伍志新

[摘 要]逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.數(shù)學問題浩如煙海，當用順向思維去思考而感到“山重水復”時，不妨運用逆向思維去思考，這往往能獨辟蹊徑，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

[關鍵詞]逆向思維；數(shù)學解題；中學數(shù)學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002802

心理學研究表明，每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程.在這兩個互逆的思維過程中，存在著順向與逆向的思維聯(lián)結(jié).思維的逆向性是相對的，是相對順向思維而言的.逆向思維在現(xiàn)實生活中的應用十分廣泛.“司馬光砸缸救人”的故事就是逆向思維的典型例子.

一、逆向思維的含義及其在數(shù)學中的體現(xiàn)

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.逆向思維的本質(zhì)特征是善于從對立的角度、相反的方向、互逆的路線去思考問題，能隨時逆轉(zhuǎn)心理過程，表現(xiàn)出靈活性及較強的思維調(diào)節(jié)能力.數(shù)學問題浩如煙海，當我們用順向思維去思考而感到“山重水復”時，不妨用逆向思維去思考，這往往能獨辟蹊徑，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

在中學數(shù)學教學中體現(xiàn)互逆思維的知識內(nèi)容比比皆是，如運算與逆運算；命題與逆命題；定理與逆定理；多項式的乘法與多項式的因式分解；分子有理化與分母有理化；通分母與通分子；已知方程或不等式求其解與已知解求方程或不等式；已知函數(shù)求其定義域與已知定義域求函數(shù)；函數(shù)與反函數(shù)；已知函數(shù)求其周期與已知周期求其函數(shù)；已知函數(shù)的解析式求其圖像與已知確定函數(shù)圖像的條件求函數(shù)的解析式，已知曲線求其方程與已知方程求其曲線；等等.在中學數(shù)學課堂教學中，教師要善于引導學生運用逆向思維解決問題，這會使課堂教學綻放數(shù)學的思維美和邏輯美，使學生愛上數(shù)學.

二、運用逆向思維，使解題過程“柳暗花明”

逆向思維在數(shù)學解題中的應用十分廣泛，如果善于運用逆向思維，往往會使解題過程簡單明了，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象.

1.數(shù)的大小比較

在比較分數(shù)的大小時，如利用順向思維來解題則是先通分后比較分子的大小.但有時通分運算往往十分麻煩，此時不妨運用逆向思維，即先通“分子”，然后比較分母的大小，

再由“兩個正數(shù)同分子，分母大的反而小”

即可確定分數(shù)的大小.

【例1】 比較下列各數(shù)的大小關系：

-623，-417，-311，-1247.

析與解：本題中，各數(shù)的分母較大，分子較小.運用逆向思維通“分子”，可得

-1246，-1251，-1244，-1247.

∴-1251>-1247>-1246>-1244，

即-417>-1247>-623>-311.

【例2】 已知P=12，Q=7-3，R=6-2，試比較P、Q、R的大小.

析與解：要從正面直接去比較這三個數(shù)的大小，是比較困難的.對此，我們可以這樣去比較.

2.解方程

已知方程求方程的解或已知方程有實數(shù)根求某實數(shù)的取值范圍，是初中數(shù)學的重要學習內(nèi)容之一.在解決此類問題時，如果用順向思維解決有困難，不妨轉(zhuǎn)換思維角度，用逆向思維尋求解題思路.

【例3】 解方程：x3+（1+5）x2-5=0.

析與解：這是求解一元三次方程，初中階段學生沒有學過這一內(nèi)容，能否求解，決定于他們對初中數(shù)學思想方法是否真正理解和掌握.如果能變換角度，運用逆向思維，解題思路便會豁然開朗.

可先把原方程中的常數(shù)5看作未知數(shù)，而把未知數(shù)x看作常數(shù)，即

設t=5，則原方程可變形為關于t的一元二次方程

真是順向思維“山窮水盡”，逆向思維“海闊天空”?。?/p>

【例4】 已知在以下三個方程

中，至少有一個方程有實根，求實數(shù)m的取值范圍.

析與解：若按順向思維去考慮問題，求解的過程是相當煩瑣的；如若從反面即用逆向思維去考慮問題，求解就簡單了.“至少有一個方程有實根”的反面就是“三個方程都沒有實根”，從而解之，得1

∴當m≤1或m≥4時，在給定的三個方程中，至少有一個方程有實根.

3.求函數(shù)的值域或取值范圍

我們知道，在一般情況下，求函數(shù)的定義域（或取值范圍）比求函數(shù)的值域（或取值范圍）容易.根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系可知，函數(shù)的值域（或取值范圍）就是其反函數(shù)的定義域（或取值范圍）.因此，在求某些函數(shù)的值域（或取值范圍）時，不妨沿“求其反函數(shù)的定義域（或取值范圍）”這條思路去思考，解題過程會更簡捷.

【例5】 求函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域.

析與解：求函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域，利用逆向思維，只要求出其反函數(shù)的定義域，問題就可迎刃而解.

設y=1+x1-x，則x=y-1y+1.

∴函數(shù)f（x）=1+x1-x的反函數(shù)是y=x-1x+1.

∵函數(shù)y=x-1x+1的定義域是x≠-1，

∴函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域是（-∞，-1）∪（-1，+∞）.

【例6】 已知f-1（x）是函數(shù)f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）的反函數(shù)，求不等式f-1（x）>0的解集.

析與解：若從正面去考慮問題，用順向思維去分析，則需先求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x），然后解不等式f-1（x）>0.這樣處理，求函數(shù)f（x）的反函數(shù)是相當麻煩的.因此，宜從反面去考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.

∵f-1（x）>0x>0時f（x）的值域，

∴只需求出當x>0時，f（x）的值域即可.

∵f（0）=0，且函數(shù)f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，

∴當x>0時，f（x）>0.

∴當x>0時，函數(shù)f（x）的值域是（0，+∞）.

∴不等式f-1（x）>0的解集是（0，+∞）.

三、運用逆向思維，解題過程“獨辟蹊徑”

運用逆向思維解決一些現(xiàn)實生活問題，也會使解題過程更簡捷，綻放數(shù)學的邏輯美.

【例7】 編號為1，2，3，4，5的5個人入座編號也為1，2，3，4，5的5個座位，至多有2人對號入座的坐法共有幾種？

析與解：若從正面去考慮，情況比較復雜.正面有三種情況：全不對號入座，有且僅有1人對號入座；有且僅有2人對號入座，且每種情況都比較難處理.因此，宜從反面考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.反面只有兩種情況：全部對號入座（4人對號入座時一定全部對號入座），有且僅有3人對號入座，而全對號入座只有1種情況，有且僅有3人對號入座，只要先從5人中選出3人，共有C35種坐法，其余2人不對號入座只有一種坐法.由分類計算原理和分步計數(shù)原理，得反面問題共有1+C

35·1=11（種）；5人全排有A55種.

∴滿足題目要求的坐法共有

A55-（1+C35）=109（種）.

【例8】 甲、乙、丙三個箱內(nèi)共有小球384個，現(xiàn)先從甲箱內(nèi)取出若干個小球放進乙、丙箱內(nèi)，乙、丙兩箱所放個數(shù)分別等于乙、丙箱內(nèi)原有小球的個數(shù)；再從乙箱內(nèi)取出若干個小球放進甲、丙箱內(nèi)，最后從丙箱內(nèi)取出若干個小球放進甲、乙箱內(nèi)，取法、放法同前，結(jié)果三個箱內(nèi)小球的個數(shù)相等，甲、乙、丙箱內(nèi)原有小球多少個？

析與解：這個問題的順向思維是由初始狀態(tài)逐步順追到最終狀態(tài)，但由于初始狀態(tài)是未知的，最終狀態(tài)是已知的，因此，這個問題的順向思維是從未知到已知，如何求結(jié)果，實在難以得知.若用逆向思維的思想方法分析問題，則是從最終狀態(tài)（已知）逐步逆推到初始狀態(tài)（未知）.這樣，問題的求解就一目了然了.

∵384÷3=128，所以逆推情況如下表所示甲、乙、丙箱內(nèi)原各有的小球數(shù)分別是208個、112個、64個.

綜上可知，逆向思維是中學數(shù)學解題中最常用的數(shù)學思維之一.如果善于運用逆向思維解題，往往會使問題“柳暗花明”，順利獲解.數(shù)學問題浩如煙海，逆向思維在數(shù)學解題中的應用不可能一一枚舉，上面所列舉的解題范例，只是拋磚引玉，希望能起到舉一反三、觸類旁通的作用.

（責任編輯 黃春香）