梁貽勤

【摘要】教師在教學(xué)“平方差公式”時要利用大量的素材，讓學(xué)生通過探究學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解公式的現(xiàn)實意義；注重公式的本質(zhì)教學(xué)，加強(qiáng)拓展訓(xùn)練，以“提升學(xué)生思維，培養(yǎng)應(yīng)用能力”為教學(xué)目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】平方差公式 素材 本質(zhì) 訓(xùn)練

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03A-0125-02

“平方差公式”的學(xué)習(xí)建立在有理數(shù)運算、整式分式運算、一次方程及乘法等知識的基礎(chǔ)之上，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的范例。學(xué)習(xí)平方差公式，不僅可以簡化整式的乘法運算，還可以為后續(xù)的公式學(xué)習(xí)提供借鑒。

對于平方差公式的教學(xué)，教師需要遵從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，首先利用豐富的教學(xué)素材，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后把握公式的核心，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解公式，最后開展深化練習(xí)，使學(xué)生充分掌握公式。

一、利用素材，探究學(xué)習(xí)規(guī)律

數(shù)學(xué)從某種意義上來說是一門特殊的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識是從具體的情境中總結(jié)出來的，是從眾多對象中發(fā)現(xiàn)的共性規(guī)律。教師在教學(xué)中要做好引導(dǎo)工作，給學(xué)生提供充足的素材，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生產(chǎn)生歸納意識，實現(xiàn)從自發(fā)思考到自覺思考的過渡。

例如，在教學(xué)“平方差”時，可以進(jìn)行如下設(shè)計：

（1）一位狡猾的地主將一塊邊長為a的正方形土地租借給李老漢耕種。第二年，地主提出把土地縱向增加5米，橫向減少5米，土地租金不變。你認(rèn)為李老漢是否吃虧？可以用怎樣的數(shù)學(xué)式子來表示？

（2）計算（p+q）（p-q）和（2x-1）（2x+1），你從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

將生活中的情景作為課堂引入可以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程并從中總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律。

接下來教師可以增設(shè)滿足平方差公式的形象素材，讓學(xué)生運用總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行填空，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律，增加教學(xué)意義。筆者給學(xué)生出示了如下例題。

運用上述式子的規(guī)律進(jìn)行填空：

（△+☆）（△-☆）=_________________；

（月+亮）（月-亮）=_________________；

（X+Y）（X-Y）=_________________；

（□+○）（□-○）=_________________。

學(xué)生借助算式總結(jié)規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生運用規(guī)律進(jìn)行形象化的圖形填空，使得學(xué)生進(jìn)一步了解平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，學(xué)生體驗從發(fā)現(xiàn)規(guī)律到使用規(guī)律的過程，也可以充分認(rèn)識到平方差的實際意義。

新知的學(xué)習(xí)需要教師引入大量的教學(xué)素材，為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建平臺。教師在引入素材后要基于知識生成的邏輯規(guī)律來排列組合，通過引導(dǎo)設(shè)問，幫助學(xué)生建立對平方差的認(rèn)識。

二、數(shù)形結(jié)合，揭示規(guī)律本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要透過表象深入本質(zhì)，課堂教學(xué)也應(yīng)該以揭示數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生探究知識的本源。在教學(xué)平方差公式時，教師要從公式的本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，將自身對知識的體驗與認(rèn)識采用合理的方式傳達(dá)給學(xué)生，幫助學(xué)生深刻體會知識的核心思想。

平方差公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“單項式乘以單項式”“單項式乘以多項式”以及“多項式乘以多項式”之后學(xué)習(xí)的乘法公式，它是“多項式乘以多項式”的一種特殊情形。筆者認(rèn)為，將平方差公式作為一個特定的公式加以學(xué)習(xí)的原因如下：它符合公式的便利特征，可簡化運算；學(xué)習(xí)平方差公式的過程可為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供知識基礎(chǔ)，如之后將要學(xué)習(xí)的“公式法分解因式”“分式的化簡”等；可以借鑒平方差公式的探究過程及方法學(xué)習(xí)“完全平方公式”。

（一）內(nèi)容形式

內(nèi)容形式是掌握公式的基礎(chǔ)，課堂教學(xué)要注重平方差公式的內(nèi)容表達(dá)。平方差公式指“兩數(shù)之和與這兩個數(shù)之差的乘積等于這兩個數(shù)的平方差”，用數(shù)學(xué)符號可以概括為（a+b）（a-b）=a2-b2，教師在實際教學(xué)中可以借助形象的圖形來幫助學(xué)生理解（如圖1），圖形可以清晰地揭示平方差公式的合理性。學(xué)生對于抽象數(shù)學(xué)公式的認(rèn)識還較為模糊，教師在教學(xué)中通過“文字描述”“符號概況”“圖形表達(dá)”三種方式來揭示公式的本質(zhì)，對于學(xué)生理解及掌握知識有極大幫助。

（二）數(shù)學(xué)思想

在探究數(shù)學(xué)問題時需要對問題的某些特例進(jìn)行深入研究，即數(shù)學(xué)中的“特殊化”思想。教師在教學(xué)“平方差公式”時要注意向?qū)W生傳達(dá)該公式是建立在“多項式乘以多項式”的基礎(chǔ)之上的，它不僅是數(shù)學(xué)公式，同時還體現(xiàn)了從“一般”到“特殊”的研究方法。如教師在教學(xué)中將平方差公式進(jìn)行拆分，（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，讓學(xué)生分析左右兩邊的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，即左邊為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積（多項式乘以多項式），右邊為兩數(shù)的平方差。這樣的教學(xué)方式，不僅可以使學(xué)生充分理解并掌握平方差公式，還可以幫助學(xué)生理解公式的特殊化思想。

與此同時，教師在教學(xué)中還應(yīng)向?qū)W生傳達(dá)歸納思想，平方差公式是在觀察一系列具有相同結(jié)構(gòu)特征的“多項式乘以多項式”后，通過歸納該“結(jié)構(gòu)特征”，總結(jié)出來的相同的規(guī)律。教師在教學(xué)中可以設(shè)置圖2所示的多項式，讓學(xué)生通過計算，發(fā)現(xiàn)算式的結(jié)構(gòu)特征并總結(jié)規(guī)律，從而深刻理解歸納思想。

三、拓展運用，深化規(guī)律訓(xùn)練

“先學(xué)后做”的教學(xué)理念要求課堂教學(xué)應(yīng)該是“知識學(xué)習(xí)”與“訓(xùn)練鞏固”相結(jié)合的完整過程，必要的拓展訓(xùn)練可以使學(xué)生改變原有的“程序性”記憶陋習(xí)，知識的講授不應(yīng)該培養(yǎng)機(jī)械思維，技能的形成要通過多次的拓展訓(xùn)練。在教學(xué)“平方差公式”時也需要進(jìn)行針對性訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握公式，形成靈活變通的思維方式，學(xué)以致用。

例如，教師為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解題思路設(shè)計如下兩道題：①98×（-102）；②（x+2）（x-2）-（x-1）（x+5）。教師首先引導(dǎo)學(xué)生對算式進(jìn)行整體觀察，確認(rèn)是否可以采用平方差公式進(jìn)行簡便計算，可進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化的題目則將其變形，不能采用公式的題目要嚴(yán)格按照多項式乘法進(jìn)行求解。第一題可以使學(xué)生形成“兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積的形式，然后運用平方差公式計算”的解題思路，該題目的設(shè)置可以幫助學(xué)生深化轉(zhuǎn)化思想，理解數(shù)式的通性。第二題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合題，對于培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力極為有利。教學(xué)平方差公式還應(yīng)該注意提升學(xué)生的逆向思維，教師可以設(shè)置這樣的填空題：①（5x+2y）（ ）=25x2-4y2；②（ ）（ ）=81-a2。通過訓(xùn)練，學(xué)生從正反兩方面靈活運用平方差公式，從而深刻理解了公式的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)散了思維。在拓展應(yīng)用的練習(xí)階段，教師則有必要結(jié)合生活實際設(shè)計問題，例如：小紅家有一塊呈“L”形的菜地（如圖3），現(xiàn)要將該菜地分成面積、形狀相同的兩部分并種上不同的蔬菜，請你來幫忙設(shè)計，并計算該菜地的總面積。該題目的設(shè)計與平方差公式的幾何意義相一致，學(xué)生通過求解可以體會到運用平方差公式解決實際問題的便利，體會“數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活”的思想。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中過度模仿容易造成思維定式，缺乏針對性或者簡單的重復(fù)訓(xùn)練則會讓學(xué)生陷入機(jī)械訓(xùn)練。教師要針對學(xué)生的思維開展針對性訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步理解平方差公式，拓展思維，提升學(xué)生的解題能力；同時需結(jié)合生活實例，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用思想，為學(xué)生之后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

總之，平方差公式是多項式乘法運算中特殊形式的多項式乘法公式，它對于簡便運算具有極大的幫助；“平方差公式”的教學(xué)可以為之后的公式學(xué)習(xí)提供教學(xué)參考，教師在教學(xué)時應(yīng)加以重視。教師在教學(xué)中應(yīng)有效利用素材，開展探究學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感知平方差公式；揭示公式本質(zhì)，讓學(xué)生從內(nèi)容和思想上理解公式的核心；開展拓展練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提升學(xué)生的應(yīng)用能力。

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[2]涂愛玲，梁艷云.代數(shù)類新知課“平方差公式”四環(huán)節(jié)教學(xué)模式例析[J].廣西教育，2016（48）

（責(zé)編 劉小瑗）