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        談兩個特殊行列式在教學中的運用

        2018-06-05 12:24:51孫忠洋
        邢臺學院學報 2018年2期
        關鍵詞:行列式化簡字形

        孫忠洋

        (淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽淮北 235000)

        行列式的計算方法很多,綜合性較強,需要我們多觀察總結,往往運用一些特殊的行列式,在化簡復雜的行列式中會起到化繁為簡的計算效果,培養(yǎng)學生興趣和思維,對大學的教學起到積極的作用。在此主要談了“爪”字形和“么”字形行列在教學中的運用。

        1 兩種特殊行列式在教學中的運用

        一般情況下,傳統(tǒng)的教學方式基本上都是運用行列式的定義或性質(zhì),逐步求解行列式,對于簡單的行列式可以快速求解,但對于較為復雜的行列式往往無法起到快速求解的目的,這就需要熟練掌握一些特殊的行列式的運算方法,對求解復雜行列式會起到事半功倍的效果。 在很大程度上,培養(yǎng)了學生的興趣和學習的積極性,有利于培養(yǎng)學生的解題思維。

        1.1 “爪”字形行列式

        在高等代數(shù)和線性代數(shù)中,有兩種非常特殊的行列式,首先介紹“爪”字形行列式。

        行列式的特點:行列式中的非零元素排列形狀如“爪”字形。

        解題方法:將每行(或每列)的元素都乘以一個倍數(shù),然后都加到第i行(或第i列),并提取第i行(或第i列) 元素的公因子,再進行計算。下面講解“爪”字形行列式的計算,如下:

        例 1:計算(n+1) 階行列式:)后都加到第1列,有

        解法 1: 將第 i+1(i=1,2…,n)列乘以

        注:許多行列式可經(jīng)適當變形化為“爪”字形行列式,此行列式在教學中具有重要的作用,但需要注意,在方法1的證明中一定要應用條件:ai≠0(i=1,2…,n), 但是在方法 2 的證明中, 不需要使用已知條件:很多行列式可以化成“爪”字形行列式,然后再進行簡化計算,見下題。

        例2:計算n階行列式:

        解法1:在原行列式中添加一行和一列后,從第2行開始直至第n+1行都加上第1行的(-1)倍,有

        (1)式為“爪”字形行列式。下面分三種情況討論:

        (1)當xi≠ai(i=1,2,∧,n)時,將(1)式中第i+1(i=1,2,∧,n)列乘以)后都加到第1列,有

        (2)當xi-ai(i=1,2,∧,n)中只有一個為0時,在(1) 式中假設存在一個i,使得xi-ai=0,對(1) 式的第i+1行展開,有

        Dn=(x1-a1)(x2-a2)∧(xi-1-ai-1)ai(xi+1-ai+1)∧(xn-an)

        (3) 當 xi-ai(i=1,2,∧,n)中有兩個或兩個以上xi-ai=0,假設在(1) 式中x1-a1=x2-a2=0,可知

        (1) 式中存在兩行相等,因此,Dn=0。

        解法2:在原行列式中添加一行和一列后,從第2行開始直至第n+1行都減去第1行,有

        關于“爪”字形行列式在教學中的運用還有很多,可以處理更加復雜的行列式,需要我們繼續(xù)研究,“爪”字形行列式在行列式的計算中能起到化簡復雜行列式的作用。

        2.2 “么”字形行列式

        行列式的特點:行列式中的非零元素排列形狀如“么”字形。

        解題方法:按某一行(或某一列)運用公式直接展開,可得結果。 下面講解“么”字形行列式的計算。

        例1: 計算(n+1) 階行列式:

        解: 按第1列展開,有

        例2:計算n階行列式:

        解:按第1行展開,有nxn-1+(n-1)xn-2+∧+2x+1

        注:許多行列式也可經(jīng)適當變形化為“么”字形行列式,例1和例2是“么”字形行列式的基本計算方法,對于“么”字形行列式在教學中的運用,可見例3。

        例3:計算n階行列式:

        解:從第n-1行開始直至第2行,每行乘(-1)加到下一行,再按第1列展開,有

        把“么”字形行列,按第1行展開有

        Dn=(-1)n+1[b1a2a3Lan+b1b2a3Lan+L+b1b2Lbn-1an]

        例4: 計算n階行列式:

        解: 從第n-1行開始直至第1行,每行(-1)乘加到下一行,再按第1列展開,有

        再從第2列開始直至第n-1列都加到第1列,再按第1列展開,有

        3 教學總結

        行列式是高等代數(shù)和線性代數(shù)的重要教學內(nèi)容,是求解線性方程組、逆矩陣和矩陣特征值的基礎。在高等代數(shù)和線性代數(shù)的教學內(nèi)容以及工程技術中都有著廣泛的應用。在整個行列式的教學過程中,要注意總結教學中的重難點,總結特殊的行列式在教學中的運用,培養(yǎng)學生運用特殊的方法解決復雜問題的能力。在教學中,運用“爪”字形和“么”字形行列式在化簡復雜的行列式中會起到化繁為簡的計算效果。

        [1]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [2]居余馬,胡金德.線性代數(shù)[M].北京:清華大學出版社,2009.

        [3]羅文俊.關于行列式的計算與討論[J].貴州大學學報(自然科學版),2003,20(2): 123-126.

        [4]張新功.行列式的計算方法探討[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2011,28(4): 88-92.

        [5]李排昌,左萍.行列式與解線性方程組[J].中國人民公安大學學報(自然科學版),2010,1(1):100-102.

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