shí)踐中體會(huì)微分方程這一貼切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言在描述科學(xué)結(jié)論時(shí)發(fā)揮的作用和魅力。

為改變學(xué)生只重視考試，臨考之前“抱佛腳”的習(xí)慣，我們加強(qiáng)平時(shí)成績(jī)的考核比重，將以往4：6分的成績(jī)比例調(diào)整為5：5分，使得平時(shí)成績(jī)的比例提升，促使學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中過(guò)來(lái)。我們將數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中與微分方程相關(guān)的題目進(jìn)行總結(jié)歸納，挑選出合適的題目化簡(jiǎn)整合之后作為討論課的主題，讓學(xué)生們進(jìn)行講解并形成小論文，而討論課上的表現(xiàn)和課后小論文都成為平時(shí)成績(jī)的加分環(huán)節(jié)；在期末考試中我們?cè)黾用嬖嚟h(huán)節(jié)，不僅測(cè)試學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握情況，而且考查其綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。[6]

例4 腐敗人數(shù)的預(yù)測(cè)模型

現(xiàn)如今，我們常常能看到一些政府官員因腐敗而落馬的報(bào)道，隨之牽連出大批涉案分子。然而大量被牽連的腐敗分子為逃避法律制裁，往往東躲西藏。在已牽連出的腐敗分子人數(shù)基礎(chǔ)上，預(yù)測(cè)一下總的涉案人數(shù)，建立一個(gè)牽連出腐敗分子人數(shù)的預(yù)測(cè)模型。請(qǐng)給出合乎實(shí)際的假設(shè)來(lái)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)建立的模型進(jìn)行理論分析或數(shù)值模擬。

例5 偏微分方程的人口模型

人口問(wèn)題是一個(gè)很復(fù)雜的生物學(xué)和社會(huì)學(xué)問(wèn)題。由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng)。假定種群的密度在空間分布是不均勻的情形下，高密度的種群將向低密度的種群擴(kuò)散，即對(duì)于一個(gè)種群而言，它的位置隨時(shí)間和空間變化，假設(shè)P（x，a，t）表示任意時(shí)刻t按年齡a在位置x處人口的分布密度，這樣的模型將滿足何種偏微分方程？

例6交通十字路口，黃燈設(shè)置

為了讓那些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而無(wú)法停下的車(chē)輛通過(guò)路口，紅綠燈轉(zhuǎn)換中間還要亮起一段時(shí)間的黃燈。對(duì)于一位駛近交叉路口的駕駛員來(lái)說(shuō)，萬(wàn)萬(wàn)不可處于這樣的進(jìn)退兩難的境地：要安全停車(chē)則離路口太近；要想在紅燈亮之前通過(guò)路口又覺(jué)太遠(yuǎn)。那么，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間才最為合理呢？

3 結(jié)語(yǔ)

在湖北大學(xué)《創(chuàng)新思維導(dǎo)向的微分方程課程開(kāi)放式實(shí)踐教學(xué)體系的研究》教改項(xiàng)目的資助下，微分方程課題組開(kāi)始對(duì)現(xiàn)有課程內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行改革探索，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和能力培養(yǎng)規(guī)律，構(gòu)建課程模塊與知識(shí)結(jié)構(gòu)，合理安排教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，合理分配教學(xué)時(shí)數(shù)，恰當(dāng)組織教學(xué)單元的設(shè)計(jì)和知識(shí)點(diǎn)、技能點(diǎn)的拆分；理論聯(lián)系實(shí)際，合理安排課內(nèi)講授與課外輔導(dǎo)，融知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、素質(zhì)教育于一體；形成一套適合我院數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)并能綜合反映教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的教學(xué)方案。

轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念：“教師教好”轉(zhuǎn)變?yōu)椤芭d趣至上”；改變教學(xué)單純的書(shū)本知識(shí)傳授的教學(xué)理念，將知識(shí)傳授和學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)。實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式從單純重視知識(shí)、技能的傳授轉(zhuǎn)向注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，構(gòu)建“以學(xué)生為主體，激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)”的教學(xué)體系。

強(qiáng)化實(shí)踐教學(xué)：以理筑基，理工融合。以工程試驗(yàn)作為科研實(shí)踐活動(dòng)為形式的自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。鼓勵(lì)學(xué)生積極參與大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計(jì)劃，學(xué)以致用。提高自主學(xué)習(xí)能力以及創(chuàng)新實(shí)踐能力。

基金項(xiàng)目： 湖北大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目：創(chuàng)新思維導(dǎo)向的微分方程課程開(kāi)放式實(shí)踐教學(xué)體系的研究，湖北大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目：新形勢(shì)下研究生幾何課程教學(xué)探究

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