Pk(n,r)是正則半群。引理2[10]設(shè)S是半群,對(duì)任意的a∈S,則Ha至多含有一個(gè)冪等元,若Ha含有冪等元,則Ha是群。引理3[11]設(shè)D是半群S的正則D-類,a,b∈D,則H-類Hb包含a的逆元當(dāng)且僅當(dāng)H-類Ra∩Lb和Rb∩La包含冪等元。引理4 設(shè)n≥3,α∈Dn-1,則1≤|E(Rα)|≤2,|E(Lα)|=n。引理5設(shè)G是交錯(cuò)群A*k的極大子群,則S1=G∪SPn為半群APk(n,n-1)的極大正則子半群。證明第一步:證明S1是子半群。對(duì)任意

想, 則稱I是半正則理想; 環(huán)R的理想I稱為正則理想是指I中至少存在一個(gè)正則元素.設(shè)I是R的理想, 記I-1={z∈T(R)|Iz?R}.如果環(huán)R的理想I滿足II-1=R, 則I稱為可逆理想.有限生成非零理想都是可逆的整環(huán), 稱為Prüfer整環(huán)[2]. 文獻(xiàn)[3]給出了Prüfer整環(huán)的系統(tǒng)總結(jié). 由于Prüfer整環(huán)在環(huán)論研究中具有重要意義, 因此備受關(guān)注, 目前已將Prüfer整環(huán)推廣到一般交換環(huán)上. Butts等[4]給出了Prüfer環(huán)的概念,

a，則稱a是S的正則元，A中所有正則元之集記為Reg(A)。如果半群S中的每一個(gè)元素都是正則的，那么稱S是正則半群。若存在b∈S使得a=aba,b=bab，則稱b為a的逆元，a的所有逆元之集記為V(a)。易見，冪等元是正則元, 但正則元不一定是冪等元。設(shè)B?S是(正則)半群S的(正則)子半群，若B滿足:對(duì)任意的α∈SB，有〈B∪{α}〉=S,則稱B是半群S的極大(正則)子半群。設(shè)Xn={1,2,…,n}，Tn和Sn分別是Xn上的全變換半群和對(duì)稱群，記Sin

且僅當(dāng)G為二部半正則圖或正則圖時(shí)，式(1) 左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時(shí)，式(1) 右邊等號(hào)成立.(2)當(dāng)且僅當(dāng)di=δ,dj=Δ時(shí)，式(2)左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)di=dj時(shí)，式(2)右邊等號(hào)成立.故當(dāng)且僅當(dāng)G為二部半正則圖或正則圖時(shí)，左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時(shí)右邊等號(hào)成立.證畢.定理 2設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則(3)當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時(shí)，式(3)等號(hào)成立.證明根據(jù)引理1可得故當(dāng)式(3)等號(hào)成立時(shí)，對(duì)于任意一條邊viv

P-內(nèi)射模研究了正則環(huán).此后，一些學(xué)者又研究了其他一些特殊內(nèi)射環(huán)的正則性[2-4].2002年， Hong C Y等研究了右CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)之間的關(guān)系[5].基于文獻(xiàn)[5]的研究，本文將強(qiáng)CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)相結(jié)合來研究強(qiáng)CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)的等價(jià)條件.本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模均指酉模.設(shè)R為環(huán)，M為左R-模，如果R的任意一個(gè)主左理想I到M的左R-模同態(tài)都可以擴(kuò)充到R到M的左R-模同態(tài)，則稱M為左主內(nèi)射模，簡(jiǎn)記為左P-內(nèi)射模[1].如果

理想的條件弱化為正則理想，提出正則凝聚環(huán)的概念.為刻畫正則凝聚環(huán)，引入正則平坦模和正則余平坦模的概念，證明正則凝聚環(huán)刻畫的Chase定理（定理3.2）.Prüfer環(huán)的概念最初出現(xiàn)在文獻(xiàn)［5-6］中.交換環(huán)R稱為Prüfer環(huán)，是指每個(gè)有限生成正則理想是可逆理想；Prüfer環(huán)是一類典型的正則凝聚環(huán).Griffin［6］利用乘法理想的研究方法給出了Prüfer 環(huán)多達(dá)15 條的等價(jià)刻畫.由于Prüfer環(huán)的應(yīng)用意義，文獻(xiàn)［7］對(duì)Prüfer 環(huán)研究進(jìn)行了系

Neumann）正則元[2]，如果存在元素x∈R使得a=xax.如果一個(gè)環(huán)R的每個(gè)元素都是正則的，那么它稱為正則環(huán).類似于von Neumann正則環(huán)的元素定義，Zelmanowitz[4]稱R-模M正則，如果對(duì)任何x∈M存在α∈M*使得（xα）x=x.元素a∈R稱為半正則[5]，如果存在b∈R使得bab=b，并且ab∈J（R）.環(huán)R稱為半正則環(huán)，如果環(huán)R的每個(gè)元素都是半正則的.例子包括所有的正則環(huán)，半完全環(huán)和右連續(xù)環(huán)等.此外，Nicholson還引入了一

0)具有逆斷面的正則半群[1]因具有相對(duì)集中的逆子半群的結(jié)構(gòu)而備受關(guān)注,斷面的概念也在不斷拓展[2-4]. 1989 年，SAITO[5]給出了具有逆斷面的正則半群的結(jié)構(gòu)定理:具有逆斷面的正則半群S由3個(gè)構(gòu)件(I、S°和Λ)組成,其中S°是S的逆子半群. 1997年,TANG[6]指出,對(duì)于一般的具有逆斷面的正則半群來說,I、Λ都是S的子半群,而且I、Λ分別為左正則帶、右正則帶. 此后,I、Λ、S°以及包含I和S°的左逆子半群L、包含Λ和S°的右逆子半群R

n等[2]得到了正則半群的全正則子半群格的分解定理.1994年以來,田振際研究了π-逆半群與它的π-逆子半群格的性質(zhì),在此基礎(chǔ)上研究了π-逆子半群格是可補(bǔ)格,模格,0分配格,0模格,下半分配格和半模格的π-逆半群的結(jié)構(gòu)[3-7].田振際又研究了π-逆半群的全π-逆子半群格的性質(zhì),并得到了全π-逆子半群格是分配格和鏈的π-逆半群的結(jié)構(gòu),相關(guān)結(jié)果見文獻(xiàn)[3].受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文就π-正則半群的全π-正則子半群格進(jìn)行了研究,給出了π-正則半群的全π-正則子半

irtually正則的,如果M的每個(gè)有限生成子模同構(gòu)于M的直和項(xiàng).稱模M是完全virtually正則的,若M的任意子模是virtually正則的.稱M是半完全virtually正則的,若M的每個(gè)有限生成子模是virtually正則的.例11)zZ是virtually正則的,但不是正則的.下面的例子說明virtually正則模的商模和直和項(xiàng)不一定是virtually正則的.例21)zZ是virtually正則的,而Z/4Z不是.證明由文獻(xiàn) [2]中的例2.7

.本文將定義r-正則模糊圖的交、并、補(bǔ)、笛卡爾積、直積、強(qiáng)乘積、字典乘積運(yùn)算，并探討r-正則模糊圖在以上運(yùn)算下是否滿足封閉性等相關(guān)的性質(zhì).1 預(yù)備知識(shí)定義1.1[1]對(duì)于任意給定的集合V，在V×V-{(x，x)|x∈V}上定義等價(jià)關(guān)系～如下：(x1，y1)～(x2，y2)?(x1，y1)=(x2，y2)或者(x1，y1)=(y2，x2).定義1.2[1]稱任意映射A：V→[0，1]為V上的模糊集.suppA={x∈V|A(x)>0}(稱為A的承載集)，ra

江蘇省丹陽市正則小學(xué)六（10）班 倪若溪If anyone asks me what I want to be when I grow up，I will be happy to tell him that I do want to be a teacher.Why ？Because the teacher is the guide of all successful people.It is a great job ！I like children ve

江蘇省丹陽市正則小學(xué)六（10）班 陸景行Mum is cooking the meat in the kitchen.It smells wonderful！Suddenly she cries：“There’s no soy sauce ！”She asks me to buy some.“Across the street，opposite our apartment building，there’s a convenience store.Go to

Neumann)正則的,如果存在b∈R,使得a=aba.如果還滿足ab=ba,則稱 a 為強(qiáng)正則的.稱 a 是弱正則的,如果存在r′,r′′∈ R,使得a=ar′ar′′.稱a是π-正則的(強(qiáng)π-正則的),如果存在b∈R和正整數(shù)n使得an=anban(an=an+1b).稱a是單式正則的,如果存在一個(gè)可逆元u∈R使得a=aua.稱一個(gè)環(huán)R是正則(強(qiáng)正則,弱正則,π-正則,強(qiáng)π-正則,單式正則)環(huán),如果R中所有元素都是正則(強(qiáng)正則,弱正則,π-正則,強(qiáng)π-正

aba，則稱a是正則元；若半群S的每個(gè)元是正則元，則稱半群S是正則半群.設(shè)A是半群S的非空子集，若S中的每個(gè)元都可以表示成A中有限個(gè)元的乘積，則稱A是S的生成集，記作S=〈A〉.若S由冪等元生成，則稱S為一個(gè)半帶.若半帶S是正則半群，則稱S為正則半帶.設(shè)S是正則半帶.T是S的正則子半帶(T?S)，且對(duì)S的任意正則子半帶U，T?U?U=S，則稱T為S的極大正則子半帶.設(shè)T(X)是X上的全變換半群且Y是X的非空子集.令T(X，Y)={α∈T(X)|Xα?Y}，

ba, 則稱a是正則元; 若半群S的每個(gè)元均為正則元, 則稱半群S是正則半群. 設(shè)A是半群S的非空子集, 若S中的每個(gè)元都可以表示成A中有限個(gè)元的乘積, 則稱A是S的生成集, 記作S=〈A〉. 若S由冪等元生成, 則稱S為一個(gè)半帶. 若半帶S是正則半群, 則稱S為正則半帶. 設(shè)S是正則半帶(正則半群),T是S的正則子半帶(正則子半群)(T?S), 且滿足: 對(duì)S的任意正則子半帶(正則子半群)U, 有T?U?U=S, 則稱T為S的極大正則子半帶(極大正則子半

的形式，其中r是正則元，j屬于Jacobson 根.文章給出了JR環(huán)的相關(guān)性質(zhì).證明了R是一個(gè)JR環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J(R)是正則元并且正則元關(guān)于J(R) 可以提升；R是布爾環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)a∈R都可以唯一地表示成一個(gè)正則元和Jacobson 根中元之和的形式.并探究了在相關(guān)環(huán)擴(kuò)張上的遺傳性質(zhì).正則元；環(huán)的擴(kuò)張；JR環(huán)；Jacobson根date：2016-10-07Supported by the Natural Science Foundation of Z

1167)強(qiáng)π-正則斜群環(huán)的一些性質(zhì)高艷艷(南京工程學(xué)院 數(shù)理部, 江蘇 南京 211167)設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán).設(shè)x∈R，若存在y∈R和正整數(shù)n，使得xn=yxn+2(xn=xn+1y)，則稱x是左(右)π-正則元.如果x既是左π-正則元又是右π-正則元，則稱x是強(qiáng)π-正則元.若環(huán)R中的每一個(gè)元素都是強(qiáng)π-正則元，則稱R是強(qiáng)π-正則環(huán).給出了R*θG是強(qiáng)π-正則的充分或必要條件，其中θ是群G到由R的自同構(gòu)所構(gòu)成的群Aut(R)的群同態(tài).強(qiáng)π-正則;

）集值模糊測(cè)度的正則性耿曉妮，吳健榮*（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）在集值模糊測(cè)度空間上，給出了集值模糊測(cè)度正則性的定義，討論了有關(guān)正則性的部分性質(zhì)，并證明了上自連續(xù)的集值模糊測(cè)度必為正則的這一重要結(jié)論。集值模糊測(cè)度；上自連續(xù)；正則性文中涉及的集值模糊測(cè)度概念實(shí)際上是集值測(cè)度與模糊測(cè)度的結(jié)合。集值測(cè)度作為集值分析的重要組成部分，于1964年由Vind[1]在一篇關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的文章中首先引進(jìn)，隨后開始快速發(fā)展并在經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制理論、最優(yōu)化理論等眾

03）Dn中完全正則半群的結(jié)構(gòu)周紹艷（大理大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理671003）正則元；完全正則元；冪等元；置換陣［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 0011　引言及預(yù)備知識(shí)非負(fù)n×n實(shí)矩陣D稱為雙隨機(jī)矩陣，如果D的每行、每列元素之和為1；全體n×n雙隨機(jī)矩陣構(gòu)成的集合關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群，稱為雙隨機(jī)矩陣半群，記為Dn。每行、每列只有一個(gè)非零元1的雙隨機(jī)矩陣稱為置換矩陣；所有n×n置換矩陣

在（S，a）中的正則元一定是S的正則元，但反過來不一定成立。于是，設(shè)a，x是S中的元，說x關(guān)于a保持正則性，如果x滿足在（S，a）中是正則的。更進(jìn)一步，如果S中所有的正則元關(guān)于a保持正則性，則稱a是S的正則性保持元。S中所有正則性保持元構(gòu)成的集合記為RP（S）。如果S是幺半群，則RP（S）是S的單位群。有關(guān)于正則性保持元可參考文獻(xiàn)［1-9］。任意半群S，冪等元構(gòu)成的集合記為E（S）。e∈E（S），稱eSe是半群S的局部子幺半群。設(shè)C表示半群類，若半群S的每

群S中的元a稱為正則元，如果存在x∈S，使得axa=a成立；如果半群S中的所有元均為正則元，則S稱為正則半群。半群S中的元x稱為a∈S的逆元，如果axa=a與xax=x均成立；如果S是正則半群，且S中的每一個(gè)元都有唯一逆元，則S稱為π-逆半群。文獻(xiàn)〔1〕與〔2〕系統(tǒng)研究了Dn中的冪等元，不僅給出了冪等元的結(jié)構(gòu)、形式及冪等元之積仍是冪等元的充要條件，還給出了Dn帶的結(jié)構(gòu)等結(jié)論，從中易得如下引理。引理1 若Dn中兩冪等元A與B之積AB不是冪等元，則AB中的某行

Green關(guān)系和正則元.2 Green關(guān)系在文[4]中給出了Green關(guān)系的定義.在本節(jié)中給出T(ρ,≤)上的Green關(guān)系如下.定理1令α,β∈T(ρ,≤),那么2) (α,β)∈當(dāng)且僅當(dāng)imα=imβ且對(duì)任意的s∈imα,y,z∈Xn有min{yρ:y∈sα-1}=min{zρ:z∈sβ-1};xα=yα?xαγ=yαγ?xβ=yβ;xα=yα?xβδ=yβδ?xβ=yβ.于是kerα=kerβ.又有(xα)ρ=(xβδ)ρ≤(xβ)ρ; (xβ)ρ=

澤?關(guān)于序半群的正則和反強(qiáng)正則同余謝祥云，谷澤（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）引入了序半群中反擬鏈和反強(qiáng)正則同余等概念，討論了它們的一些性質(zhì)，給出了正則同余和反強(qiáng)正則同余的一般刻畫.反擬鏈；反強(qiáng)正則同余；正則同余1 引言與預(yù)備知識(shí)本文用到的其他定義和術(shù)語參見文獻(xiàn)[12-13].2 正則和反強(qiáng)正則同余由性質(zhì)1，有推論1..3 正則和反強(qiáng)正則同余的刻畫為給出正則和反強(qiáng)正則同余的一般刻畫，先給出定義3.證明 1）、2）容易證明，我們僅證

74.廣義N-半正則環(huán)殷曉斌,王 瑞(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)介紹了AP-內(nèi)射環(huán)的推廣-廣義N-半正則環(huán),主要得到了R是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化的廣義N-半正則環(huán).文章研究了廣義N-半正則環(huán)的性質(zhì)且對(duì)AP-內(nèi)射環(huán)的某些結(jié)果進(jìn)行了推廣.AP-內(nèi)射環(huán);廣義N-半正則環(huán);強(qiáng)正則環(huán)10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.001date： 2010-09-10Supported by National N

十年來,各種廣義正則半群受到了人們的重視,特別地,各種π-正則半群的結(jié)構(gòu)和同余理論引起了不少學(xué)者的關(guān)注[7-8]。本文利用半群fuzzy同余的概念,研究了π-正則半群上fuzzy同余的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上,給出了嚴(yán)格π-正則半群上fuzzy同余的性質(zhì)和特征,并給出了嚴(yán)格π-正則半群上群同余的刻畫,得到了嚴(yán)格π-正則半群上fuzzy同余為fuzzy群同余的相關(guān)條件。文中一般定義及記號(hào)均參見[8-12]。為方便討論,下面回憶fuzzy理論的有關(guān)定義和性質(zhì)。設(shè)X是一

74.廣義N-半正則環(huán)殷曉斌，王 瑞 （安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）介紹了AP－內(nèi)射環(huán)的推廣－廣義N－半正則環(huán)，主要得到了R是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化的廣義N－半正則環(huán).文章研究了廣義N－半正則環(huán)的性質(zhì)且對(duì)AP－內(nèi)射環(huán)的某些結(jié)果進(jìn)行了推廣.AP-內(nèi)射環(huán)；廣義N－半正則環(huán)；強(qiáng)正則環(huán)O153.3 MSC2010：16E50Article character：A1674-232X（2011）02-0097-04date：2010-

序變換半群的極大正則子半群)2000MSC:20M20The maximal regular subsemigroups of singular order-preserving transformation semigroupsXU Xin-zhai1,MENG Ling2 (1.School of Mathematical Science,Shandong Normal University,Ji’nan250014,China; 2.Basal Bo

fford斷面的正則純正半群孫京鋒,邵勇(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)給出了具有Clifford斷面的右正規(guī)純正半群的等價(jià)刻畫,得到了具有Clifford斷面的正則純正半群的次直積分解,證明了具有Clifford斷面的正則純正半群一定是正則純正群.同余；正則純正半群；Clifford斷面；次直積1 預(yù)備知識(shí)設(shè)S為半群,a∈S,如果存在x∈S,滿足axa=a,則稱a為正則的.如果對(duì)于任意的a∈S,a都是正則的,則稱S為正則半群[1].定義1[1]