樊國清

【教學(xué)過程】課前三分鐘表演。

師：剛剛，可愛的圓還不知道自己的面積該怎么計(jì)算了。這節(jié)課就讓我們一起來研究《圓的面積》。

【組一】

生1：下面由我們組的同學(xué)給大家匯報(bào)圓面積公式的推導(dǎo)過程。

生2和3：把圓平均分成16份，邊剪邊拼。

生4：學(xué)生邊解釋邊板書。

生5：這樣轉(zhuǎn)化利用了以前學(xué)過的轉(zhuǎn)化思想，就是把圓的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積來求，這個(gè)過程中，它們的形狀變了，但是面積不變。

生補(bǔ)充：轉(zhuǎn)化成的平行四邊形不是標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形，是一個(gè)近似的平行四邊形，

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚牡?，不是直的，是曲線，所以是一個(gè)近似的平行四邊形。

師：大家還有別的方法嗎？

【組二】

生1：我們組拼成的圖形，像一個(gè)平行四邊形，更像一個(gè)長方形。

生2和3：學(xué)生邊剪邊拼。為了數(shù)起來方便，我們組在剪的時(shí)候就把每個(gè)小扇形上

標(biāo)上數(shù)字，這樣拼的時(shí)候就不容易弄丟。

生4：學(xué)生邊解釋邊板書。

生補(bǔ)充：我覺的你們組這個(gè)數(shù)字標(biāo)的很有用，很方便，拼的時(shí)候不容易漏了，我們應(yīng)該像你們學(xué)習(xí)。

師：剛剛他們組說把圓平均分的份數(shù)越多，每一份就越小，拼起來的圖形就越像長方形，是這樣嗎？

師：請看課件，老師先是把圓平均分成了4份，看起來有點(diǎn)像什么圖形？

接著把圓平均分成了8份，看起來有點(diǎn)像什么圖形？

隨后又把圓平均分成了16份，這時(shí)，拼起來像什么圖形？

然后又分成了32份，看起來更像一個(gè)平行四邊形，同時(shí)也接近了長方形。

把圓平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。也就是說，把圓平均

分的份數(shù)越多，圓就會(huì)無限的逼近長方形。這里邊又用到了一種新的思想——

“極限”思想。

師：“極限”思想是魏晉時(shí)期的劉徽老爺爺最早提出的，他在《九章算術(shù)》中獨(dú)創(chuàng)性的提出了“割圓術(shù)”，也就是通過圓的內(nèi)接或外接正多邊形面積來求圓面積的一種方法，也使得劉徽老爺爺成為世界上第一個(gè)認(rèn)識(shí)到極限概念的數(shù)學(xué)家，為我國乃至世界數(shù)學(xué)史的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，他的著作《九章算術(shù)》也成為了全世界最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。

【組三】

生1：我們組是把圓的面積轉(zhuǎn)化成梯形的面積來求的。

生2和3：把圓平均分成32份，拼成一個(gè)近似的梯形。學(xué)生邊剪邊拼。

生4：學(xué)生邊推導(dǎo)，邊板書。

生提問：我不太清楚為什么梯形的上底加下底就等于圓周長的一半？你們能幫我解釋一下嗎？

生5：因?yàn)槲覀兪前褕A平均分成了16份，也就是把圓的周長平均分成了16份，每

一個(gè)小三角形的底就是圓周長的1/16，梯形的上底和下底加起來總共是8個(gè)小三角形的底，所以上底加下底的和就是圓周長的8/16，也就是圓周長的1/2，大家明白了嗎？

生補(bǔ)充：我來給大家解釋一下，為什么下底是5個(gè)小三角形的底，下面這一行雖然又9個(gè)小三角形，但是用到底的只有這5個(gè)，這4個(gè)只是用到了它們的頂點(diǎn)，它們就相當(dāng)于是梯形下底上的四個(gè)點(diǎn)。

師：這個(gè)小組的同學(xué)，真是動(dòng)腦筋的好孩子呀，講解的很細(xì)致，很清楚。還能解答大家提出的疑問，真是我們學(xué)習(xí)的榜樣！ 【組四】

生1：我們組有兩種推導(dǎo)的方法，首先介紹第一種方法。

生2和3：我們是把圓平均分成16份，每一份都可以看做是一個(gè)近似的小三角形。

把這些小三角形拼起來，就可以拼成一個(gè)近似的大三角形。

生4：三角形的底是由四個(gè)小三角形的底構(gòu)成的，三角形的底是圓周長的1/4，三角形的高是4個(gè)半徑，三角形的面積=底x高÷2，可以推導(dǎo)出圓的面積就是πr2 。

生5：把圓平均分成16份，每一份就是一個(gè)近似的小三角形，這個(gè)小三角形的面積就是整個(gè)圓面積的1/16，圓的面積就等于16個(gè)小三角形的面積，三角形的底=圓周長的1/16，三角形的高是圓的半徑，可以推導(dǎo)出圓的面積就是πr2 。

生補(bǔ)充：我是把圓剪成了32份來拼的三角形，但是32份就不能拼成三角形，所以，只有16份的時(shí)候才能拼成三角形了，32份的時(shí)候不能拼成三角形。

生補(bǔ)充：你們的第一種方法，圓的面積就等于三角形的面積，但是第二種方法的時(shí)候，圓的面積就不等于這個(gè)小三角形的面積呀！

生5：第一種方法是把圓的面積完全轉(zhuǎn)化成了大三角形的面積來求的，第二種方法

的時(shí)候，圓的面積不等于一個(gè)小三角形的面積，但是圓的面積就是由這16

個(gè)小三角形構(gòu)成的，所以圓的面積就是小三角形面積的16倍。

生提問：那這個(gè)小三角形的底怎么算了？

生5：小三角形是整個(gè)圓的1/16，所以，小三角形的底就是圓周長的1/16。

師：這個(gè)組的同學(xué)真了不起了，想到了兩種方法，但是這兩種方法有著本質(zhì)的區(qū)別，其中第一種是將圓的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積來求，是我們以前說過的等積變形法。但是第二種方法，是把圓平均分成16等份，取其中的一份來推導(dǎo)圓的面積，這是等積變形嗎？（不是）但是我們?nèi)匀豢梢杂眠@一個(gè)小三角形的面積來推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式，這就需要我們大家認(rèn)真、細(xì)致的進(jìn)行推理。所以，這兩種方法所用到的思想有不一樣的地方。

師：要計(jì)算圓的面積，必須知道什么條件呢？

師：這節(jié)課我們不僅又一次的利用了轉(zhuǎn)化及推理的思想，同時(shí)又認(rèn)識(shí)了一種新思想——“極限”思想，最終幫助圓，探究出了它的計(jì)算公式是S=πr2。希望同學(xué)們今后掌握更多的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，為數(shù)學(xué)史的發(fā)展貢獻(xiàn)自己的一份力量。

今天的課就上到這里，下課！