柏雪峰

【摘要】聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須向?qū)W科本質(zhì)回歸，充分發(fā)揮學(xué)科的育人價(jià)值，培育學(xué)生的本源性、結(jié)構(gòu)性、反思性和創(chuàng)造性等思維力。只有這樣，才能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值，從而獲得數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”滋潤(rùn)、生長(zhǎng)的力量！

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維力；品質(zhì)

所謂“核心素養(yǎng)”，是指學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和未來(lái)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力和必備品格。每一門(mén)學(xué)科都蘊(yùn)含著自身獨(dú)特的育人素養(yǎng)，作為一門(mén)理性的學(xué)科，數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。當(dāng)下的學(xué)生，時(shí)常表現(xiàn)出不愿思考、不會(huì)思考甚至不思考的現(xiàn)象。究其根本，在于學(xué)生沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)思維策略，沒(méi)有形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，更沒(méi)有形成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。教學(xué)的快捷化、知識(shí)的點(diǎn)狀化、經(jīng)驗(yàn)的片面化和學(xué)習(xí)的程式化等原因固化了學(xué)生的思維，限制、束縛了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。數(shù)學(xué)教學(xué)必須向?qū)W科本質(zhì)回歸，充分發(fā)揮學(xué)科的育人價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、邏輯性品質(zhì)與本源性思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)最大的特性就是邏輯性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生瞻前顧后，不僅“知其然”，而且“知其所以然”，這就是本源性思維。本源性思維表現(xiàn)為學(xué)生有“尋根究底”的追問(wèn)習(xí)慣，有“打破砂鍋問(wèn)到底”的思維品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷穿越數(shù)學(xué)表面知識(shí)的樊籬，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科本質(zhì)進(jìn)行深入解讀。學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)劣，其外顯標(biāo)識(shí)就是學(xué)生能夠自覺(jué)地從數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法角度來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行考量。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法思考，來(lái)厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的本義、真義。

教學(xué)《平行四邊形面積計(jì)算》，在學(xué)生通過(guò)“剪、移、拼”將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，筆者拋出本源性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)深度的數(shù)學(xué)思維。

問(wèn)題1：是什么決定平行四邊形的面積大?。窟\(yùn)用多媒體課件動(dòng)態(tài)展示平行四邊形往下壓的動(dòng)畫(huà)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成了許多同底不等高的平行四邊形的軌跡。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生直觀看到，決定平行四邊形面積大小的不是平行四邊形的底和斜邊，而是平行四邊形的底和高。事實(shí)證明，這樣的教學(xué)處理，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可謂刻骨銘心。

問(wèn)題2：為什么推導(dǎo)平行四邊形的面積要沿著高剪？學(xué)生不僅從操作的層面理解了沿著高剪開(kāi)平行四邊形是為了產(chǎn)生直角，而且深刻理解了決定面積大小的應(yīng)該是平行四邊形中二維的長(zhǎng)和寬，也就是底和高，它們的夾角應(yīng)該是90°。由于斜邊與底的夾角不是90°，所以不能配成“對(duì)（二維）”決定平行四邊形面積的大小。

問(wèn)題3：在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，體現(xiàn)著怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？從對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)層面的關(guān)注，到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本源的關(guān)注，再到對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)注，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維步步深入，他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善。學(xué)生在本源性思維中不斷反思，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)明顯提升。

二、整體性品質(zhì)與結(jié)構(gòu)性思維

數(shù)學(xué)知識(shí)是整體性、結(jié)構(gòu)化的。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程性結(jié)構(gòu)，而且要展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的方法性結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)。換言之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要瞻前顧后，而且要左顧右盼。如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中僅僅習(xí)得“單子式的知識(shí)碎片”，不能將數(shù)學(xué)知識(shí)“串聯(lián)”起來(lái)、“并聯(lián)”起來(lái)，不能將數(shù)學(xué)知識(shí)集成知識(shí)模塊，不能建構(gòu)知識(shí)群，不能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏整體性、結(jié)構(gòu)性思維，那么知識(shí)就是死的知識(shí)，就不能成為學(xué)生思考的載體。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生解讀知識(shí)的脈絡(luò)，將知識(shí)縱向貫通、橫向聯(lián)通、多向融通，不僅把握知識(shí)之形，而且領(lǐng)悟知識(shí)之神。

例如，教學(xué)《角的度量》，傳統(tǒng)教學(xué)往往是教師強(qiáng)調(diào)“兩齊一看”，即量角器的中心點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，量角器的零刻度線與角的一條邊重合，看另一條線所指的刻度；或者是學(xué)生在教師的精心預(yù)設(shè)下，被動(dòng)地經(jīng)歷量角器的誕生過(guò)程。盡管學(xué)生匆匆地將“單位小角”連成“量角器”，但在測(cè)量時(shí)仍然不得要領(lǐng)，仍然將量角器的內(nèi)圈和外圈刻度讀混淆。究其原因，是因?yàn)榻處煹慕虒W(xué)缺乏啟發(fā)性，沒(méi)有讓學(xué)生形成整體性、結(jié)構(gòu)性思維。

筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”。首先從二年級(jí)的《認(rèn)識(shí)厘米》復(fù)習(xí)開(kāi)始，通過(guò)問(wèn)題串，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。一支長(zhǎng)幾厘米的蠟筆，可以用什么量？（直尺）怎樣量？（可以從零刻度開(kāi)始量，量到幾就是幾厘米；也可以從一個(gè)刻度開(kāi)始量，量到另一個(gè)刻度，然后用后一個(gè)刻度減去前一個(gè)刻度）為什么可以這樣量？測(cè)量的關(guān)鍵是什么？（關(guān)鍵看有幾個(gè)1厘米）

在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生展開(kāi)結(jié)構(gòu)性思維：用什么儀器量角？可以怎樣量角？關(guān)鍵是看什么？在這種結(jié)構(gòu)性思維中，學(xué)生領(lǐng)悟到：既可以從零刻度線開(kāi)始量角，也可以從任意刻度量角，關(guān)鍵是看這個(gè)角里面包含了幾個(gè)單位小角，也就是包含了幾個(gè)1°小角。學(xué)生能夠在知識(shí)之間展開(kāi)類(lèi)比，能夠?qū)⒅R(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)進(jìn)行思維，這就是一種結(jié)構(gòu)化的思維。當(dāng)學(xué)生的這種結(jié)構(gòu)化思維成為一種自覺(jué)、成為一種習(xí)慣時(shí)，必然能夠發(fā)展為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、抽象性品質(zhì)與反思性思維

數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的，數(shù)學(xué)就是抽象的建構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷反思，通過(guò)反思性思維，逐步地去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里?？梢哉f(shuō)，反思是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的靈魂，能夠明確學(xué)習(xí)方向，改善學(xué)習(xí)行為。在數(shù)學(xué)反思中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象主動(dòng)觀察、梳理、回顧、批判。具體表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的審視、質(zhì)疑以及合理性追問(wèn)。反思性思維有助于學(xué)生調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程與方法，有助于學(xué)生探索、拓展、鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，形成正確的思路、方法等。有時(shí)候，學(xué)生往往不能一次性把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，必須進(jìn)行不斷地反思，深入地研究，要讓反思成為一種習(xí)慣。

例如，教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》，一位教師分多個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不斷地反思拾級(jí)而上，逐步觸碰到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。首先出示一些桃，讓學(xué)生選一些桃分給兩只小猴，于是，有學(xué)生選6個(gè)桃裝一盤(pán)，一只猴分3只；有學(xué)生選8個(gè)桃裝一盤(pán)，一只猴分4只；還有學(xué)生選10個(gè)桃裝一盤(pán)，一只猴分5只等。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生深度反思：為什么每只小猴分的桃子數(shù)不同，卻都表示總數(shù)的二分之一呢？接著，教師將6個(gè)桃、9個(gè)桃、12個(gè)桃平均分給2只猴、3只猴、4只猴，教師再次引導(dǎo)學(xué)生深度反思：為什么每只猴分的桃子總數(shù)相同，所表示的分?jǐn)?shù)卻不同呢？看來(lái)，小猴分得總桃子總數(shù)的幾分之幾，與什么無(wú)關(guān)，與什么相關(guān)呢？經(jīng)過(guò)多次反思，學(xué)生排除分?jǐn)?shù)的非本質(zhì)屬性（桃子的一共個(gè)數(shù)、猴子分得桃子的個(gè)數(shù)等），形成知識(shí)的本質(zhì)屬性（平均分成多少份，表示多少份等）。通過(guò)教師的引領(lǐng)，學(xué)生的反思性思維逐漸從“被動(dòng)”轉(zhuǎn)向“主動(dòng)”、從“引導(dǎo)”轉(zhuǎn)向“自覺(jué)”，形成反思性思維的意識(shí)和習(xí)慣。

通過(guò)學(xué)生的反思性思維，數(shù)學(xué)知識(shí)逐步從具象走向抽象。南京大學(xué)鄭毓信教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)抽象源于現(xiàn)實(shí)及操作，數(shù)學(xué)抽象又高于現(xiàn)實(shí)，是一種建構(gòu)活動(dòng)。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)反思性思維，將數(shù)學(xué)知識(shí)逐步地形式化、公理化、抽象化，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。

四、建構(gòu)性品質(zhì)與創(chuàng)造性思維

數(shù)學(xué)不是無(wú)可懷疑的真理的集合，而是動(dòng)態(tài)的，是一個(gè)不斷地猜想、嘗試、計(jì)算、推理、證實(shí)或證偽的動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行過(guò)程建構(gòu)，培育學(xué)生的創(chuàng)造性思維。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開(kāi)始表現(xiàn)為一種過(guò)程操作，經(jīng)過(guò)必要的凝聚，形成特定的對(duì)象和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而逐步形成具有明確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與外延、鮮明的本質(zhì)屬性的特定數(shù)學(xué)形式。

例如，教學(xué)《小數(shù)的意義》，從知識(shí)的發(fā)生角度來(lái)看，小數(shù)源于數(shù)。從知識(shí)誕生的歷史來(lái)看，小數(shù)的出現(xiàn)要晚于分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗枰獌蓚€(gè)條件：一是分?jǐn)?shù)概念的完善，二是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的完善。正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家劉徽所說(shuō)，“徽數(shù)無(wú)名者，以為分子，其一退十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)……”。這里的“徽數(shù)”，是指整數(shù)以下的小數(shù)部分。有了對(duì)知識(shí)歷史的洞察，教師才能引領(lǐng)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主建構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。筆者在教學(xué)時(shí)，遵循知識(shí)的發(fā)生順序，首先和學(xué)生復(fù)習(xí)將一個(gè)圖形、一條線段平均分成10份，得到一位小數(shù)，然后再將0.1平均分成10份，得到兩位小數(shù)，并且學(xué)生直觀地看到：將0.1平均分成10份，就相當(dāng)于將1平均分成100份；接著，將0.01平均分成10份，學(xué)生自然而然地產(chǎn)生思考：將0.01平均分成10份相當(dāng)于將0.1平均分成100份，或者將整數(shù)“1”平均分成1000份，每一份就是0.001。正是由于學(xué)生有了平均分的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才能夠創(chuàng)造出更小的小數(shù)單位來(lái)。由此，學(xué)生自然而然將相鄰兩個(gè)小數(shù)單位之間的進(jìn)率納入到原來(lái)的相鄰兩個(gè)整數(shù)單位之間的進(jìn)率中，從而建構(gòu)了完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)知識(shí)是人類(lèi)“生命實(shí)踐”智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)在歷經(jīng)豐富的過(guò)程之后，都變得簡(jiǎn)約、約定俗稱(chēng)了。教學(xué)中，教師有必要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生歷程，重蹈人類(lèi)探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子。從學(xué)習(xí)視角來(lái)看，“冰冷的美麗”背后往往有“火熱的思考”，這種思考應(yīng)該和前人的經(jīng)歷是一致的。正如首都師范大學(xué)王尚志教師所說(shuō)，“數(shù)學(xué)要講邏輯推理，更要講道理”。

生長(zhǎng)思維力、生長(zhǎng)智慧、生長(zhǎng)理性是“核心素養(yǎng)”關(guān)照下數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。只有從數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)出發(fā)，遵循數(shù)學(xué)的整體性、邏輯性、抽象性和建構(gòu)性品質(zhì)，培育學(xué)生的本源性思維、結(jié)構(gòu)性思維、反思性思維和創(chuàng)造性思維，才能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得自主感悟、生命意義、素養(yǎng)滋潤(rùn)和生長(zhǎng)力量！

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