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        集值模糊測度的正則性

        2016-10-26 01:24:27耿曉妮吳健榮
        關(guān)鍵詞:集值正則測度

        耿曉妮,吳健榮

        (蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇蘇州215009)

        集值模糊測度的正則性

        耿曉妮,吳健榮*

        (蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇蘇州215009)

        在集值模糊測度空間上,給出了集值模糊測度正則性的定義,討論了有關(guān)正則性的部分性質(zhì),并證明了上自連續(xù)的集值模糊測度必為正則的這一重要結(jié)論。

        集值模糊測度;上自連續(xù);正則性

        文中涉及的集值模糊測度概念實際上是集值測度與模糊測度的結(jié)合。集值測度作為集值分析的重要組成部分,于1964年由Vind[1]在一篇關(guān)于經(jīng)濟學(xué)的文章中首先引進,隨后開始快速發(fā)展并在經(jīng)濟學(xué)、控制理論、最優(yōu)化理論等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。而模糊測度則是于1974年由Sugeno[2]提出的一類非可加測度。借助集函數(shù)的上(下)自連續(xù)、自連續(xù)等重要概念,1984年王震源[3]將經(jīng)典測度論中的一些重要結(jié)論推廣到了模糊測度論中,極大地推動了模糊測度的研究。

        伴隨著集值測度與模糊測度的蓬勃發(fā)展,集值模糊測度的概念被提出并受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-9]。如,2009年,Alina Gavrilut[4]利用集合的閔可夫斯基加法,在Banach空間X的非空閉子集類上,利用Hausdorff度量定義了一種集值模糊測度,并初步討論了它的正則性與非原子性。2011年,吳健榮,柳海燕[5]延續(xù)了Alina Gavrilut在Hausdorff意義下建立的集值模糊測度空間的研究,并討論了集值模糊測度的自連續(xù)性。

        在文中筆者將延續(xù)Alina Gavrilut關(guān)于集值模糊測度空間正則性的研究,在集值模糊測度空間中,證明上自連續(xù)的集值模糊測度π具有正則性。

        在文中,X總表示一個實Banach空間,Pbf(X)表示X上所有非空有界閉子集構(gòu)成的集類。

        設(shè)x∈X,A,B∈Pbf(X),稱為x到A的距離。記

        稱為A,B間的Hausdorff距離。

        設(shè){An}?Pbf(X),A∈Pbf(X),若?ε>0,?N,當n>N時,均有δ(An,A)<ε,則稱集合列{An}依Hausdorff距離收斂到集合A,記為。

        1 預(yù)備知識

        定義1[4]設(shè)(Ω,∑)為任意可測空間,集值映射π:∑→Pbf(X)滿足以下四個條件:

        (2)單調(diào)性:若?A,B∈∑,且A?B,則有π(A)?π(B);

        2 正則性

        定義3(1)對A∈∑,稱A關(guān)于π是內(nèi)正則的,若?ε>0,都有X中的閉集F∈,使得F?A且δ(π(A-F),{})<ε。

        (2)對A∈∑,稱A關(guān)于π是外正則的,若?ε>0,都有X中的開集G∈,使得A?G且δ(π(G-A),{})<ε。

        (3)對A∈∑,稱A關(guān)于π是正則的,如果A關(guān)于π既是內(nèi)正則的又是外正則的。

        若對任意A∈∑,都有A關(guān)于π是正則的,則稱集值模糊測度π是正則的。

        注由定義可知:所有開集都是外正則的;所有閉集都是內(nèi)正則的。

        定理4設(shè)(Ω,∑,π)是上自連續(xù)的集值模糊測度空間,則集值模糊測度π是正則的充分必要條件為:對任意的A∈∑,?ε>0,都有X中的閉集F∈和開集G∈,使得F?A?G且δ(π(G-F),{})<ε。

        證明必要性:如果π是正則的,則π既是內(nèi)正則的又是外正則的。由定理3,?ε>0,?δ>0,當?A,B∈∑,δ(π(A),{})<δ且δ(π(B),{})<δ時,有δ(π(A∪B),{})<ε。對上述δ>0,有X中的閉集F∈和開集G∈,使得F?A,A?G且δ(π(A-F),{})<δ,δ(π(G-A),{})<δ。于是

        充分性可由定義1(2)集值模糊測度的單調(diào)性直接得出。

        為了證明集值模糊測度π的正則性,先討論有關(guān)正則性的部分性質(zhì)。

        命題1設(shè)(Ω,∑,π)是上自連續(xù)的集值模糊測度空間,則:

        (1)可數(shù)個外正則集的并集仍為外正則集;

        (2)可數(shù)個外正則集的交集仍為外正則集。

        證明(1)設(shè){An}(n≥1)是一列外正則集。

        ?ε>0,由于A1是外正則的,存在G1∈,使得A1?G1且δ(π(G1-A1),{0})<ε/22。對于A2,存在G2k∈,使得A2?G2k且δ(π(G2k-A2),{})<1/k,k=1,2,…。于是當k→∞時,有π(G2k-A2)→{}。由于π是上自連續(xù)的,所以存在k0,使得當k≥k0時,

        ?ε>0,由定理3,?δ>0,當?A,B∈∑,δ(π(A),{})<δ且δ(π(B),{})<δ時,有δ(π(A∪B),{})<ε。對上述δ>0,存在充分大的m使得。同時由于是外正則的,所以存在G∈,使得且,{})<δ。于是

        引理1對A∈∑,則有:

        (1)A關(guān)于π是外正則的充要條件為A的補集Ac是內(nèi)正則的;

        (2)A關(guān)于π是正則的充要條件為A的補集Ac是正則的。

        證明(2)由(1)直接得到,因此,只要證明(1)。為此設(shè)A是外正則的,則?ε>0,?G∈A,使得A?G且δ(π(G-A),{})<ε。則Gc∈,Gc?Ac,且δ(π(Ac-Gc),{})=δ(π(G-A),{})<ε。由定義可知Ac是內(nèi)正則的。同理,若Ac是內(nèi)正則的,?ε>0,?F∈,使得F?Ac且δ(π(Ac-F),{})<ε。則Fc∈,A?Fc,且δ(π(Fc-A),{})<ε由定義可知A是外正則的。

        由命題1及引理1即得以下命題:

        命題2設(shè)(Ω,∑,π)是上自連續(xù)的集值模糊測度空間,則:

        (1)可數(shù)個內(nèi)正則集的交集仍為內(nèi)正則集,

        (2)可數(shù)個內(nèi)正則集的并集仍為內(nèi)正則集。

        定理5(正則性定理)設(shè)(Ω,∑,π)是上自連續(xù)的集值模糊測度空間,那么π具有正則性。

        證明因為∑為X的開集生成的σ-代數(shù),為證明該定理,只要證明:(1)X中任意一列開集的并集是正則的;(2)X中任意一列開集的交集是正則的;(3)X的兩個開集之差是正則的。

        為證(1)和(2),首先注意到開集都是外正則的。而對于Banach空間X,其任意開集可以表達為X中可數(shù)個閉集的并,而閉集都是內(nèi)正則的,再由命題2知X中的開集也是內(nèi)正則的,所以X中任意一個開集都是正則的,再由命題1及命題2知(1)和(2)成立。

        為證(3),任取開集A和B,則A和B都是正則的。由引理1(2)知Bc正則。從而A-B=A∩Bc也正則,即(3)成立。

        3 結(jié)語

        文中在文獻[4]所定義的集值模糊測度空間上定義了集值模糊測度的正則性。應(yīng)用一些引理得到了有關(guān)正則性的一些性質(zhì),如可數(shù)個外正則集的交集、并集仍是外正則集,可數(shù)個內(nèi)正則集的交集、并集仍是內(nèi)正則集。從而利用這些性質(zhì)證明了上自連續(xù)的集值模糊測度必是正則的。

        [1]VIND K.Edgeworth-Allocations in an exchange economy with many traders[J].International Economic Review,1964,5:165-177.

        [2]SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo:Tokyo Institute of Technology,1974.

        [3]WANG Z.The autocontinuity of set function and the fuzzy integral[J].J Math Anal Appl,1984,99:195-218.

        [4]GAVRILUT A.Non-atomicity and the Darboux property for fuzzy and non-fuzzy Borel/Baire multivalued set functions[J].Fuzzy Sets and Systems,2009,160:1308-1317.

        [5]WU J,LIU H.Autocontinuity of set-valued fuzzy measures and its applications[J].Fuzzy Set and Systems,2011,175(1):57-64.

        [6]GAVRILUT A.Regularity and autocontinuity of set multifunctions[J].Fuzzy Sets and Systems,2010,161:681-693.

        [7]肖依,王貴君.集值模糊測度空間上可測函數(shù)列的收斂性[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,27(3):346-350.

        [8]張以欣,王貴君,周立群.集值模糊測度空間上的Egoroff定理[J].山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2010,45(5):69-73.

        [9]張以欣.序集值模糊測度及其所刻畫的可測函數(shù)[D].天津:天津師范大學(xué),2011.

        The regularity of set-valued fuzzy measures

        GENG Xiaoni,WU Jianrong
        (School of Mathematics and Physics,SUST,Suzhou 215009,China)

        This paper defined the regularity of set-valued fuzzy measure in the set-valued fuzzy measure space, discussed some properties of the regularity and proved that the set-valued fuzzy measure of the autocontinuity from above must be regular.

        set-valued fuzzy measure;autocontinuous from above;regularity

        O159MR(2000)Subject Classification:28C15;28E10

        A

        1672-0687(2016)01-0023-04

        責(zé)任編輯:謝金春

        2013-11-18

        國家自然科學(xué)基金資助項目(11371013)

        耿曉妮(1990-),女,遼寧沈陽人,碩士研究生,研究方向:模糊分析。*

        吳健榮(1963-),男,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,E-mail:jrwu@mail.usts.edu.cn。

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