李春華,劉二根

( 1. 華東交通大學基礎(chǔ)科學學院，江西 南昌 330013；2. 華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東 廣州 510631)

半群上的同余一直是半群學者的研究熱點之一。自Samhan在文[1]中定義了半群上的fuzzy同余關(guān)系，對半群上的fuzzy同余進行了研究之后，國內(nèi)許多學者對各類半群上的fuzzy同余進行了的研究[2-6]。 近幾十年來,各種廣義正則半群受到了人們的重視,特別地,各種π-正則半群的結(jié)構(gòu)和同余理論引起了不少學者的關(guān)注[7-8]。本文利用半群fuzzy同余的概念,研究了π-正則半群上fuzzy同余的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上,給出了嚴格π-正則半群上fuzzy同余的性質(zhì)和特征,并給出了嚴格π-正則半群上群同余的刻畫,得到了嚴格π-正則半群上fuzzy同余為fuzzy群同余的相關(guān)條件。文中一般定義及記號均參見[8-12]。

為方便討論,下面回憶fuzzy理論的有關(guān)定義和性質(zhì)。

設(shè)X是一個非空集合,稱映射f:X→[0,1]為X的一個fuzzy子集。?x∈X,稱f(x)為x對f的隸屬度。令S為半群,稱映射μ:S×S→[0,1]為S上的fuzzy關(guān)系。

定義1[12]令μ,ν為半群S上的兩個fuzzy關(guān)系,?x,y∈S,作如下定義:

1)μ?ν??x,y∈S,μ(x,y)≤ν(x,y);

2)μ°ν(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)}。

定義2[12]令μ為半群S上的fuzzy關(guān)系,則稱μ為半群S上的fuzzy等價關(guān)系,如果?a,b∈S下列各款成立:1)μ(a,a)=1； 2)μ(a,b)=μ(b,a); 3)μ°μ?μ。

定義3[12]令μ為半群S上的fuzzy關(guān)系,則稱μ在S上關(guān)于乘法是相容的,如果?a,b,x∈S下列各款成立: 1)μ(ax,bx)≥μ(a,b); 2)μ(xa,xb)≥μ(a,b)。

半群S上的fuzzy等價關(guān)系μ稱為S的fuzzy同余,如果μ在S上關(guān)于乘法是相容的。為方便記,用μa表示半群S上所有與a具有fuzzy等價關(guān)系μ的fuzzy子集；用Cρ表示半群S上的二元關(guān)系ρ的特征函數(shù)。不難驗證,ρ為S上的同余等價于Cρ為S上的fuzzy同余。令μ為半群S上的fuzzy同余,按如下定義乘法“*”:μa*μb=μab(?a,b∈S),則容易驗證S/μ={μa|a∈S}關(guān)于乘法“*”為半群且?e∈E(S),μe=(μe)2。

引理1[12]令μ為半群S上的fuzzy同余,a,b∈S,則下列各款成立：

1)μa=μb?μ(a,b)=1;

2)μ-1={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余。

半群S上的fuzzy同余μ稱為冪等可分的,如果(?e,f∈E(S))μe=μf?e=f。半群S上的fuzzy同余μ稱為fuzzy消去同余(群同余),如果S/μ關(guān)于半群乘法“*”為消去半群(群)。顯然,fuzzy群同余為fuzzy消去的。

定義4 令μ為半群S上的fuzzy同余,稱μ為冪等純的,如果

(?a∈S,e∈E(S))μa=μe?a∈E(S)

據(jù)文[12],在半群S上按如下定義關(guān)系ΔS:

(?x,y∈S)ΔS(x,x)=1,ΔS(x,y)=0(x≠y)

則易知ΔS為半群S上的fuzzy同余,且為冪等可分的冪等純fuzzy同余。

1 性質(zhì)與特征

引理2 令S為π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,則S/μ關(guān)于半群乘法“*”為π-正則半群。

證明可由π-正則半群定義容易推得。

命題1 令S為π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,則以下各款等價：

1) (?a∈S)μa∈E(S/μ);

2) (?e∈E(S))μa=μe。

證明2)?1)。顯然成立。

1)?2)。令μa∈E(S/μ),則(?m∈N+)μa=μa2=μa3=···=μam。又S為π-正則半群, 故對于a2∈S,有n∈N+使得(a2)n=(a2)nx(a2)n,x=x(a2)nx。于是,μa=μa2=μa2n=μa2nxa2n=μa2n*μx*μa2n=μan*μx*μan=μanxan,而(anxan)2=anxananxan=anxa2nxan=anxan∈E(S)。至此,完成命題證明。

命題2 令S為嚴格π-正則半群,則下列各款成立:

1) Reg(S)/μ=Reg(S/μ);

2) 若μ為fuzzy消去的,則(?e,f∈E(S))μe=μf。

證明1)僅證Reg(S)/μ?Reg(S/μ)(反包含的證明過程可直接推得)。為此,令μa∈Reg(S/μ),則存在x∈S,使得μa=μa*μx*μa=μa*μxa。注意到μxa∈E(S/μ)， 故由命題1,μxa=μe,其中e∈E(S)。于是μa=μa*μe=μae。又S為嚴格π-正則半群,故ae∈Reg(S),即μa=μae∈Reg(S)/μ。

2) 令e,f∈E(S),則由S為嚴格π-正則半群,得ef∈Reg(S)。注意到Reg(S)為S的完全正則子半群。故?x∈V(ef)使ef=(ef)x(ef)。于是μeff=μef=μefxef。即μef*μf=μef*μxef。由μ為fuzzy消去的,得μf=μxef。同理,μe=μefx。而μxef=μefx，故μe=μf。

定理1 令S為嚴格π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,則S/μ關(guān)于半群乘法“*”為嚴格π-正則半群。按如下定義映射:μ#:S→S/μ,μ#(a)=μa,則μ#為S到S/μ的同態(tài)。反之,若μ#為S到半群T的同態(tài),則Sμ#為嚴格π-正則半群,且?g∈E(Sμ#),?e∈S,使μe=g。

證明由引理2,S/μ為π-正則半群。下證Reg(S)/μ為S/μ的理想。令μa∈S/μ,μb∈Reg(S)/μ,則b∈Reg(S)。又由S為嚴格π-正則半群,得ab∈Reg(S)。于是μa*μb=μab∈Reg(S)/μ。即Reg(S)/μ為S/μ的理想。另一方面,由S為嚴格π-正則半群,易證Reg(S)/μ為S/μ的完全正則子半群。 因此,由命題2,Reg(S/μ)為S/μ的理想,且為S/μ的完全正則子半群。即S/μ關(guān)于半群乘法“*”為嚴格π-正則半群。按上述定義μ#為S到半群T的同態(tài)是顯然的。而定理的余下證明可由命題1推得。

2 群同余與fuzzy群同余

定理2 令S為嚴格π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,H為S滿的、自共軛的子半群，記μH={(a,b)∈S×S|?x,y∈H,μ(xa,by)=1},則μH為S上的群同余。

證明先證μH為等價關(guān)系。為此,可令a∈S,則存在n∈N+使得an為正則元,且an-1(an)′a,an(an)′∈E(S)。又H為S滿的,故an-1(an)′a,an(an)′∈H。注意到,μ[an(an)′]a=μa[an-1(an)′a]。于是由引理1的1),μ(an(an)′a,aan-1(an)′a)=1。故(a,a)∈μH。 即μH為自反的。令(a,b)∈μH,則?n,m∈N+使an,bm為正則元,且有x,y∈H使得μ(xa,by)=1。由引理1的1),μxa=μby。于是

μa(an-1)(an)′*μxa*μbm-1(bm)′b=μan(an)′*μby*μbm-1(bm)′b

即

μa[(an-1)(an)′xa bm-1(bm)′b]=μ[an(an)′ bybm-1(bm)′]b

進而,由引理1的1),

μ(a(an-1(an)′xabm-1(bm)′b),

(an(an)′bybm-1(bm)′)b)=1

注意到H為自共軛的,故an-1(an)′xa,bybm-1(bm)′∈H。又bm-1(bm)′b,an(an)′∈H,且H為S的子半群。因此,an-1(an)′xabm-1(bm)′b,an(an)′bybm-1(bm)′∈H。于是,由μH定義,得(b,a)∈μH,即μH為對稱的。為了證傳遞性,又令(a,b)∈μH,(b,c)∈μH,則?x,y,s,t∈H使得μ(xa,by)=1,μ(sb,ct)=1。即μxa=μby,μsb=μct。于是

μsxa=μs*μxa=μs*μby=μsby=μsb*μy=μct*μy=μcty

即μ((sx)a,c(ty))=1。故(a,c)∈μH,即μH為傳遞的。因此,μH為等價關(guān)系。

下證μH為同余關(guān)系。令a,b,c∈S,且有(a,b)∈μH,則?n,m∈N+使an,cm為正則元,且有x,y∈H使得μ(xa,by)=1。 即μxa=μby。 上式兩邊分別右乘μan-1(an)′cm-1(cm)′ca及左乘μc,得

μ[cxan(an)′cm-1(cm)′]ca=μcb[yan-1(an)′cm-1(cm)′ca]

即

μ((cxan(an)′cm-1(cm)′)ca,cb(yan-1(an)′cm-1(cm)′ca))=1

注意到H為S的子半群。故xan(an)′∈H。 又H為自共軛的。故cxan(an)′cm-1(cm)′∈H。而cm-1(cm)′c∈E(S)?H。于是由H為自共軛的,有an-1(an)′cm-1(cm)′ca∈H。又由H為S的子半群,得yan-1(an)′cm-1(cm)′ca∈H。故(ca,cb)∈μH,即μH為左相容。類似地,可證μH為右相容。因此,μH為S上的同余。

最后,證μH為S上的群同余。任取a∈S,e∈E(S),則?n∈N+使an為正則元,且有

μae[an-1(an)′a]=μ[aean-1(an)′]a,μ[ean(an)′]a=μea[an-1(an)′a]

即

μ(ae(an-1(an)′a),(aean-1(an)′)a)=1,μ((ean(an)′)a,ea(an-1(an)′a))=1

而an-1(an)′a,aean-1(an)′,ean(an)′∈H。故 (ae,a)∈μH,(a,ea)∈μH。即aμHeμH=aμH=eμHaμH。因此,對任意e∈E(S),eμH為S/μH的恒等元。即 ?e,f∈E(S),有eμH=fμH。于是?a∈S,e∈E(S),有aμH(an-1(an)′)μH=(an-1(an)′)μHaμH=eμH。即an-1(an)′μH為aμH的逆元。因此,μH為S上的群同余。

推論1 令S為嚴格π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,記

μReg(S)={(a,b)∈S×S|?x,y∈Reg(S),μ(xa,by)=1}

定理3 令S為嚴格π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,H為S滿的、自共軛的子半群，則下列各款成立：

1)CμH為S上的fuzzy群同余；

2) 若CμH?μ,則μ為S上的fuzzy群同余；

證明1) 、2)可由定理2及特征函數(shù)定義容易推得。

定理5 令S為嚴格π-正則半群,μ為S上的fuzzy同余,則下列各款成立:

aρ=(s′s)ρxρaρ=(s′sxa)ρ=(s′sby)ρ=(s′s)ρbρyρ=bρ

即(a,b)∈ρ。因此,結(jié)論成立。

2) 顯然,ΔS為S上的冪等可分的冪等純fuzzy同余。因此,由1)直接推得成立。

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