李坤

【摘要】“最近發(fā)展區(qū)”理論為數(shù)學教學提供了科學的理論基礎和實踐指導，在高中數(shù)學變式教學中，教師可以在“最近發(fā)展區(qū)”理論背景下，根據(jù)學生的數(shù)學認知水平，通過設置逐步遞進的變式題目，幫助學生實現(xiàn)從現(xiàn)有能力向潛在能力的跨越.本文以“最近發(fā)展區(qū)”理論為指導，以案例的形式呈現(xiàn)變式教學在高中數(shù)學中的滲透.

【關鍵詞】最近發(fā)展區(qū)；高中數(shù)學；變式教學

一、概念性變式

（一）概念引入變式務必運用“最近發(fā)展區(qū)”

概念引入是概念教學的第一步.蘇霍姆林斯基曾說：“人的心靈深處，總有一種把自己當作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的固有需要.”那么，在此背景下設計變式，既要向學生展示知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，又要激發(fā)學生的求知欲，讓學生抓住概念的本質特征，轉化目前的“最近發(fā)展區(qū)”，建立起感性認知與抽象概念之間的聯(lián)系.

案例1 等差數(shù)列的概念引入

① 我們經(jīng)常遇到這樣的數(shù)，從0開始，每隔3數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，3，6，9，12，15，….

② 班上50名學生依次報數(shù)，得到數(shù)列：1，2，3，4，5，…，48，49，50.

③ 水庫水位為10 m，自然放水每天水位下降0.5 m，降低到6 m時停止放水，那么水庫在放水過程中，每天的水位構成數(shù)列：10，9.5，9，8.5，8，7.5，7，6.5，6.

學生分析討論這三個數(shù)列的共同特點，歸納出等差數(shù)列概念的本質特征：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù).這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

符號語言：當n∈N*，且n≥2時，an-an-1=d.

[評析]學生在此之前對數(shù)列已經(jīng)具有感性的認知，通過分析①②③的共同特點，抓住等差數(shù)列概念的本質特征，轉化目前的“最近發(fā)展區(qū)”.

（二）概念辨析變式必須符合“最近發(fā)展區(qū)”

概念辨析變式是在引進概念之后，針對概念本質特征做進一步探討.美國數(shù)學家哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學的心臟.”這種以問題為鋪墊所設計的變式題目，需要完全符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”.

例如，在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首項a1和公差d.

變式1：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=21，d=2，求n.

變式2：在等差數(shù)列{an}中，已知a2=7，a4=13，求a3.

[評析]原題屬于在等差數(shù)列中，對于四個量a1，an，n，d知三求一的問題，是一道基礎題.通過變式，雖然題目的形式有所改變，問題的本質特征沒有發(fā)生改變，學生在運用概念解決問題的同時，也加深了對概念內涵和外延的理解，為后面問題的深化奠定了良好的認知基礎.

（三）概念深化變式完全依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”

對概念進行深化鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié).奧蘇貝爾曾說：“如果讓我用一句話概括教育心理學的內容，我將說就是在學生已有知識的基礎上進行教學.”概念鞏固變式是在學生對概念的內涵和外延理解基礎上，通過精心設置學生容易出錯、需要利用概念之間的邏輯關系解決問題的變式題目，讓學生在思考、變式和分析中深化對概念的理解，使學生的潛在發(fā)展水平順利地轉化為現(xiàn)有發(fā)展水平，充分依據(jù)了“最近發(fā)展區(qū)”理論.

例如，已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an-3an+1an，證明：1an為等差數(shù)列.

變式1：已知數(shù)列{an}滿足a1=25，且對任意的n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2，證明：1an為等差數(shù)列.

變式2：已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n-1（n≥2），a1=5，bn=an-12n，證明：{bn}為等差數(shù)列.

[評析]本例中的題目都考查了利用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列具有等差數(shù)列的特征，原題中an+1=an-3an+1an兩邊可直接同時除以an+1an，進而得出1an為等差數(shù)列；“變式1”與原題的區(qū)別在于首先需要對anan+1=4an+2an+1+2化簡，然后再將等式兩邊同時除以an+1an；“變式2”無疑是對“變式1”的深化，學生只有在能解答“變式1”的前提下，在教師指導下發(fā)現(xiàn)等式兩邊“符號”的特點，從而找出解決問題的方法.

從概念性變式中可以發(fā)現(xiàn)，每一道變式問題的解答都建立在學生對原問題的認知結構基礎上，引起學生內心的認知矛盾，這樣的施教既有一定的深度又有力度，使數(shù)學教學成為數(shù)學思維活動的教學.

二、過程性變式

過程性變式是指在數(shù)學變式教學中，對教學對象進行有層次性的推進過程.這種層次性既可以看成是為教學內容設置一系列的臺階，又可以看成是數(shù)學中某種活動策略或經(jīng)驗，其目的在于讓學生積累多種活動經(jīng)驗.因此，筆者認為過程性變式是一種由淺入深、由局部到整體的一種教學手段，它更符合“最近發(fā)展區(qū)”理論.

案例2 已知ax2-ax+13≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

變式1：已知函數(shù)f（x）=ax2-ax+13的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

變式2：函數(shù)f（x）=ax2-ax+13的定義域為R的充要條件是什么？

變式3：已知函數(shù)f（x）=1ax2-ax+13的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

變式4：已知函數(shù)f（x）=log2ax2-ax+13的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

[評析]本例主要是對二次函數(shù)的性質進行考查，并在此基礎上設計變式，考查對定義域、二次根式、充要條件、分式、對數(shù)知識的理解和認識；考查二次不等式恒成立問題的轉化方法.變式題目的綜合性逐漸加強，難度不斷加大，新舊知識之間跨度小，學生在掌握原問題的基礎上，能夠通過類比聯(lián)想，與前面題目產(chǎn)生聯(lián)系，在教師的指導下解決問題，符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”.

從過程性變式中可以發(fā)現(xiàn)，教學中應該把教學層次和教學要求設置在學生的思維“最近發(fā)展區(qū)”內，學生通過自主探索和小組協(xié)作，使得問題得到解決.在數(shù)學變式教學過程中，教師應該首先準確界定學生的“最近發(fā)展區(qū)”，然后把學生的思維潛在水平轉化為現(xiàn)有水平，對于難學的內容或問題，應適當采取鋪墊，讓學生“跳起來就能摘到果實”.

【參考文獻】

[1]陳杰.從“最近發(fā)展區(qū)”看初中數(shù)學變式教學[J].福建中學數(shù)學，2012（1）：28-30.

[2]顧泠沅，楊玉東.過程性變式與數(shù)學課例研究[J].上海中學數(shù)學，2007（1）：1-5.