國 慧

（邢臺學院數(shù)信學院，河北邢臺 054001）

上世紀70年代，英國數(shù)學家N.L.Biggs給出了距離正則圖的概念，接著他與數(shù)學家A.E.Brouwer， A.D.Gardiner， E.Bannai， D.H.Smiths及T.Ito等建立起距離正則圖的基本理論框架。在對距離正則圖的研究中，距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)尤其是特殊的距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)是一個重要的內(nèi)容，國內(nèi)外的專家學者對此進行了廣泛而細致的研究。例如，A.A.Pascasio在[1]中給出關于緊距離正則圖的特殊的本原冪等元的余弦序列的不等式關系；M.S.Lang在[1]中給出關于二部距離正則圖的本原冪等元的余弦序列的不等式關系，并得出等式成立的等價條件，進而將等式成立與Q-多項式性質(zhì)相聯(lián)系。

對距離正則圖，特別是特殊的距離正則圖的研究是十分必要的，它與其他數(shù)學分支有著緊密的聯(lián)系，如有限群，有限幾何，組合設計，碼論等。本文主要研究特殊的二部距離正則圖，2-齊次二部距離正則圖的特征值的性質(zhì)，為了得出本文的結論，首先引入2-齊次二部距離正則圖的概念及幾個重要的引理。

1 定義及相關引理

定義：設Γ＝（X，R） 為直徑d≥3的距離正則圖，價k≥3。稱為2-齊次的，當對所有的整數(shù)i（1≤i≤d-1）及所有的點 x，y，z，?（x，y）＝2，?（x，z）＝1，?（y，z）=i，數(shù)值

γi的大小與x，y，z的選取無關，只依賴于i的選取[1]。

引理1： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖， 價 k≥3， 特征值 θ0＞θ1＞…＞θd， 若 θ1的重數(shù)mult（θ1）＝k，Γ稱為2-齊次的[2]。

引理 2： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，價k≥3，Γ稱為2-齊次的當且僅當?shù)慕徊骊嚵惺且韵虑闆r之一：（γ2+3γ+1），μ=γ（γ+1），

其中γ為整數(shù)且 γ≥2；

（4） ｛k，k-1，k-2，……2，1；1，2，……k-1，k ｝，k≥3[3]。

下面假設Γ＝（X，R） 為直徑d≥3的距離正則圖，θi（0≤i≤d）為Γ的特征值，Ei為θi對應的本原冪等元。假設存在整數(shù)r，s，t（0≤r，s，t≤d，r≠0，s≠t）使得

Er·Es∈Span(Er，Es)

且令 σ0，σ1，…，σd和 ρ0，ρ1，…，ρd分別是 Er和Es的余弦序列。

引理 3： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d）及所有的點 x，y∈X，?（x，y=i）， 以下成立：

引理4： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d）及所有的點 x，y∈X，?（x，y=i），以下成立：

引理 5： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d），以下成立：

由引理2知Γ＝（X，R） 為直徑，價k≥3的2-齊次二部距離正則圖的交叉陣列只有四種情況，下面只考慮交叉陣列為

｛k，k-1，k-2，…2，1；1，2…，k-1，k ｝，k≥3的情況。

引理 6： 設 Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的二部距離正則圖， θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，則以下條件等價：

（1）Γ 為 2-齊次的，且 θ1＝k-2；

（2）Γ的交叉數(shù)為ci=i，bi=d-i（0≤i≤d）；

（3）Γ 為 2-齊次的，且存在標量 β（θ1）＝2 使得

其中 σ0，σ1，…，σd為 θ1的余弦序列[2]。

引理 7： 設 Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的二部距離正則圖， σ0，σ1， …，σd為Γ的余弦序列，則有

其中σ＝σ1，且對d≥4，以下條件等價：

（1） Γ 關于 σ0，σ1，…，σd為 Q-多項式的；

（2） σi≠1（1≤i≤d），且對 1≤i≤d-1，(6)式等號成立；

（3） σi≠1（1≤i≤d）， 且對 i＝3， (6) 式等號成立[5]。

引理8： 設Γ＝（X，R）為直徑d≥3的距離正則圖，Ei（0≤i≤d） 為Γ的本原冪等元，Γ關于E0，E1，…，Ed為Q-多項式的，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d），

E1·Ei∈Span(Ei-1，Ei，Ei+1)

進而

E1·Ed∈Span(Ed-1，Ed)[4]

以上是關于二部距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)的相關引理，在深入研究前人已得到的結論的基礎上，結合2-齊次二部距離正則圖的的概念，經(jīng)過嚴密的推導，得出以下三個重要結論，并給出了相應的證明。

2 主要結論及證明

結論 1： 設 Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的2-齊次二部距離正則圖，

θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值， 且θ1＝k-2， 其中 σ0，σ1，…，σd為關于 θ1的余弦序列，則有

證明： 因為 θ1＝k-2， 由 θ1＝kσ1知

并且由引理 6（1）、（3）知 β（θ1）＝2，并且（5）式成立，則可得

即得（7） 式。

結論 2： 設 Γ＝（X，R） 為直徑 d≥4， 價 k≥3的 2-齊次二部距離正則圖， θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，E1為θ1對應的本原冪等元，則存在Γ的互不相同的本原冪等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

并且令θf，θk分別為F，H的特征值，則

θf(θf-θh)=2k

證明： 假設 σ0，σ1， …，σd為 θ1＝k-2 的余弦序列，則故

(σ-σ4)(σ-σ2)=(σ2-σ3)(1-σ3)

即 （6） 式在 i＝3 時成立， 且 σi≠1（1≤i≤d）， 由引理 7（1）、 （3） 知Γ關于 E1為 Q-多項式的。由引理8可知存在的互不相同的本原冪等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

令 ρ0，ρ1， …，ρd為 θf的余弦序列， 則由引理 5可知

（8） 式中令 i＝1 得

因為Γ為二部距離正則圖，ai＝0，故有ciσi-1+aiσi+biσi+1＝θσi， i＝1 時可得

由 （10） 和可得

由（9） 和（11） 式可得

θf(θf-θh) ＝2k

結論 3： 設 Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的 2-齊次二部距離正則圖，θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，令E，F(xiàn)，H為Γ的互不相同的非平凡的本原冪等元使得E1·F∈Span(F，H)， 令 θe， θf，θk分別為關于 E， F， H 的特征值，則

（1） 若 θf＝θ1， 則有 θe＝k-4， θk＝k-6；

（2） 若 θf＝θd-1， 則有 θe＝k-4， θk＝- （k-6）。

證明： 假設 σ0，σ1，…，σd， ρ0，ρ1，…，ρd分別是θe，θf的余弦序列，則由引理5知

（1） 若 θf＝θ1＝k-2， 則

（12） 式中令i-1可得

（13） 式和（14） 式聯(lián)立可得

（12） 式中令 i＝2 可得（θkρ2-θeρ3）（1-σ2）。因為 E為非平凡的本元冪等元，所以σ2≠1，則

（13） 式和（16） 式聯(lián)立可得

（15） 式和（17） 式聯(lián)立可得。

（2） 若 θf=θd-1，則 θd-1=-（k-2），且

（14） 式和（18） 式聯(lián)立可得

（16） 式和（18） 式聯(lián)立可得

（19） 式和 （20） 式聯(lián)立可得 θe=k-4， θh=-（k-6）。

結合二部距離正則圖的相關定理及2-齊次二部距離正則圖的特性，得出了以上關于2-齊次二部距離正則圖的特征值的三個重要結論：即2-齊次二部距離正則圖的特征值θ1=k-2（k為價） 的余弦序列的等式關系，并利用此結論得出與特征值θ1=k-2相關的兩個特征值θf與θh的等式關系，同時得出當θf=θ1或θd-1時，與θf相關的兩個特征值 θe與 θh的值。

對特殊的二部距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)的研究可以更好地幫助我們理解其幾何特征，而幾何特征又可以幫助我們得到更多有價值的代數(shù)性質(zhì)。同樣的研究方法也可以運用到其他特殊的距離正則圖的研究中，進而促進二部距離正則圖理論的發(fā)展。

[1]M. S. Lang. Pseudo primitive idempotent and almost 2-hom ogeneous bipartite distance-regular graphs[J].European J.C ombine，2008，（29）：35-44.

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[7]A.A.Pascasio. A inequality on the cosines of a tight distanceregular graph[J]. Linear Algebra and its Application,2001（325）：147-159.