國 慧

（邢臺學(xué)院數(shù)信學(xué)院，河北邢臺 054001）

上世紀(jì)70年代，英國數(shù)學(xué)家N.L.Biggs給出了距離正則圖的概念，接著他與數(shù)學(xué)家A.E.Brouwer， A.D.Gardiner， E.Bannai， D.H.Smiths及T.Ito等建立起距離正則圖的基本理論框架。在對距離正則圖的研究中，距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)尤其是特殊的距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)是一個重要的內(nèi)容，國內(nèi)外的專家學(xué)者對此進行了廣泛而細(xì)致的研究。例如，A.A.Pascasio在[1]中給出關(guān)于緊距離正則圖的特殊的本原冪等元的余弦序列的不等式關(guān)系；M.S.Lang在[1]中給出關(guān)于二部距離正則圖的本原冪等元的余弦序列的不等式關(guān)系，并得出等式成立的等價條件，進而將等式成立與Q-多項式性質(zhì)相聯(lián)系。

對距離正則圖，特別是特殊的距離正則圖的研究是十分必要的，它與其他數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系，如有限群，有限幾何，組合設(shè)計，碼論等。本文主要研究特殊的二部距離正則圖，2-齊次二部距離正則圖的特征值的性質(zhì)，為了得出本文的結(jié)論，首先引入2-齊次二部距離正則圖的概念及幾個重要的引理。

1 定義及相關(guān)引理

定義：設(shè)Γ＝（X，R） 為直徑d≥3的距離正則圖，價k≥3。稱為2-齊次的，當(dāng)對所有的整數(shù)i（1≤i≤d-1）及所有的點 x，y，z，?（x，y）＝2，?（x，z）＝1，?（y，z）=i，數(shù)值

γi的大小與x，y，z的選取無關(guān)，只依賴于i的選取[1]。

引理1： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖， 價 k≥3， 特征值 θ0＞θ1＞…＞θd， 若 θ1的重數(shù)mult（θ1）＝k，Γ稱為2-齊次的[2]。

引理 2： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，價k≥3，Γ稱為2-齊次的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕徊骊嚵惺且韵虑闆r之一：（γ2+3γ+1），μ=γ（γ+1），

其中γ為整數(shù)且 γ≥2；

（4） ｛k，k-1，k-2，……2，1；1，2，……k-1，k ｝，k≥3[3]。

下面假設(shè)Γ＝（X，R） 為直徑d≥3的距離正則圖，θi（0≤i≤d）為Γ的特征值，Ei為θi對應(yīng)的本原冪等元。假設(shè)存在整數(shù)r，s，t（0≤r，s，t≤d，r≠0，s≠t）使得

Er·Es∈Span(Er，Es)

且令 σ0，σ1，…，σd和 ρ0，ρ1，…，ρd分別是 Er和Es的余弦序列。

引理 3： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d）及所有的點 x，y∈X，?（x，y=i）， 以下成立：

引理4： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d）及所有的點 x，y∈X，?（x，y=i），以下成立：

引理 5： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的二部距離正則圖，記E=Er，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d），以下成立：

由引理2知Γ＝（X，R） 為直徑，價k≥3的2-齊次二部距離正則圖的交叉陣列只有四種情況，下面只考慮交叉陣列為

｛k，k-1，k-2，…2，1；1，2…，k-1，k ｝，k≥3的情況。

引理 6： 設(shè) Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的二部距離正則圖， θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，則以下條件等價：

（1）Γ 為 2-齊次的，且 θ1＝k-2；

（2）Γ的交叉數(shù)為ci=i，bi=d-i（0≤i≤d）；

（3）Γ 為 2-齊次的，且存在標(biāo)量 β（θ1）＝2 使得

其中 σ0，σ1，…，σd為 θ1的余弦序列[2]。

引理 7： 設(shè) Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的二部距離正則圖， σ0，σ1， …，σd為Γ的余弦序列，則有

其中σ＝σ1，且對d≥4，以下條件等價：

（1） Γ 關(guān)于 σ0，σ1，…，σd為 Q-多項式的；

（2） σi≠1（1≤i≤d），且對 1≤i≤d-1，(6)式等號成立；

（3） σi≠1（1≤i≤d）， 且對 i＝3， (6) 式等號成立[5]。

引理8： 設(shè)Γ＝（X，R）為直徑d≥3的距離正則圖，Ei（0≤i≤d） 為Γ的本原冪等元，Γ關(guān)于E0，E1，…，Ed為Q-多項式的，則對所有的整數(shù)i（0≤i≤d），

E1·Ei∈Span(Ei-1，Ei，Ei+1)

進而

E1·Ed∈Span(Ed-1，Ed)[4]

以上是關(guān)于二部距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)的相關(guān)引理，在深入研究前人已得到的結(jié)論的基礎(chǔ)上，結(jié)合2-齊次二部距離正則圖的的概念，經(jīng)過嚴(yán)密的推導(dǎo)，得出以下三個重要結(jié)論，并給出了相應(yīng)的證明。

2 主要結(jié)論及證明

結(jié)論 1： 設(shè) Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的2-齊次二部距離正則圖，

θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值， 且θ1＝k-2， 其中 σ0，σ1，…，σd為關(guān)于 θ1的余弦序列，則有

證明： 因為 θ1＝k-2， 由 θ1＝kσ1知

并且由引理 6（1）、（3）知 β（θ1）＝2，并且（5）式成立，則可得

即得（7） 式。

結(jié)論 2： 設(shè) Γ＝（X，R） 為直徑 d≥4， 價 k≥3的 2-齊次二部距離正則圖， θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，E1為θ1對應(yīng)的本原冪等元，則存在Γ的互不相同的本原冪等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

并且令θf，θk分別為F，H的特征值，則

θf(θf-θh)=2k

證明： 假設(shè) σ0，σ1， …，σd為 θ1＝k-2 的余弦序列，則故

(σ-σ4)(σ-σ2)=(σ2-σ3)(1-σ3)

即 （6） 式在 i＝3 時成立， 且 σi≠1（1≤i≤d）， 由引理 7（1）、 （3） 知Γ關(guān)于 E1為 Q-多項式的。由引理8可知存在的互不相同的本原冪等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

令 ρ0，ρ1， …，ρd為 θf的余弦序列， 則由引理 5可知

（8） 式中令 i＝1 得

因為Γ為二部距離正則圖，ai＝0，故有ciσi-1+aiσi+biσi+1＝θσi， i＝1 時可得

由 （10） 和可得

由（9） 和（11） 式可得

θf(θf-θh) ＝2k

結(jié)論 3： 設(shè) Γ＝（X，R） 為直徑 d≥3， 價 k≥3的 2-齊次二部距離正則圖，θ0＞θ1＞…＞θd為 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，令E，F(xiàn)，H為Γ的互不相同的非平凡的本原冪等元使得E1·F∈Span(F，H)， 令 θe， θf，θk分別為關(guān)于 E， F， H 的特征值，則

（1） 若 θf＝θ1， 則有 θe＝k-4， θk＝k-6；

（2） 若 θf＝θd-1， 則有 θe＝k-4， θk＝- （k-6）。

證明： 假設(shè) σ0，σ1，…，σd， ρ0，ρ1，…，ρd分別是θe，θf的余弦序列，則由引理5知

（1） 若 θf＝θ1＝k-2， 則

（12） 式中令i-1可得

（13） 式和（14） 式聯(lián)立可得

（12） 式中令 i＝2 可得（θkρ2-θeρ3）（1-σ2）。因為 E為非平凡的本元冪等元，所以σ2≠1，則

（13） 式和（16） 式聯(lián)立可得

（15） 式和（17） 式聯(lián)立可得。

（2） 若 θf=θd-1，則 θd-1=-（k-2），且

（14） 式和（18） 式聯(lián)立可得

（16） 式和（18） 式聯(lián)立可得

（19） 式和 （20） 式聯(lián)立可得 θe=k-4， θh=-（k-6）。

結(jié)合二部距離正則圖的相關(guān)定理及2-齊次二部距離正則圖的特性，得出了以上關(guān)于2-齊次二部距離正則圖的特征值的三個重要結(jié)論：即2-齊次二部距離正則圖的特征值θ1=k-2（k為價） 的余弦序列的等式關(guān)系，并利用此結(jié)論得出與特征值θ1=k-2相關(guān)的兩個特征值θf與θh的等式關(guān)系，同時得出當(dāng)θf=θ1或θd-1時，與θf相關(guān)的兩個特征值 θe與 θh的值。

對特殊的二部距離正則圖的代數(shù)性質(zhì)的研究可以更好地幫助我們理解其幾何特征，而幾何特征又可以幫助我們得到更多有價值的代數(shù)性質(zhì)。同樣的研究方法也可以運用到其他特殊的距離正則圖的研究中，進而促進二部距離正則圖理論的發(fā)展。

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