程蓉

摘 要：數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華，蘊含了最豐富的創(chuàng)新教育素材，學生在學習數學概念是養(yǎng)成的思維方式、方法遷移能力也最強。因此，教師在講授新的概念時，必須要重視和分析概念形成過程，還原概念的本質，讓學生更容易理解新概念，更容易對新知識找到共鳴；讓學生有更多的機會參與發(fā)現(xiàn)，從中感受和諧、連貫、嚴密、有用的數學之美。

關鍵詞：高中數學；概念教學；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-063-1

眾所周知，概念是思維的基本形式之一，是對一切事物進行判斷和推理的基礎。數學概念是構成數學知識的基礎，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確地理解數學概念是掌握數學知識的前提，因此，數學概念的教學是數學教學的一個重要方面。在教學中，很多教師比較熱衷于各種題型的歸類與技巧的強化，希望學生會套用技巧、按程序去解決問題，而對概念的教學，不愿意花大力氣去分解剖析。其直接結果是：學生一旦遇到題設、情境稍加改變的問題，因無法套用技巧而束手無策。我認為，數學概念教學應返璞歸真，回歸課本，回歸到概念本質的教學，而避免題海戰(zhàn)術及各種方法總結技巧訓練。例如我在實際的教學中遇到這樣一個問題：

問題：五封不同的信投入三個郵筒

（1）有多少種不同投法？

（2）每個郵筒中至少要有一封信，有多少種不同投法？

解：（1）對每封信來說，有3種投法，分五步把這些信都投完，則共有3×3×3×3×3=35（種）投法。

（2）先從5封信選出3封信投入3個郵筒（保證每個郵筒至少要有一封信），共有A35種方法，再把剩下的2信任意投入3個筒內，有3×3=9種方法，按照分步計數原理，共有A35×9=540種不同的投法。

這是學生學完計數原理初次接觸該問題，大部分學生給出的解答過程。第（1）問大部分學生沒有問題，講解重點放在第（2）問，首先給學生舉了一個反例：郵筒分別為記為1、2、3，5封信分別記為A、B、C、D、E，如下表所示：

通過具體的例子說明這樣做會出現(xiàn)重復，然后強調這類問題要先分組再分配，并且從中總結出“分組分配問題”模型，要求學生記在筆記本上。但是間隔一段時間后，學生解答同類型問題時，依然會出現(xiàn)同樣的錯解。

通過與學生溝通，了解到學生認為一件事只要分先后順序完成，就是“分步”，就能用分步計數原理。回顧本人在計數原理這一概念的教學：本人先通過兩個問題引入，然后發(fā)現(xiàn)總結出原理，個人認為原理比較簡單，就把兩個原理區(qū)別對比，然后就進行例題講解和課堂訓練。由于課堂上沒有對原理進行剖析，導致學生對分步的標準，分步各步的方法數互不影響的判斷，毫無意識。雖然舉了反例，學生也知道錯了，但為什么錯卻一知半解，再次出錯也在所難免。

為了讓學生真正弄清楚上述問題，本人采取了這樣的補償教學。

首先，通過一個簡單的小問題：

從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

讓學生回顧分步計數原理內容：

完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步時有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

強調原理本質：如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，（即相對于前一步的每一種方法，不影響下一步方法的選?。敲赐瓿蛇@件事的方法數就可以直接用乘法原理。

再次，面對學生的錯解，可反問學生：這樣的分步能否保證第一步與第二步的方法數互不影響？教師可以讓學生相互交流討論，學生通過枚舉會發(fā)現(xiàn)有重復的分法出現(xiàn)。教師再追問：還能用分步計數原理嗎？從而進一步說明原理中“分步”的本質。接著問學生：怎樣正確分步呢？學生會想到，應該先把信分成3份，再投入3個郵筒，并形象地稱為“先打包，再分配”，從而保證前后方法數互不影響。那么把5封不同的信打成3包，有多少種不同的方法呢？可打成3、1、1三包，有C35×C122=10種方法，打成2、2、1三包，有C25×C232=15種方法，故不同的投法有（10+15）×A33=150種。通過講解以后，學生知道分步不是簡單的分成一、二、三…步相乘就可以，“分步”也是有其標準和原則的。再遇到類似的題目，學生學會了考慮能否這樣分步？會不會出現(xiàn)重復？

總之，對概念教學，教師應當把主要精力投入到概念、原理產生發(fā)展過程和其本質的探究，并能深入細致地引導學生會用概念原理去分析、解決問題。教師應依據課程標準，認真鉆研教材，準確領會教材的編寫意圖，對教材的基本思想、基本概念，教材的結構，重點與難點都弄清楚。