陳茵

[摘 要]教學(xué)是一門科學(xué)，又是一門藝術(shù)；科學(xué)講究規(guī)則，藝術(shù)講究創(chuàng)造.課堂教學(xué)既要做到“教學(xué)有法”，又要做到“教無(wú)定法”.在“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的背景下，在數(shù)學(xué)課堂的新課引入、概念形成、概念深化、應(yīng)用探索等環(huán)節(jié)中應(yīng)抓“關(guān)聯(lián)性”“合理性”“內(nèi)涵、外延”“模型化”，從而解決為什么要學(xué)的認(rèn)知需求問(wèn)題，讓學(xué)生知其然知其所以然，幫助學(xué)生多視角理解、認(rèn)識(shí)概念，使學(xué)生領(lǐng)悟解決問(wèn)題的思想方法.通過(guò)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)明確、有法可依.

[關(guān)鍵詞]問(wèn)題導(dǎo)學(xué)；核心素養(yǎng)；標(biāo)準(zhǔn)；有法

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2018）02000303

我是一名2016年大學(xué)畢業(yè)剛?cè)肼毜那嗄杲處?初為人師，我既興奮又緊張，興奮是因?yàn)閷?shí)現(xiàn)了從小就立下的理想——成為一名人民教師，而緊張則在于人們對(duì)于名校教師的期待，這讓無(wú)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的我不禁有些擔(dān)憂.幸運(yùn)的是，我參加了學(xué)校開(kāi)展的《問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究》課題研究工作，有機(jī)會(huì)多次參與廣西教科院組織的“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”新授課教學(xué)模式的研討活動(dòng)，并擔(dān)任了其中一節(jié)現(xiàn)場(chǎng)展示課的主講教師.在這個(gè)過(guò)程中，我逐步學(xué)習(xí)和了解了“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的原理和方法，并對(duì)如何將其有效運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中有了自己的思考.下面以《拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》一課的教學(xué)為例，談?wù)勎业囊恍┱J(rèn)識(shí)和體會(huì).

一、“新課引入”要抓“關(guān)聯(lián)性”——解決為什么學(xué)的認(rèn)知需求問(wèn)題

【教學(xué)實(shí)錄1】師：今天，老師給大家介紹一個(gè)傳奇人物.他是一位哲學(xué)家，也是一位數(shù)學(xué)家，我們熟悉的坐標(biāo)系就是他創(chuàng)立的，他被稱為“解析幾何之父”，他的名字叫笛卡爾.他的貢獻(xiàn)在于：借助坐標(biāo)系，將點(diǎn)與數(shù)建立了聯(lián)系，將曲線與方程建立了聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的設(shè)想.今天，我們借助笛卡爾的研究方法，看看怎樣用代數(shù)的方法來(lái)研究拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

【評(píng)點(diǎn)】新課引入是一節(jié)課的思維起點(diǎn)，萬(wàn)事開(kāi)頭難.本節(jié)課從數(shù)學(xué)史引入，既介紹了笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的研究方法，又點(diǎn)明了主題：用坐標(biāo)法來(lái)研究幾何性質(zhì)，開(kāi)宗明義，一目了然.

二、“概念形成”要抓“合理性”——讓學(xué)生知其然知其所以然

【教學(xué)實(shí)錄2】實(shí)驗(yàn)：選取p>0的值，作出拋物線y2=2px的圖像（如圖1），觀察圖像研究它的幾何性質(zhì).

問(wèn)題1：拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)與橢圓、雙曲線的類似，猜想拋物線的幾何性質(zhì)是否與橢圓、雙曲線的類似？你認(rèn)為應(yīng)該研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)？

【評(píng)點(diǎn)】知識(shí)不是孤立出現(xiàn)的，需要教師設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)與舊知識(shí)建立聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).拋物線作為圓錐曲線的一種，其幾何性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和研究方法應(yīng)該與橢圓、雙曲線的類似.

問(wèn)題2：觀察圖像，拋物線伸展的范圍是有限還是無(wú)限的？拋物線方程y2=2px中的變量x、y的取值范圍是有限還是無(wú)限的？

【評(píng)點(diǎn)】通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷研究曲線幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：觀察圖像，從“形”入手分析；研究方程，從“數(shù)”入手分析.這樣，既培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力.

問(wèn)題3：拋物線方程y2=2px中變量x的取值范圍是什么？你能判斷拋物線的開(kāi)口方向嗎？

【評(píng)點(diǎn)】由代數(shù)式x中的取值范圍得到拋物線的開(kāi)口方向，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

問(wèn)題4：觀察圖像，拋物線是否是軸對(duì)稱圖形？是否是中心對(duì)稱圖形？任取拋物線上一點(diǎn)（x，y），其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（x，-y）是否在拋物線上？說(shuō)明了什么？

【評(píng)點(diǎn)】讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，拋物線是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形.將方程中的y換成-y，方程不變，說(shuō)明拋物線上任意一點(diǎn)（x，y），其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（x，-y）在拋物線上，曲線關(guān)于x軸對(duì)稱.

問(wèn)題5：請(qǐng)你嘗試采用這樣的研究方法，說(shuō)明拋物線是非中心對(duì)稱圖形.

【評(píng)點(diǎn)】問(wèn)題4讓學(xué)生學(xué)習(xí)用代數(shù)方法去研究曲線的對(duì)稱性，而問(wèn)題5則讓學(xué)生運(yùn)用這種方法去嘗試解決新問(wèn)題，很好地鞏固了學(xué)生對(duì)研究方法的掌握.

在給出拋物線的頂點(diǎn)和離心率概念后，我設(shè)置以下例題.

【例1】 一條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），求拋物線方程.

【評(píng)點(diǎn)】設(shè)計(jì)此例的目的有二，一是強(qiáng)化拋物線幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)；二是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交的兩點(diǎn)，其橫縱坐標(biāo)之比為1∶2”，并為解決例2做準(zhǔn)備.

問(wèn)題6：拋物線y2=2px上有幾個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之比是1∶2？它們?cè)谑裁次恢茫?/p>

【評(píng)點(diǎn)】問(wèn)題6連接了例1的已知點(diǎn)，從代數(shù)角度分析已知點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，從幾何角度分析已知點(diǎn)位于焦點(diǎn)的正上方，從而找到拋物線焦點(diǎn)的方法.問(wèn)題設(shè)置著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，將難度分解到若干個(gè)小問(wèn)題中，小問(wèn)題間又有相應(yīng)的邏輯聯(lián)系，解決了小問(wèn)題，難題也就迎刃而解了.

由此可見(jiàn)，問(wèn)題的設(shè)置不僅要有關(guān)聯(lián)性，還需要有梯度.接下來(lái)的例2難度不低，要解決它，就必須鋪設(shè)一些“階梯”.

【例2】 已知拋物線和它的對(duì)稱軸.試用幾何作圖法作出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線.

【評(píng)點(diǎn)】再次深化拋物線的幾何性質(zhì)，借助坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，最后再翻譯成幾何語(yǔ)言，讓學(xué)生體驗(yàn)由“形”到“數(shù)”及由“數(shù)”到“形”的過(guò)程.

教學(xué)中，教師要讓學(xué)生了解作圖依據(jù)：以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的方向?yàn)閤軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y2=2px，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p2，0），準(zhǔn)線方程為x=-p2.過(guò)焦點(diǎn)作平行于y軸的直線與拋物線相交，得到兩個(gè)交點(diǎn)P1（p2，y1），

P2=（p2，-y1）

，其中y1>0.由y21=2p·p2得y1=p.因此，P1（p2，y1）在直線y=2x上，是直線y=2x與拋物線的交點(diǎn)；還要讓學(xué)生明確作圖步驟（如圖2）：

（1）拋物線的對(duì)稱軸與拋物線相交，得到頂點(diǎn)O.

（2）在對(duì)稱軸上任取一個(gè)與O不重合的點(diǎn)A，使OA指向拋物線的開(kāi)口方向，從A點(diǎn)作AB⊥OA，作|AB|=2|OA|，射線OB與拋物線相交于點(diǎn)P.

（3）過(guò)P點(diǎn)作PF⊥OA，與射線OA相交于F，則F為拋物線焦點(diǎn).

（4）延長(zhǎng)FO到D使OD=FO.過(guò)D作⊥OD，則l為準(zhǔn)線.

【評(píng)點(diǎn)】以“問(wèn)題”為導(dǎo)向，讓學(xué)生理解概念形成的“合理性”與“必然性”，這是本環(huán)節(jié)的主要內(nèi)容.教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，要從學(xué)生熟悉的舊知識(shí)出發(fā)，尋找與新知識(shí)的聯(lián)系和沖突，并逐步感受新知識(shí)的產(chǎn)生是合理的，是在同化和順應(yīng)的過(guò)程中重新建構(gòu)認(rèn)知圖式.這是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論所提倡的支架式教學(xué)模式.

三、“概念深化”要抓“內(nèi)涵、外延”——幫助學(xué)生多視角理解、認(rèn)識(shí)概念

【問(wèn)題系列】

（1）拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p2，0），準(zhǔn)線方程x=-p2；

【評(píng)點(diǎn)】回顧拋物線定義，幫助學(xué)生回憶另外三個(gè)開(kāi)口方向不同的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式和準(zhǔn)線方程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線焦點(diǎn)非零的坐標(biāo)值與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程一次項(xiàng)系數(shù)是1∶4的關(guān)系.

（2）如圖3，四邊形DFME是正方形；

（3）焦準(zhǔn)距為p；

（4）通徑：過(guò)拋物線焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦.拋物線的通徑長(zhǎng)為2p.

【評(píng)點(diǎn)】深挖拋物線中蘊(yùn)含的結(jié)論，深化拋物線的幾何性質(zhì).

通過(guò)前面的幾何觀察和代數(shù)研究，我們得到了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，學(xué)會(huì)了運(yùn)用幾何作圖法尋找拋物線焦點(diǎn)的位置.那么，在“概念深化”環(huán)節(jié)，我們要解決哪些重點(diǎn)問(wèn)題呢？我認(rèn)為，要重在引導(dǎo)學(xué)生挖掘概念的內(nèi)涵與外延.例如，從內(nèi)涵入手，拋物線的本質(zhì)是它的定義，從定義我們可以得到它的離心率、焦準(zhǔn)距等幾何性質(zhì)，從標(biāo)準(zhǔn)方程我們可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和一次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.除此之外，我們還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)它們各自的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)和關(guān)鍵信息做出明確的認(rèn)定，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，并由此出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考還可以得到哪些重要的結(jié)論，歸納這節(jié)課研究的數(shù)學(xué)思想方法等，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)全方位地去認(rèn)識(shí)和理解概念，提高思維的水平.

四、“應(yīng)用探索”要抓“模型化”——使學(xué)生領(lǐng)悟解決問(wèn)題的思想方法

【例3】 拋物線形拱橋如圖4，當(dāng)拱橋離水面2.5m時(shí)，水面寬4.5m，如果水面上升0.5m時(shí)，水面寬多少？（精確到0.01m）

解析：如圖4建立直角坐標(biāo)系，1m為單位長(zhǎng).則現(xiàn)在水面與拱橋在第四象限的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2.25，-2.5），代入方程x2=-2py，得2p=2.025.水面上升0.5m后，水面與拱橋在第四象限的交點(diǎn)B（x2，y2）的縱坐標(biāo)為y2=-2，代入方程，得

x2=-2py2≈

-2.025×（-2）≈2.01，

故水面寬為2.01×2=4.02（m）.

【評(píng)點(diǎn)】通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，鞏固拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟借助坐標(biāo)系解決幾何問(wèn)題的思想方法.

例題，是進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法類化的重要載體，需要教師的精心設(shè)置與分析講解.本節(jié)課設(shè)置的應(yīng)用例題是生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，學(xué)生需要通過(guò)抽象出拋物線模型，運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解題.教師要有意識(shí)地給學(xué)生傳遞數(shù)學(xué)的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要體現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的有效手段.

五、“總結(jié)歸納”要抓“知識(shí)建構(gòu)”——引導(dǎo)學(xué)生建立思維導(dǎo)圖

問(wèn)題7：這節(jié)課你學(xué)到了哪些內(nèi)容？涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

知識(shí)點(diǎn)小結(jié)：拋物線的幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等.

技能點(diǎn)小結(jié)：類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、坐標(biāo)法、待定系數(shù)法.

【評(píng)點(diǎn)】讓學(xué)生自主總結(jié)歸納本課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)和這節(jié)課所學(xué)到的思想方法，能幫助學(xué)生自主建構(gòu)新的認(rèn)知圖式.

“總結(jié)歸納”是一節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié).建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)進(jìn)行意義建構(gòu)的過(guò)程，學(xué)習(xí)者只有主動(dòng)對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行加工、整理，進(jìn)而建立新的認(rèn)知圖式，內(nèi)化成自己的東西，才是真正的收獲.

總之，通過(guò)這樣的研修學(xué)習(xí)，讓我心中對(duì)教學(xué)有了明確的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)會(huì)了自我評(píng)價(jià)、自我修正，對(duì)教學(xué)組織有了更高的目標(biāo)和追求，也有了屬于自己的獨(dú)特方法.我堅(jiān)信，只要堅(jiān)持研究、實(shí)踐，自己的從教之路一定會(huì)走得更加堅(jiān)實(shí)、更加穩(wěn)??！

（責(zé)任編輯 黃春香）