楊好

【摘要】周期函數(shù)是高中數(shù)學學習中的一大重難點，掌握其基本性質和主要特點，對于提升學生們的解題能力有很大幫助。本文簡單介紹了周期函數(shù)的定義和基本性質，并結合教材內容進一步詳細探討了關于應用周期函數(shù)需要注意的幾點問題，希望能夠幫助高中生更好地掌握這門課程。

【關鍵詞】高中數(shù)學 周期函數(shù) 性質分析 應用探討

一直以來，周期函數(shù)在高中階段的數(shù)學學習中都占有十分重要的地位，并且在物理、化學等其他學科中也有著極為廣泛的應用。因此，學好周期函數(shù)對于促進高中生整體綜合素質水平的提升而言具有十分積極的意義。高中生在學習這部分內容時，首先應理清周期函數(shù)的基本性質，其次要深入了解課本上所沒有提到的注意事項，做到靈活運用周期函數(shù)知識來解決數(shù)學實際問題，拓寬自己的數(shù)學學習思維。

一、周期函數(shù)的基本概念

根據高一課本教材中的定義，周期函數(shù)是指：對于函數(shù)f（x），若存在一個常數(shù)T（T≠0），使x取定義域內的任一值時，均存在f（x+T）f（x）=恒成立，則這樣的函數(shù)被稱為周期函數(shù)，T為該函數(shù)的周期。在理解周期函數(shù)的基本概念時，我們需注意以下幾點內容：

第一，若函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，則該函數(shù)的定義域一定為無界區(qū)間；

第二，若函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期為T，則KT也是函數(shù)f（x）的周期；

第三，并不是所有的函數(shù)都存在最小正周期，例如，當函數(shù)f（x）的值為固定值時，即f（x）=c，任意一個非零的實數(shù)，我們都可以將其稱為f（x）的周期值，不存在最小正周期的說法；

第四，周期函數(shù)不都是三角函數(shù)，如常函數(shù)f（x）=c，包含三角函數(shù)符號的也不一定是周期函數(shù)，如f（x）=sin|x|等。

第五，部分非周期函數(shù)在其部分定義域分段上可以為周期函數(shù)，如函數(shù)f（x）=sin|x|等。

二、周期函數(shù)的重要性質

根據課本教材內容，一般而言，周期函數(shù)重要包括以下幾點重要性質：

性質1：若f（x）的定義域為R，且該函數(shù)的圖像關于兩條不同的直線x=a和x=b對稱，則函數(shù)f（x）的周期T=2b-2a。特別地，如果f（x）為偶函數(shù)，圖像關于直線X=a對稱，則其周期T=2a。

證明過程如下：

由于f（x）圖像關于直線x=a和x=b對稱，所以可以得到：f（x）=f（2a-x）和f（x）=f（2b-x），即f（2b-2a+x）=f（2b-（2a+x）），化簡可得：f（2a-x）=f（x），性質1得證。

性質2：若一個定義在R上的函數(shù)f（x）關于點P（a，0）和直線x=b對稱，則稱該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期T=4b-4a

證明如下：

f（x）關于點P（a，0）和直線x=b對稱，

f（x）=-f（2a-x），f（x）=f（2b-x）

則可得：

f（4b-4a+x）=f（2b-（4a-2b-x））

=f（4a-2b-x）

=f（2a-（2b-2a+x））

=f（（2b-2a+x））

=f[2b-（2a-x）]

=-f（2a-x）

=f（x）

由以上證明，不難得出f（x）為周期函數(shù)，且周期值為4b 4a。

性質3：若函數(shù)f（x）定義域為R，且函數(shù)圖像關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則我們稱函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）。

證明如下：

由于函數(shù)f（x）關于兩個不同的點（a，0）、（b，0）對稱，所以有：

f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x），

則f[2（a-b）+x]=f[2a-（2b-x）]

=f（2b-x）

二-[-f（x）]

二f（x）

由上可證，函數(shù)f（x）為定義在R上的一個周期函數(shù)，且周期值為2（a-b）。

三、學習周期函數(shù)需要注意的幾點問題

高中生在學習周期函數(shù)這部分內容時，除了要把握課本教材上的基本概念以外，還應注意以下幾點問題，以徹底弄懂周期函數(shù)的性質內涵。

一是，周期函數(shù)的性質對于其定義域內的每一個x值都成立。即f（x）=f（x+T）對于任意一個x∈R都成立，所以我們在判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)時，只需列舉一個反例證明即可。

二是，注意理清“x”的內涵。函數(shù)的周期性是針對定義域內的x值而言，學生在進行換算時，一定要注意理清x值的概念。

三是，并不是每個周期函數(shù)都有最小正周期。例如，常函數(shù)f（x）=a，任意一個正數(shù)都可以作為它的周期，而正數(shù)不存在最小的數(shù)值，所以該函數(shù)沒有最小正周期。

四是，若一個定義在R內的函數(shù)f（x）周期值為T，則kT（k∈z，k≠0）也是該函數(shù)的周期。

五是，周期函數(shù)不一定是三角函數(shù)，學生們在學習這部分內容時一定要克服思維上的習慣定勢，緊扣周期函數(shù)的定義來思考和解決問題。

四、結語

綜上所述，作為高中階段數(shù)學學習中的重要內容，周期函數(shù)一直都是高中生普遍感到學習起來較為吃力的一個知識點。要想徹底掌握周期函數(shù)知識，學生們除了要熟練把握課本上的基本概念和性質以外，還應結合具體例題來展開深層次的探究，理清周期函數(shù)的內涵和主要特點，并將其靈活地應用于解決數(shù)學實際問題，從而不斷促進自身綜合素質水平的提升。

參考文獻：

[1]侯文超.周期函數(shù)及其最小正周期[J].北京工商大學學報（自然科學版），2007，（01）.

[2]潘勁松；童麗娟.關于周期函數(shù)定義的研究[J].湖南師范大學自然科學學報，2012，（02）.

[3]劉長劍，湯正誼.兩個周期函數(shù)的和的周期性[J].大學數(shù)學，2016，（08）.