張曉磊, 戴國成, 肖雪蓮, 齊 薇

(1. 山東理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 山東 淄博 255049; 2. 四川師范大學 數(shù)學科學學院, 成都 610066;3. 阿壩師范學院 數(shù)學學院, 四川 汶川 623002)

本文設(shè)R是有單位元的交換環(huán),T(R)是R的完全商環(huán).根據(jù)文獻[1]: 環(huán)R的理想I稱為稠密理想是指理想(0:RI)={r∈R|Ir=0}=0; 如果理想I包含一個有限生成稠密子理想, 則稱I是半正則理想; 環(huán)R的理想I稱為正則理想是指I中至少存在一個正則元素.設(shè)I是R的理想, 記I-1={z∈T(R)|Iz?R}.如果環(huán)R的理想I滿足II-1=R, 則I稱為可逆理想.

有限生成非零理想都是可逆的整環(huán), 稱為Prüfer整環(huán)[2]. 文獻[3]給出了Prüfer整環(huán)的系統(tǒng)總結(jié). 由于Prüfer整環(huán)在環(huán)論研究中具有重要意義, 因此備受關(guān)注, 目前已將Prüfer整環(huán)推廣到一般交換環(huán)上. Butts等[4]給出了Prüfer環(huán)的概念, 即有限生成正則理想都是可逆理想的環(huán); Griffin[5]利用乘法理想理論給出了Prüfer環(huán)的等價刻畫; 肖雪蓮等[6]從模論的角度研究Prüfer環(huán), 給出了Prüfer環(huán)的等價刻畫.

由于Prüfer環(huán)定義較簡單, 很難進行更深入的研究. 因此, 為更多了解Prüfer環(huán), 文獻[7]引入了強Prüfer環(huán)的概念, 即有限生成半正則理想都是局部主理想的環(huán), 并證明了環(huán)R是強Prüfer環(huán)當且僅當其Nagata環(huán)R(x)是Prüfer環(huán); 文獻[8]從有限生成半正則理想格論的角度刻畫了強Prüfer環(huán), 例如環(huán)R是強Prüfer環(huán)當且僅當R的所有有限生成半正則理想構(gòu)成的格Lsr(R)是分配格; 文獻[9]證明了環(huán)R是強Prüfer環(huán)當且僅當R是Prüfer環(huán), 且T(R)是強Prüfer環(huán). 強Prüfer環(huán)也與環(huán)的小finitistic維數(shù)密切相關(guān). 環(huán)R的小finitistic維數(shù)fPD(R)定義為

fPD(R)=sup{pdRM|M是超有限表現(xiàn)模, pdRM<∞},

這里超有限表現(xiàn)模是指存在有限生成的投射分解的模.文獻[10]證明了環(huán)R滿足fPD(R)=0當且僅當R是DQ(identity quotient)環(huán), 即有限生成半正則理想只有R的環(huán); 文獻[11]證明了連通的強Prüfer環(huán)R滿足fPD(R)≤1; 文獻[12]證明了任意強Prüfer環(huán)R的fPD(R)≤1, 并且通過實例說明對任意的n∈, 均存在Prüfer環(huán)R滿足fPD(R)=n.

本文主要從模論和同調(diào)理論的角度研究強Prüfer環(huán). 首先, 研究半正則平坦模、 半正則余平坦模和半正則余撓模, 并證明半正則平坦模類和半正則余撓模類構(gòu)成了完全的余撓理論; 其次, 利用半正則平坦模、 半正則余平坦模和半正則余撓模給出DQ環(huán)的等價刻畫以及強Prüfer環(huán)的等價刻畫, 即證明R是強Prüfer環(huán)當且僅當半正則平坦模的任意子模都是半正則平坦模, 當且僅當環(huán)R的任意有限生成理想都是半正則平坦模, 當且僅當半正則余平坦模的任意商模都是半正則余平坦模， 當且僅當h-可除模都是半正則余平坦模; 最后, 給出半正則凝聚環(huán)的相關(guān)刻畫, 并證明R是強Prüfer環(huán)當且僅當任意R-模均有滿的半正則平坦包, 當且僅當任意R-模均有滿的半正則平坦預(yù)包.

1 余撓理論

顯然, 任意平坦模都是半正則平坦模, 任意半正則平坦模都是正則平坦模.對偶地, 可以給出半正則余平坦模的概念.

引理1設(shè)M是R-模, 則下列敘述等價:

1)M是半正則平坦模;

2) 對任意有限生成半正則理想I, 自然同態(tài)I?M→R→R?M是單同態(tài);

3) 對任意有限生成半正則理想I, 自然同態(tài)σI:I?M→IM是同構(gòu);

4) 對任意內(nèi)射模E, HomR(M,E)是半正則余平坦模;

5) 若E是內(nèi)射余生成子, 則HomR(M,E)是半正則余平坦模.

證明: 1)?2).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則有長正合列

2)?3).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則有如下交換圖:

從而σI是單同態(tài).顯然乘法同態(tài)σI是滿同態(tài), 所以σI是同構(gòu).

3)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想, 由3)有如下長正合列:

1)?4).設(shè)I是有限生成半正則理想,E是內(nèi)射模, 則有

(1)

4)?5)顯然成立.

引理2設(shè)R是環(huán), 則半正則平坦模類Fsr關(guān)于正向極限、 純子模和純商模封閉.

證明: 對于正向極限, 設(shè){Mi}i∈Γ是半正則平坦模構(gòu)成的正向系統(tǒng).則對任意有限生成半正則理想I,

對于純子模和純商模, 設(shè)f: 0→I→R→R/I→0是短正合列, 其中I是有限生成的半正則理想, 0→M→N→L→0是R-模的純正合列, 則可得如下正合列交換圖：

由蛇形引理知, 自然同態(tài)f:M?RI→M?RR和g:L?RI→L?RR都是單同態(tài), 從而M,L都是半正則平坦模.證畢.

顯然, 任意內(nèi)射模都是半正則余撓模, 任意半正則余撓模都是余撓模.由文獻[13]可知, 平坦模類和余撓模類組成一對完全的余撓理論.下面證明半正則平坦模類和半正則余撓模類也組成一對完全的余撓理論.

定理1設(shè)R是環(huán), 則 (Fsr,Csr)是完全的余撓理論.從而半正則平坦模類Fsr是蓋類, 半正則余撓模類Csr是包類.

證明: 顯然R是半正則平坦模, 并且半正則F關(guān)于擴張和直和項封閉.由引理2和文獻[14]中定理3.4可得(Fsr,Csr)是平坦余撓理論.因此, 半正則平坦模類Fsr是蓋類, 半正則余撓模類Csr是包類.證畢.

命題1設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價:

1)M是半正則余撓模;

2) 對于任意平坦模F, HomR(F,M)是半正則余撓模;

3) 對于任意投射模P, HomR(P,M)是半正則余撓模.

證明: 1)?2).設(shè)N是半正則平坦模,F是平坦模.則由短正合列0→K→P→N→0, 可得短正合列

0→K?RF→P?RF→N?RF→0，

其中P為投射R-模.因為對任意有限生成半正則理想I均有

故有N?RF是半正則平坦R-模.由于

正合, 從而有短正合列

HomR(P,HomR(F,M))→HomR(K,HomR(F,M))→0.

此外,

2)?3)顯然.

3)?1).只需設(shè)P=R即可得結(jié)論.證畢.

2 同調(diào)理論

由文獻[10]中命題2.2知, 環(huán)R是DQ環(huán)當且僅當R的有限生成半正則理想只有R.如果任意R-模都是平坦R-模, 則環(huán)R稱為VN(von Neumann)-正則環(huán).下面給出任意R-模都是半正則平坦模的等價刻畫.

定理2設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價:

1)R是DQ環(huán);

2) fPD(R)=0;

3) 任意R-模都是半正則平坦模;

4) 任意R-模都是半正則余平坦模;

5) 任意半正則余撓模都是內(nèi)射模;

6) 對任意有限生成理想J和有限生成半正則理想I, 均有I∩J=IJ;

7) 對任意有限生成半正則理想I,R/I是平坦模;

8) 對任意有限生成半正則理想I和a∈I, 均有c∈I使得(1-c)a=0.

證明: 1)?3), 1)?4)和1)?7)顯然.1)?2)參見文獻[10]中命題2.2.3)?5)由定理1可得.6)?7)?8)參見文獻[15]中定理1.2.15.

4)?1).設(shè)I是任意有限生成半正則理想, 則由4)可知R/I是投射模, 從而I是有限生成冪等理想.由文獻[16]中命題1.10知,I=〈e〉, 其中e是冪等元.從而1-e∈(0:RI)=0, 于是I=R.證畢.

下面給出非平坦的半正則平坦R-模和非半正則的正則平坦模實例.

例1設(shè)R是非域的零維Noetherian局部環(huán).根據(jù)文獻[17],R滿足fPD(R)=0.由于R是非域的局部環(huán), 故R不是VN-正則環(huán).根據(jù)定理2知, 存在非平坦的半正則平坦R-模.

例2由文獻[6]中定理2.13知,R是全商環(huán)當且僅當任意R-模都是正則平坦模.文獻[18]給出了滿足fPD(R)>0的全商環(huán)的實例.從而存在正則平坦模不是半正則平坦模.

推論1設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價:

1)R是半單環(huán);

2) 任意半正則平坦模是投射模;

3) 任意R-模都是半正則余撓模.

證明: 1)?2)和1)?3)顯然.

2)?1).由2)可知平坦模都是投射模.故R是完全環(huán), 即FPD(R)=0, 從而fPD(R)=0, 其中FPD(R)是指環(huán)R的大finitistic維數(shù).由定理2可知任意R-模都是半正則平坦模, 故都是投射模.因此R是半單環(huán).

2)?3).由定理1可得.證畢.

若M是一個內(nèi)射模的商模, 則R-模M稱為h-可除模.

定理3設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價:

1)R是強Prüfer環(huán);

2) 半正則平坦模的任意子模都是半正則平坦模;

3) 平坦模的任意子模都是半正則平坦模;

4) 環(huán)R的任意理想都是半正則平坦模;

5) 環(huán)R的任意有限生成理想都是半正則平坦模;

6) 環(huán)R的任意有限生成半正則理想都是平坦模;

7) 環(huán)R的任意有限生成半正則理想都是投射模;

8) 半正則余平坦模的任意商模都是半正則余平坦模;

9)h-可除模都是半正則余平坦模.

證明: 2)?3)?4)?5), 7)?6)和8)?9)顯然.

5)?6).設(shè)I是任意有限生成半正則理想,J是任意有限生成理想, 則有如下短正合列:

0→I→R→R/I→0, 0→J→R→R/J→0.

從而可得

進而J是半正則平坦模當且僅當I是平坦模.

6)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想,m是R的極大理想, 則Im是有限生成平坦Rm-理想.由文獻[15]中引理4.2.1及文獻[19]中定理2.5可知,Im是自由Rm-理想.故rank(Im)≤1, 從而Im是Rm的主理想.

1)?6).設(shè)I是有限生成半正則理想,m是R的極大理想, 則Im是局部主的Rm-理想.設(shè)Im=〈x/s〉, 則由文獻[1]可得

6)?2).設(shè)M是半正則平坦模,N是M的子模.設(shè)I是任意有限生成半正則理想, 則I是平坦理想, 從而fdR(R/I)≤1.考慮長正合列

6)?7).由文獻[20]中推論3.1可得.

9)?7).設(shè)I是有限生成半正則理想,M是R-模.考慮短正合列0→M→E→N→0, 其中E是內(nèi)射模, 則N是h-可除模.從而

因此I是投射理想.

7)?8).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則I是投射理想, 從而pdR(R/I)≤1.設(shè)0→L→M→N→0是短正合列, 其中M是半正則余平坦模, 則有

3 半正則凝聚環(huán)

任意有限生成理想都是有限表現(xiàn)理想的環(huán)稱為凝聚環(huán). 例如Noether環(huán)和Prüfer整環(huán)等. 但強Prüfer環(huán)不一定是凝聚環(huán). 為此, 本文引入半正則凝聚環(huán)的概念, 并通過(預(yù))包類給出強Prüfer環(huán)新的刻畫.

定義4任意有限生成半正則理想I都是有限表現(xiàn)理想的環(huán)稱為半正則凝聚環(huán).

設(shè)R是非半遺傳弱總體維數(shù)為1的環(huán), 則R是強Prüfer環(huán), 但不是凝聚環(huán)[15]. 下列命題表明任意強Prüfer環(huán)必為半正則凝聚環(huán).

命題2設(shè)R是強Prüfer環(huán), 則R是半正則凝聚環(huán).

證明: 設(shè)I是R的有限生成半正則理想, 則由定理3可知I是投射理想, 從而是有限表現(xiàn)理想.證畢.

許多非整環(huán)的實例都是通過理想化R(+)M構(gòu)造的, 其中M是R-模[21].令R(+)M作為R-模同構(gòu)于R⊕M, 定義

(r,m)+(s,n)=(r+s,m+n),

(2)

(r,m)(s,n)=(rs,sm+rn).

(3)

在上述定義下,R(+)M成為有單位元(1,0)的交換環(huán).下面利用理想化構(gòu)造方法給出半正則凝聚環(huán)的實例.

命題3設(shè)D是凝聚整環(huán),K是D的商域.令R=D(+)K, 則R是半正則凝聚環(huán).此外,R是凝聚環(huán)當且僅當D是域.

證明: 根據(jù)文獻[22]中注1知,R是強φ-環(huán), 所以Nil(R)=0(+)K, 且任意R-理想均可與Nil(R)比較.從而由文獻[23]中推論3.4可知,R的理想均形如I(+)K或0(+)L, 其中I是D的非零理想,L是K的D-子模.若I是D的非零理想, 則顯然I(+)K是R的半正則理想.若I(+)K是有限生成理想, 不妨設(shè)I(+)K由{(d1,x1),(d2,x2),…,(dn,xn)}生成, 則易證I由{d1,d2,…,dn}生成.因為R是凝聚環(huán), 所以存在D-模短正合列Dm→Dn→I→0.由于R是平坦D-模, 故張量R得到D-模正合列Rm→Rn→I(+)K→0.易驗證該正合列也是R-模正合列.從而I(+)K是有限表現(xiàn)R-理想.顯然, 有限生成R-理想0(+)L中的元素都是冪零元素, 從而不是半正則理想.所以R是半正則凝聚環(huán).

顯然若D是域, 則R是凝聚環(huán).下面說明若D不是域, 則R不是凝聚環(huán).注意到(0,1)R是有限生成R-理想.考慮自然短正合列0→L→R→(0,1)R→0, 則L=Nil(R)=0(+)K.由于D不是域, 所以K不是有限生成D-模, 從而不是有限生成D-模.由文獻[24]中引理2.2可知, 理想Nil(R)不是有限生成R-理想, 從而(0,1)R不是有限表現(xiàn)的.證畢.

定理4對于環(huán)R, 下列敘述等價:

1)R是半正則凝聚環(huán);

2) 半正則平坦模的直積是半正則平坦模;

3) 平坦模的直積是半正則平坦模;

4)R的直積是半正則平坦模;

5) 半正則余平坦模的直向極限還是半正則余平坦模;

6) 半正則余平坦模關(guān)于純商模封閉;

7) 半正則余平坦模是預(yù)蓋類;

8) 半正則余平坦模是蓋類;

9) 對于任意半正則余平坦模N, 內(nèi)射模E均有HomR(N,E)是半正則平坦模;

10) 若E是內(nèi)射余生成子, 則對任意半正則余平坦模N均有HomR(N,E)是半正則平坦模;

11) 對任意半正則平坦模M, 內(nèi)射模E1和E2均有HomR(HomR(M,E1),E2)是半正則平坦模;

12) 若E1和E2是內(nèi)射余生成子, 則對任意半正則平坦模M均有HomR(HomR(M,E1),E2)是半正則平坦模.

證明: 2)?3)?4)顯然成立.

1)?2).設(shè)I是有限生成半正則理想, {Fi}i∈I是一族半正則平坦模構(gòu)成的集合.考慮如下交換圖:

4)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想, 考慮如下交換圖：

5)?6)?7)?8).根據(jù)文獻[26]中引理3.4可得.

1)?9).設(shè)I是有限生成半正則理想,E是內(nèi)射模,N是半正則余平坦模.考慮短正合列0→I→R→R/I→0, 則有如下正合列交換圖(用(-,-)代替HomR(-,-)):

9)?10)和11)?12)顯然成立.9)?11)和10)?12)根據(jù)定理1可得.

10)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想,N是半正則余平坦模,E是內(nèi)射余生成子, 則有如下交換圖:

由10)可知f是單態(tài)射, 故ψI是單態(tài)射, 從而由文獻[27]中命題8.14(1)可知,I是{R}-Mittag-Leffler模.又因為I是有限生成理想, 故根據(jù)文獻[25]中定理2可知I是有限表現(xiàn)理想.證畢.

引理3設(shè)R是環(huán), 則R是半正則凝聚環(huán)當且僅當半正則平坦模類Fsr是預(yù)包類.

推論2設(shè)環(huán)R是半正則凝聚環(huán), 且半正則平坦模類Fsr關(guān)于反向極限封閉, 則Fsr是包類.

證明: 由引理3可知得半正則平坦模類F是預(yù)包類, 從而由文獻[28]中推論6.3.5可知Fsr是包類.證畢.

引理4[29]設(shè)F是關(guān)于子模封閉的R-模類,f:M→F是F-包, 則f是滿射.

引理4給出了關(guān)于子模封閉模類包的性質(zhì).作為應(yīng)用, 可得下列結(jié)論.

定理5設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價:

1)R是強Prüfer環(huán);

2) 任意R-模均有滿的半正則平坦包;

3) 任意R-模均有滿的半正則平坦預(yù)包.

證明: 2)?3)顯然.