周紹艷，張朝元

（大理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理 671003）

非負(fù)n×n實(shí)矩陣D稱為雙隨機(jī)矩陣，如果D的每行、每列的元素之和為1；每行、每列只有一個(gè)非零元1的雙隨機(jī)矩陣稱為置換矩陣。全體n×n雙隨機(jī)矩陣構(gòu)成的集合關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群，稱為雙隨機(jī)矩陣半群，記為Dn〔1〕；所有 n×n 置換矩陣構(gòu)成的集合關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為置換群，記為Pn。在本文中P′是指P的轉(zhuǎn)置矩陣，E(Dn)是指Dn中所有冪等元構(gòu)成的集合，它不構(gòu)成半群。如果非空集合G?E(Dn)構(gòu)成半群，則稱G為帶。

半群S中的元a稱為正則元，如果存在x∈S，使得axa=a成立；如果半群S中的所有元均為正則元，則S稱為正則半群。半群S中的元x稱為a∈S的逆元，如果axa=a與xax=x均成立；如果S是正則半群，且S中的每一個(gè)元都有唯一逆元，則S稱為π-逆半群。

文獻(xiàn)〔1〕與〔2〕系統(tǒng)研究了Dn中的冪等元，不僅給出了冪等元的結(jié)構(gòu)、形式及冪等元之積仍是冪等元的充要條件，還給出了Dn帶的結(jié)構(gòu)等結(jié)論，從中易得如下引理。

引理1 若Dn中兩冪等元A與B之積AB不是冪等元，則AB中的某行、某列至少存在不相等的兩個(gè)非零元。

引理2 A∈Dn是正則元當(dāng)且僅當(dāng)存在E∈E(Dn)及 P、Q∈Pn，使得 A=PEQ〔3〕。

引理3 如果 A∈Dn是正則元，那么 A′是它唯一的逆元〔4-5〕。

1 主要結(jié)果

定理1 A∈Dn是正則元當(dāng)且僅當(dāng)存在P∈Pn及E、F∈E(Dn)，使得 A=EP=PF。

證明：（必要性）A∈Dn是正則元，由引理2知存在 PA、QA∈Pn及 EA∈E(Dn)，使得A=PAEAQA。

記PAEAPA′為E；PAQA為P。

由文〔2〕及 Pn是群知：E∈E(Dn)，P∈Pn。

故A=PAEAQA=(PAEAPA′)PAQA=EP。

同 理 ：A=PAEAQA=PAQA(QA′EAQA)=PF ，顯 然F=QA′EAQA∈ E(Dn)。

即：若A∈Dn是正則元，則A=EP=PF。

（充 分 性）顯 然 EP·P′E·EP=E3P=EP ，且P′E ∈Dn。

即EP與PF均為Dn的正則元。

由該定理及置換矩陣的性質(zhì)顯然可得出以下兩結(jié)論。

定理2 A∈Dn是正則元當(dāng)且僅當(dāng)A的每行、每列的非零元均相等。

定理3 Dn的所有正則元的集合為：{EP,QF|E、F∈E(Dn)，P、Q∈Pn}。

定理4 若非空集合G?E(Dn)是帶，則G是正則半群，從而G為π-逆半群。

證明：因?yàn)閮绲仍@然是正則元。

故若G是帶，則G是正則半群，從而為π-逆半群。

定理5 設(shè)R={EP=PF|E、F∈G?E(Dn)，P∈H}，H={Q|Q∈Pn且對(duì)?E∈G，QEQ′∈G}，則 R 是正則半群當(dāng)且僅當(dāng)G是帶，H是半群。

證明：（必要性）由R是半群知R中的元是封閉的，即：對(duì)?A、B∈R，AB∈R。

設(shè) A=PAFA，B=EBPB，其中EB、FA∈ G，PA、PB∈ Pn。則AB=PAFAEBPB=PA(FAEB)PB。

若FAEB?G，即G不是帶。

則由引理1、定理2及置換矩陣的性質(zhì)知AB不是正則元，這與R是正則半群矛盾。

因此G是帶。

下證H是半群。

對(duì)?P、Q∈H及?E∈G，有PEP′∈G，QEQ′∈G。

所以 PQE(PQ)′=PQEQ′P′=P(QEQ′)P′∈G 。

即PQ∈H。所以H是半群。

（充分性）?A、B∈R，則 A=PAFA，B=EBPB，其中 EB、FA∈G ，PA、PB∈H 。

由G是帶知FAEB∈G，記為EAB。

即 AB=PAEABPB=(PAEABPA′)PAPB=EP ，其 中PAEABPA

′=E ，PAPB=P 。由條件知E∈G，P∈H。

即?A、B∈R有AB∈R，乘法封閉。

由定理3知R是正則半群。

定理6 設(shè)R={EP=PF|E、F∈G?E(Dn)，P∈H}，H={Q|Q∈Pn且對(duì)?E∈G，QEQ′∈G}，則 R 是 π- 逆半群當(dāng)且僅當(dāng)G是帶，H是子群。

證明：（必要性）因?yàn)棣?逆半群是正則半群，由定理5得G是帶，H是半群。

由R是π-逆半群知對(duì)?A∈R，A′∈R。設(shè)A=EP，其中E∈G，P∈H。則A′=(EP)′=P′E ∈R。

即P′∈H是P∈H唯一的逆元。

再由H是半群得PP′=I∈H是Pn的單位元，故H是Pn的子群。

（充分性）由定理5知R正則半群。由引理3知要證R是π-逆半群，只需證對(duì)?A∈R有A′∈R。

因?yàn)閷?duì)?A∈R，A=EP，其中E∈G，P∈H。由 H 是子群知 P′∈H ，故 P′E∈R ，而 P′E=(EP)′=A′，即 A′∈ R 。

〔1〕Zhou Shaoyan，Zhang Ronghua.The Semilattice of Semi?group of Doubly Stochastic Matrices Dn〔J〕.Journal of Ap?plied Algebral and Discrete Structures，2003，1（2）：119-133.

〔2〕Zhou Shaoyan，Zhang Ronghua.A Relation of Idempotent Matrices in Dn〔J〕.Journal of Mathematical Study，2003，36（4）：384-387.

〔3〕周紹艷，張榮華.Dn中Clifford半群的結(jié)構(gòu)〔J〕.西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，30（6）：7-9.

〔4〕Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Science〔M〕.New York：Academic Press，1979.

〔5〕鄧建平，肖體俊，梁進(jìn).關(guān)于C正則半群的一個(gè)生成問題〔J〕.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1997，17（3）：1-5.