馬忠蓮

【摘要】本文通過作者多年數(shù)學(xué)分析教學(xué)經(jīng)驗的思考，總結(jié)出一些數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的基本概念的理解與認(rèn)識的方法.在教學(xué)過程中向?qū)W生講解清楚這些理解與認(rèn)識，能夠降低學(xué)生初學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)分析課程的理解的深度，更有效地把握數(shù)學(xué)分析的思想方法，高效率地真正學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)分析，提高分析解決問題的能力，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的思想方法和知識解決實際問題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；關(guān)系；教學(xué)

數(shù)學(xué)分析對理工科學(xué)生來說是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，而在二本及?？茖W(xué)生普遍認(rèn)為該門課程抽象難學(xué).究其課程本身的原因大致為三個：第一，課程內(nèi)容豐富.數(shù)學(xué)分析大致250～300學(xué)時左右，上下兩冊，八百頁左右，這么多的內(nèi)容，學(xué)起來難度大.第二，極限本身難于理解.很多學(xué)生在理解極限思想和定義時就一知半解.第三，初學(xué)者未能很好地把握知識間的密切關(guān)系和解決問題的方法.課程原因與學(xué)生基礎(chǔ)問題的共鳴產(chǎn)生了學(xué)弱現(xiàn)象，使得大部分學(xué)生根本達(dá)不到課程學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，就這樣草草了結(jié).知識上對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了影響，從能力提升上達(dá)不到學(xué)科的真正要求.經(jīng)過長期教學(xué)實踐證明，在教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和把握下文探討的學(xué)科規(guī)律認(rèn)識，大大地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的難度，并能更加有效地達(dá)成課程學(xué)習(xí)目標(biāo).下面我們就圍繞以上三點(diǎn)來談?wù)剶?shù)學(xué)分析教學(xué)中有必要讓學(xué)生把握的一些認(rèn)識.

一、數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容的全面認(rèn)識

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容很多，讓初學(xué)者摸不到頭緒.在教學(xué)時不斷強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析課程只做一件事情，就是以極限為工具在實數(shù)范圍內(nèi)來研究函數(shù)，讓學(xué)習(xí)者輕裝上陣.數(shù)學(xué)分析的每一章節(jié)無一不是在研究函數(shù)，而且都是用極限研究函數(shù).具體做了如下事情：① 極限思想，函數(shù)的極限定義和計算極限值.② 用極限定義一種特殊重要的連續(xù)函數(shù).③ 用極限定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù).④ 用極限定義出的函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的近似計算.⑤ 用極限定義出的導(dǎo)數(shù)把函數(shù)展開成多項式.⑥ 利用極限定義出的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值、凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線，描繪出了函數(shù)的圖像.⑦ 用極限定義出的定積分討論一元函數(shù)圖像（曲線）所圍區(qū)域面積，一元函數(shù)圖像（曲線）的弧長，一元函數(shù)圖像（曲線）旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.⑧ 用極限定義出的導(dǎo)數(shù)把函數(shù)寫成級數(shù)，又可以用級數(shù)來研究函數(shù).⑨ 用極限定義出的偏導(dǎo)數(shù)研究多元函數(shù).⑩ 用極限定義出的重積分研究多元函數(shù)所對應(yīng)曲面圍成的空間幾何體體積.B11 用極限定義出的第一型曲線積分求物質(zhì)曲線的質(zhì)量.B12 用極限定義出的第二型曲線積分討論力場做功問題.B13 用極限定義出的第一型曲面積分求物質(zhì)曲線的質(zhì)量.B14 用極限定義出的第二型曲面積分求流過曲面S的流量.可見，除了第①沒有什么新的內(nèi)容，都是在①極限的基礎(chǔ)上來用已知探求未知，整個學(xué)習(xí)過程同時也是我們用極限探索函數(shù)性質(zhì)的過程.讓學(xué)生明白這一點(diǎn)能使學(xué)生對課程有一個全局性的把握，學(xué)習(xí)時思路清楚、目標(biāo)明確.

二、關(guān)于極限的認(rèn)識

（一）極限思想是一個用已知探求未知的過程，是規(guī)則到不規(guī)則的研究過程

讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷認(rèn)識體會用已知探求未知的過程，從規(guī)則到不規(guī)則的探究過程.不論是從數(shù)學(xué)分析的知識的學(xué)習(xí)把握，還是從學(xué)生解決問題能力的提高上都很重要.這是一個讓學(xué)生更好學(xué)會認(rèn)識和解決所有客觀問題的思想方法，是提高解決問題能力的基本方法.例如，求圓的周長，未知曲邊形周長用極限思想轉(zhuǎn)化為已知正多邊形周長，用已知探求未知，用規(guī)則的正多邊形周長探求不規(guī)則的圓周長，工具是極限.數(shù)學(xué)分析里每一個問題的解決都毫無例外地使用了這一思想.整個數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容就清晰透徹地多次重復(fù)體現(xiàn)了這一過程.然而，在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在做了很多題目后仍然沒有用已知探求未知的意識.因此，教學(xué)中有必要就著極限實例不斷強(qiáng)調(diào)這一思想方法，一方面，使極限本身更易于理解，另一方面，也提高了學(xué)生解決問題的能力.

（二）極限思想的關(guān)鍵是用極限將近似變成了相等

極限思想最讓學(xué)生迷惑的是近似與相等的關(guān)系.很多學(xué)生在學(xué)完了極限定義之后一直認(rèn)為是一個近似關(guān)系.我曾在不強(qiáng)調(diào)“相等”地按教材講解該內(nèi)容，講解完后提問學(xué)生，百分之九十的學(xué)生回答 limn→∞1n+1=0指1n+1當(dāng)n無限增大時近似于0.而事實是 limn→∞1n+1=0指當(dāng)n無限增大時1n+1無限接近的數(shù)等于0.例如，劉徽“割圓術(shù)”中首先考慮圓內(nèi)接正六邊形（直邊形）面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)，考慮正多邊形（直邊形）面積近似代替圓（曲邊形）面積時，邊數(shù)越多近似效果越好，邊數(shù)越多則正多邊形面積愈來愈接近的就是圓的面積，即極限（無限接近）是圓的面積.一個“是”字體現(xiàn)了等.極限計算的是無限變化的結(jié)果是什么.明白將近似轉(zhuǎn)化為相等的極限功能是極限思想的難點(diǎn)，教師強(qiáng)調(diào)清楚這一點(diǎn)是解決學(xué)生數(shù)學(xué)分析極限難題的關(guān)鍵.

（三）極限思想的具體步驟

極限思想的具體步驟：分割（定義域）→近似代替（在小范圍用規(guī)則情況近似代替不規(guī)則情況）→求和（對整體進(jìn)行近似代替）→取極限（分割無限小時的整體的趨勢）.將定義域進(jìn)行分割，極限思想和做法的四步驟貫穿了整個數(shù)學(xué)分析教材，每一次探討極限思想的應(yīng)用，不同的是研究的內(nèi)容，相同的是極限的四個步驟，教師需要讓學(xué)生明白做法是一樣的，只是研究的函數(shù)發(fā)生了改變.在后續(xù)學(xué)習(xí)中不要一味講解問題，而是引導(dǎo)學(xué)生依照前面的方法逐步探究得出后面的內(nèi)容，這樣就能真正把握和應(yīng)用極限的思想.

（三）三大橋梁關(guān)系

數(shù)學(xué)分析中有三大橋梁，讓學(xué)生掌握定理的同時，充分認(rèn)識定理的橋梁特征對數(shù)學(xué)分析的問題解決有很好的幫助.①中值定理是搭建函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的橋梁，已知導(dǎo)數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)性質(zhì)，或已知函數(shù)特性研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可考慮中值定理.②泰勒公式搭建起函數(shù)與級數(shù)的橋梁，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為級數(shù)，或?qū)⒓墧?shù)求和為函數(shù).這樣就可以通過級數(shù)研究函數(shù)或通過函數(shù)研究級數(shù)，讓函數(shù)和級數(shù)的研究方法在函數(shù)與級數(shù)中靈活應(yīng)用，從而解決很多函數(shù)研究中的難題.③牛頓-萊布尼茲公式建立了定積分與不定積分從定義上本不相關(guān)的兩者之間的關(guān)系.不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，求全體原函數(shù)，而定積分是∑∞k=1f（ξk）Δxk在l（T）→0時的極限，兩者是完全不同的定義，牛頓-萊布尼茲公式把兩者結(jié)合在了一起，用原函數(shù)（不定積分）在兩點(diǎn)的函數(shù)值之差來解決求定積分的復(fù)雜問題.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)分析課程其實就是以極限思想概念和運(yùn)算為基礎(chǔ)的一個龐大的關(guān)系網(wǎng)，能深入探討理解知識間的關(guān)系就能很好地把握和靈活應(yīng)用該門課程，對于初學(xué)數(shù)學(xué)分析的大學(xué)入門生，在我校的二本和專科生中充分地體現(xiàn)出學(xué)生對這些知識網(wǎng)的把握程度是不理想的，所以在教學(xué)中不斷強(qiáng)調(diào)知識間的這些關(guān)系是很必要的.通過教學(xué)實踐，對以上關(guān)系的理解使學(xué)生大大降低了數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的難度.當(dāng)然這里只介紹了幾種大的知識關(guān)系，整個教材還涵蓋著很多小的關(guān)系網(wǎng)，需要我們在具體教學(xué)過程中不斷挖掘展現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉璉，傅沛任.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]劉玉璉，傅沛任.數(shù)學(xué)分析講義（下冊）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.