陳志華

[摘 要] 培養(yǎng)學生的思維品質要從嚴謹性、發(fā)散性、深層性、廣闊性、創(chuàng)造性五大特征入手. 數(shù)學幾何學習對培養(yǎng)學生的思維品質具有獨特而顯著的作用，本文通過實例闡述如何借助幾何解題進行反思，培養(yǎng)學生良好的思維品質.

[關鍵詞] 幾何；思維品質；解題思路；嚴謹

數(shù)學幾何是對圖形的概括，是學生思維發(fā)展的“橋梁”，是師生進行交流的“紐帶”. 因此在課堂中作為“主導者”的教師，要善于利用一些例題、習題，充分挖掘題目背后深層次的含義，幫助學生準確理解知識點，并掌握解決問題的一般方法，從而養(yǎng)成良好的思維品質. 筆者結合自己多年的幾何教學實踐，就幾何教學中如何培養(yǎng)學生思維品質，談幾點體會.

借助幾何直觀，深化概念理解，

培養(yǎng)學生思維的深層性

思維的深層性要求學生在解決問題時，要抓住問題的本質和內在聯(lián)系，善于舉一反三，解題以后能夠及時總結一般規(guī)律和通法，并能把知識和方法進行遷移，用于解決其他類似問題.

數(shù)學概念，就是用簡練的數(shù)學語言、符號去概括對象的本質屬性. 要抓住對象的本質屬性，必須對概念理解到位.一直以來概念教學是一個難點，對學生理解能力要求較高. 而通過幾何直觀，可以幫助學生突破概念理解上的難點. 例如在函數(shù)概念學習中，如何理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值”，如果僅僅靠解讀字面意思，學生比較難以理解，更難達到數(shù)學應用的境地. 若借以幾何直觀，加以辨析，從感性認識著手，則可以達到較好的教學效果.

例1：給出以下幾個圖形（圖1），讓學生指出哪些圖形所反映的是函數(shù)的圖像.

通過對這四個圖的比較與辨析，能很直觀地發(fā)現(xiàn)A、B、C三個圖形中，同一個x的值，有兩個y的值與它對應，這就不是函數(shù)的對應關系了.

解后回顧，培養(yǎng)學生思維的嚴

謹性

思維的嚴謹性是指思維過程的嚴密性和邏輯性，而數(shù)學幾何解題嚴謹、條理清晰，能很好地培養(yǎng)學生思維嚴謹性. 教師要引導學生題后回顧，特別是針對一些典型錯誤的及時分析，能讓學生明白前后邏輯關系的重要性，并在解決問題時要注重條件與結論之間關系的嚴謹性.

例2：已知△ABC為鈍角三角形，其最長邊AC上有一點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線l，使直線l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l可作幾條？

有學生解答：如圖2，過點P分別作兩條平行線并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），這樣滿足條件的直線有3條.

分析：是否存在點P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思維有漏洞，即思維不嚴謹，從而產生了錯誤的解答.

正確解答：如圖3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，當點P位于點A至D之間（包括點D）或位于點C至E之間（包括點E）時，滿足條件的直線有3條；而當點P位于點E至D之間（不包括點D，E）時，滿足條件的直線有2條.

以上例題讓學生經歷從一開始的想當然認為所有點P都能畫出3條，到后來發(fā)現(xiàn)當點P在特殊位置時會出現(xiàn)不一樣的特殊情況，從而感受到考慮問題必須全面，不能以特殊代替一般，也不能忽視特殊情況，以及邏輯上是否前后存在矛盾等.

利用結論開放，培養(yǎng)學生思維

的發(fā)散性

思維的發(fā)散性是指個體在思維活動中獨立發(fā)現(xiàn)解決問題的方法及推廣程度. 這就要求教師在平時教學中多“留白”，從已知條件出發(fā)，能得到哪些相關的結論，對同一試題探求出各種各樣的方案. 這種試題的解法多樣，思路廣闊，既能鞏固深化原有知識，又能提升學生思維活動的發(fā)散性.

例3：如圖4，P為⊙O外一點，PAB為⊙O割線，交⊙O于A，B兩點，PC切⊙O于C，∠CPB的平分線交AC于E，交BC于F.

結論1：CF=CE；結論2：△PCE∽△PBF；結論3：△PAE∽△PCF；結論4：=……

通過這類習題的訓練，不但能鞏固知識點之間的關系，還讓學生對這類問題有了深入的認識，大膽猜想并嚴謹論證，通過自我評價解題思路和方法，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性.

一題多用，培養(yǎng)學生思維的廣

闊性

思維廣闊性是指個體思維活動的廣泛程度. 它的特點包括：一是從多角度來分析問題，抓住問題的關鍵；二從分析過程中，提煉出解決問題的方法；三是技能的遷移能力，如我們平時說的“舉一反三”；四是善于歸納總結，到達“運用自如”的境界.

1. 一題多解，解中求真，提升學生思維的廣闊性

例4：如圖5，在直角坐標系中，Rt△ABC的邊長BC=1，AC=2，∠C=90°，點A、點B分別在x、y軸正半軸滑動，求線段OB長的最值？

分析一：根據三角形三邊關系，可構造出以OB為一邊的△OBD，其中點D為AC的中點. 由此可知：隨著線段AC滑動，線段BD和線段OD的位置也隨之改變. 當BD和OD成一直線時，即線段OB剛好通過中點D時，OB為最小；當BD和OD重合時，OB為最大. 因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.

分析二：根據相對運動理論，轉變觀察角度，把“動點A，C相對于不動點O運動”變?yōu)椤皠狱cO相對于不動點A，C運動”，此時點O的運動軌跡是以AC為直徑的圓. 如圖6所示，OB最值的情況顯而易見了：-1≤OB≤+1.

此題從兩個截然不同的角度，都十分巧妙地構造相關圖形得到兩種較好的解法，使學生對問題的理解更深刻，培養(yǎng)從不同角度理解問題的能力，同時培養(yǎng)其思維的多向性、廣闊性.

2. 一題多變，趨異求同，培養(yǎng)學生思維的廣闊性

以基本圖形為“生長點”，通過將其引申變換為相關圖形而得到“再生”題組，培養(yǎng)學生對幾何圖形的空間想象力，從而培養(yǎng)學生思維的廣闊性、多向性.

例5：如圖7分別以△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形. 若S+S=S成立，則△ABC是直角三角形嗎？

變式1：向外作正三角形呢？（如圖8）

變式2：向外作等腰直角三角形呢？（如圖9）

變式3：向外作半圓呢？（如圖10）

變式4：向外作相似三角形呢？（如圖11）

分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.

通過對上述變式的理解和深入，我們可得到以下結論：分別以△ABC三邊a，b，c為直徑向外作任意相似多邊形. 若S+S=S成立，則△ABC都是直角三角形！

例6：如圖12，一個邊長為1.2 m的正三角形金屬架，能通過一個直徑為1.1 m的呼啦圈嗎？請證明你的判斷？

分析：邊長為1.2的正三角形的高為<1.1，所以能通過這樣的呼啦圈.

變式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如圖13）

變式2：把正三角形改成梯形呢？如圖14，已知一塊直角梯形的鐵板，兩底長分別為4 cm、10 cm，且有一個內角為60°，請用數(shù)據說明鐵板能否從一個直徑為8.7 cm的圓洞穿過.

分析：根據上述思考，過點B作a∥CD，過點B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿過圓洞.

因此，在教學過程中要求養(yǎng)成從不同角度，不同方位思考問題的習慣，進行一題多解、一題多變的練習，廣闊地運用公式、法則、命題，對一個對象用多種方式表達，對一個方法或理論作多方面的應用，培養(yǎng)其舉一反三、觸類旁通的思維品質，從而培養(yǎng)學生思維的廣闊性.

一圖多用，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)

造性

有創(chuàng)造性地解決問題的能力是衡量個人能力高低很重要的指標，特別是在幾何學習中尤為突出. 為了提升學生的創(chuàng)造性，這就要求教師精心設計，讓學生對圖形進行觀察、分析、發(fā)現(xiàn)題中基本圖形，然后鼓勵學生大膽提出“猜想”，經過對基本圖形相關性質理性分析對猜想予以證明，最后及時題后反思，自行改編題目，以到達提高思維的創(chuàng)造性的目的. 它的一般程序是“觀察發(fā)現(xiàn)基本圖形——提出猜想——證明猜想——題后反思——改編題目”. 現(xiàn)結合例子具體闡述.

例7：如圖15，已知△ABC中，BD，CE是高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點，則FG與ED之間有什么關系？并給以證明.

（1）觀察基本圖形

根據圖形及條件，觀察發(fā)現(xiàn)組成圖形的基本圖形是：直角三角形中線基本圖形、等腰三角形三線合一基本圖形. 本題中的兩個基本圖形不完整，因此要把它補充完整，這也是添加輔助線的主要方向.

（2）提出猜想

根據基本圖形及已知條件，大膽猜想FG與ED的關系是：FG垂直平分ED.

（3）證明猜想（證明略）

（4）題后反思

題后反思概括性越高，知識系統(tǒng)性越強，減縮性越大，遷移能力越廣闊，注意力越集中，則思維的創(chuàng)造性就越突出. 而題目的關鍵是通過添加輔助線補充完整圖中的兩個基本圖形，使直角三角形中線性質和等腰三角形三線合一性質有機結合. 同時，圖形中共斜邊的兩個直角三角形也給我們留下了深刻的印象，利用中線性質可構造等腰三角形，可謂妙哉！結合兩個三角形的位置，通過反思整理“生長”出如下“基本圖形”，如圖16～18.

（5）改編題目

產生“創(chuàng)造”的原因在于主體對知識經驗或思維材料的高度概括后集中而系統(tǒng)地遷移，進行新穎地組合分析，從而找出新奇的層次和交結點. 而學生自行改編題目，需要學生廣泛、深刻、跳躍性的思維，很顯然，這有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，這有利于培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.

現(xiàn)摘錄如下學生改編的題目：

①已知△ABC中，BD，CE是高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點，探索題目滿足什么條件時，△ADE是等腰直角三角形（如圖19）、正三角形（如圖20）？

②如圖21，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點. 若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求證：AD平分∠BAC.

通過大家的大膽探索、猜想，對于改編后第一題，最后得出有趣的結論：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，則△ABF必為含30°的直角三角形. 對于第二題，學生根據自己題后反思，改變了原題中共斜邊的兩個直角三角形的位置，從而能打破原題、常規(guī)，讓圖形“活”起來，隨之提升學生思維能力.

總之，教師在平時的幾何教學中，要引導學生對幾何例題、習題的解題進行多維度反思，將教學與實踐相結合，從思維的深度、廣度等多方位提升學生的思維品質.