楊善詞

【摘要】在倡導(dǎo)素質(zhì)教育的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中，數(shù)形結(jié)合是最為常用的教學(xué)思想方法之一，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，改善教師教學(xué)質(zhì)量具有中重要意義。文章將從數(shù)形結(jié)合的涵義出發(fā)，論述數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用以及運(yùn)用過程中需要遵循的原則和要求，并經(jīng)過具體實(shí)例分析，探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，為促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高提供一些參考和啟示。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；原則；應(yīng)用；數(shù)轉(zhuǎn)形；形轉(zhuǎn)數(shù)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）32-0132-02

一、數(shù)形結(jié)合思想方法的涵義及作用

“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”（恩格斯語），“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本構(gòu)成成分，前者體現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系，后者體現(xiàn)了空間關(guān)系，“數(shù)”和“形”在一定的條件下能相互轉(zhuǎn)換，“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微”（華羅庚語），所以，數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合方法，“由形轉(zhuǎn)數(shù)”，或“由數(shù)化形”，將數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，促進(jìn)教學(xué)的順利進(jìn)行。

數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)十分必要，具有重要意義。數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，是素質(zhì)教育的要求，可以將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的過程形象化，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、形象思維能力以及學(xué)生的探究精神，還可以培養(yǎng)學(xué)生的各項(xiàng)邏輯思維和事物之間形態(tài)轉(zhuǎn)換的洞察力，促進(jìn)學(xué)生靈活思維和發(fā)散思維，啟迪智慧，提升智力。數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，也可以豐富教學(xué)課堂，進(jìn)行多樣化教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氛圍，提高教師教學(xué)的有效性。數(shù)形結(jié)合思想方法可以運(yùn)用于絕大部分的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，便于學(xué)生系統(tǒng)的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和建立完善的知識(shí)體系和科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，綜合培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，對(duì)促進(jìn)學(xué)生觀察力、思考力、洞察力、解決問題的能力等綜合能力具有重要作用，數(shù)形結(jié)合思想方法已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)必不可少的方法之一，得到了很多數(shù)學(xué)教師的重視。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用原則和要求

數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用要講究一定的原則和要求，才能更好的提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合方法，要堅(jiān)持：①等價(jià)性原則，即轉(zhuǎn)化過程中，“數(shù)”代表的代數(shù)性質(zhì)和“形”代表的幾何性質(zhì)必須是等價(jià)轉(zhuǎn)換的，圖形表示與數(shù)量關(guān)系必須一致；②雙向性原則，即數(shù)形結(jié)合中，既要考查代數(shù)的抽象關(guān)系，又要對(duì)幾何圖形進(jìn)行直觀分析，二者兼顧，兩者結(jié)合，共同考查；③簡潔性原則。數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，是為了將復(fù)雜的問題簡單化，難解的問題容易化，縮短時(shí)間，提高做題效率，所以，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用必須遵循簡潔性原則，盡量讓幾何構(gòu)圖直觀、簡單合理，讓代數(shù)計(jì)算簡潔明了，避免繁雜的計(jì)算和冗余數(shù)據(jù)的干；④直觀性原則，數(shù)形結(jié)合不僅應(yīng)用于具體的集合空間和代數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)換中，也應(yīng)充分的運(yùn)用于教學(xué)中的圖形演示、實(shí)物演示、實(shí)物模擬，模型展示等等，充分的將抽象的概念、定義、關(guān)系等等具體化、形象化、直觀化，便于學(xué)生的理解和識(shí)記；⑤靈活性原則。高中教師在利用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行靈活選擇和應(yīng)用，不可運(yùn)用過少無法滿足數(shù)學(xué)教學(xué)需求，不可濫用耽誤時(shí)間，不應(yīng)照搬照抄復(fù)制別人的教學(xué)方法，應(yīng)靈活設(shè)計(jì)適合自己學(xué)生水平和學(xué)習(xí)習(xí)慣的教學(xué)方法，并積極引導(dǎo)學(xué)生感知、觀察、歸納、比較、想象、概括、運(yùn)算、演繹、證明等等，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了普遍的運(yùn)用，歸納起來大致有三種情況：數(shù)轉(zhuǎn)形、形轉(zhuǎn)數(shù)，數(shù)、形結(jié)合。

1.數(shù)轉(zhuǎn)形

“數(shù)轉(zhuǎn)形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用的方法之一，文章通過一道作業(yè)題舉例說明：

云南省某市某校高二（1）班21人報(bào)名參加了省里的數(shù)學(xué)競賽，17人報(bào)名物理競賽，10人報(bào)名化學(xué)競賽，這些同學(xué)中，有12人同時(shí)報(bào)名了物理競賽和數(shù)學(xué)競賽，6人同時(shí)報(bào)名了化學(xué)競賽和數(shù)學(xué)競賽，5人同時(shí)報(bào)名了化學(xué)競賽和物理競賽，2人同時(shí)報(bào)名了物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)在班長要為所有參加競賽的同學(xué)訂汽車票，他應(yīng)該訂幾張票？

老師帶領(lǐng)學(xué)生分析這個(gè)問題的時(shí)候，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生確定一些基本情況，如所有的同學(xué)出發(fā)的時(shí)間和地點(diǎn)都是一致的，目的地也是一致的，所有就不存在轉(zhuǎn)車，一人用到多張票的情況，票是一人一張的，那么買幾張票的問題，實(shí)質(zhì)就變成了班里參加競賽的總?cè)藬?shù)問題。競賽項(xiàng)目涉及的人比較多，如果將其轉(zhuǎn)換為集合問題，用圖形表示參加競賽的人相互間的關(guān)系來解決總?cè)藬?shù)的計(jì)算問題就容易多了：利用Venn圖形，將高二（1）班參加競賽的項(xiàng)目的人數(shù)的交集、并集、補(bǔ)集表示出來，就可以很便捷、直觀的解決問題：分別用字母表示參加各門競賽的人：A：數(shù)學(xué)；B：物理；C：化學(xué)；D：物理和數(shù)學(xué)；E：化學(xué)和數(shù)學(xué)F：化學(xué)和物理；G：數(shù)學(xué)、化學(xué)和物理，

通過交集、并集、補(bǔ)集處理，可以很清楚的進(jìn)行人數(shù)的計(jì)算：

Card（D）=12-2=10，

Card（E）=6-2=4，

Card（F）=5-2=3

Card（A）=21-2-10-4=5

Card（B）=17-2-10-3=2

Card（C）=10-3-2-4=1

所以，高二（1）班總共參加省級(jí)競賽的人數(shù)為27人，即班長共應(yīng)訂27張汽車票。

2.形轉(zhuǎn)數(shù)

“形轉(zhuǎn)數(shù)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中也十分常用。尤其是函數(shù)教學(xué)中。比如，在二次函數(shù)f（x）=x2+x+b（b>0），若f（n）<0，求f（n+1）的值。這是典型的二次函數(shù)題，這樣的題在數(shù)學(xué)課堂、作業(yè)、甚至是各類考試中十分普遍。

根據(jù)函數(shù)式分析，這個(gè)函數(shù)是在f（x）=x2+x的基礎(chǔ)上衍生的，并根據(jù)函數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字的正負(fù)數(shù)分析，畫出f（x）=x2+x函數(shù)的圖，點(diǎn)出次函數(shù)和X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，看圖對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，若f（x）<0，可得到x的區(qū)間為（-1，0），即區(qū)間長=1，1>0，符合原函數(shù)的要求；將f（x）=x2+x向上平移并使f（x）<0，那此時(shí)區(qū)間長度也就<1，因?yàn)閒（n）<0，那n+1，1是大于0的蒸數(shù)，所以f（n+1）肯定>0，即得到了這道題的最終答案。通過函數(shù)圖直觀的表現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，在根據(jù)區(qū)間概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行平移和大小數(shù)值分析，很快就得到了答案，十分方便，節(jié)約時(shí)間。

3.數(shù)、形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，單獨(dú)的“數(shù)”的教學(xué)和單獨(dú)的“形”的結(jié)合都有自己的優(yōu)勢和不足，很多情況下是需要取長補(bǔ)短，發(fā)揮各自優(yōu)勢，數(shù)、形結(jié)合一起教學(xué)的。

比如函數(shù)教學(xué)中，不管是一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)，求值過程中經(jīng)常要畫坐標(biāo)圖，通過觀察坐標(biāo)圖的移動(dòng)變化來進(jìn)行求值，在圓錐、圓等圖形的代數(shù)計(jì)算中，又通常要將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)進(jìn)行表達(dá)計(jì)算，提高解題效率。

比如，（x-2）2+y2=3是個(gè)圓，M（x，y）是此圓上的任意一點(diǎn)，求（x-y）的最大、最小值（x-y）max和最小值（x-y）min。拿到題目，對(duì)題目進(jìn)行分析，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中，a、b、r分別表示圓的坐標(biāo)和半徑相關(guān)的數(shù)值，也就是說，（a，b）為圓心坐標(biāo)，r為圓的半徑，那么根據(jù)這個(gè)圓的方程式（x-2）2+y2=3，得到此圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為，據(jù)此，可以將圓畫出來了，然后設(shè)x-y=b，將此方程式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程式，即y=x-b，由于b的正負(fù)數(shù)是不確定的，所以根據(jù)方程式，可以判定y=x-b是與圓相切的兩條直線，b是圓的坐標(biāo)軸與圓相切的兩個(gè)點(diǎn)，將直線在圖中畫出，就可以很容易的判斷這條直線與圓相切時(shí)的最大值和最小值了。得到的結(jié)果如圖。

四、結(jié)語

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)已不再是傳統(tǒng)的局限于數(shù)字運(yùn)算和單獨(dú)的幾何求解的教學(xué)了，隨著素質(zhì)教育等現(xiàn)代教育方法的推行和運(yùn)用，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)除了培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，更加注重學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。高中教學(xué)是高中階段教育的基本科目之一，提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)水平十分重要。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行教學(xué)，是符合現(xiàn)代教育要求的，是促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)形轉(zhuǎn)換能力、觀察力、思考力等能力培養(yǎng)，提高創(chuàng)新精神、探究精神建設(shè)，啟迪智慧、開發(fā)智力的有效手段。數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用要堅(jiān)持等價(jià)原則、雙向原則、直觀性原則、簡潔性原則、靈活運(yùn)用原則，根據(jù)每個(gè)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、教學(xué)條件和教學(xué)環(huán)境進(jìn)行靈活運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合的思想方法的使用通常有“數(shù)轉(zhuǎn)形”、“形轉(zhuǎn)數(shù)”、“數(shù)、形結(jié)合”三大類情況，涵蓋于數(shù)學(xué)教學(xué)的眾多領(lǐng)域之中，文章分別舉例進(jìn)行了分析，希望對(duì)促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提供一些參考和啟示，文章的研究具有一定的價(jià)值和意義。

參考文獻(xiàn)

[1]盧向敏.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

[2]韓雪麗.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究與實(shí)踐遼寧師范大學(xué)，2013.

[4]姜秋亞.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中教學(xué)中的應(yīng)用情況研究[D].華中師范大學(xué)，2015.

[5]胡玉靜.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析[D].信陽師范學(xué)院，2015.

[6]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國校外教育，2015（05）.

[7]杜路敏.淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和實(shí)施[J].學(xué)周刊.2013，8（8）.

[8]董妍.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2015（18）.