江薇

[摘要]數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分.概念課的教學(xué)要從概念的引入、抽象、辨析和延伸幾個方面進(jìn)行，這樣才能讓學(xué)生對概念形成完整的認(rèn)識.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)概念；教學(xué)；思考

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001402

數(shù)學(xué)本身就是抽象的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念就是抽象的結(jié)果.高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)多，數(shù)學(xué)概念多.要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，會學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，首先應(yīng)該從學(xué)習(xí)概念入手.

概念課比較重要，但是教師要把握好一節(jié)概念課并不容易.原因是有的數(shù)學(xué)概念太抽象.教師認(rèn)為比較簡單的概念，學(xué)生卻比較難理解.下面我以高一《平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義》為例，談?wù)剬Ω咧懈拍钫n教學(xué)的一點(diǎn)思考.

教材中向量的數(shù)量積的知識共有4部分內(nèi)容：定義、性質(zhì)、運(yùn)算律和應(yīng)用.總共是安排2個課時完成.我是將向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律的教學(xué)都集中在同一課時里，目的是通過這樣一節(jié)課，讓學(xué)生對數(shù)量積知識的產(chǎn)生與發(fā)展能有一個較完整的認(rèn)識.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生參與概念的形成過程

對于學(xué)生而言，平面向量的數(shù)量積是一個全新的知識.知識本身比較抽象，學(xué)生常常用死記硬背的方法來學(xué)習(xí).如果學(xué)生對知識沒能理解透徹，學(xué)習(xí)的效果不佳，還會產(chǎn)生畏學(xué)的情緒.

我通過還原知識產(chǎn)生的背景來引入概念，拉近學(xué)生與概念之間的距離，以此來消除學(xué)生對知識的恐懼.我選擇了一幅物理中力做功的圖形作為這節(jié)課的開場.一個向右上方的力F，與水平面的夾角為θ，其在向右方向上產(chǎn)生了位移，那么力F在位移s方向上的功是多少？借助電腦動畫演示，將力分解成向上和向右的分力，向右的分力在力的方向上做功，得到W=Fscosθ.提出問題：F是什么量？s是什么量，W又是什么量？目的是為了強(qiáng)調(diào)F、s是矢量，但矢量乘積的結(jié)果卻是標(biāo)量的事實.這就是向量的數(shù)量積產(chǎn)生的實際背景.但又不能僅停留在例題本身，于是我接著將W=Fscosθ中的F，s換成向量a，b，向量的夾角為θ，抽象出向量數(shù)量積的概念.在概念的引入過程中，學(xué)生不僅感受到知識產(chǎn)生的背景，還能體會概念抽象的過程，使新概念在原有知識基礎(chǔ)上自然得到同化和順應(yīng).

二、讓概念的學(xué)習(xí)進(jìn)一步精確

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.對于概念的學(xué)習(xí)，我們往往要咬文嚼字才能更精確

地理解概念的內(nèi)在含義.數(shù)量積的概念看似簡單，兩個非零向量a，b，我們把|a||b|cosθ叫作

a

與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b .實則不然，從表象結(jié)構(gòu)看，有兩點(diǎn)要提醒學(xué)生注意：1.數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量；2.中間的點(diǎn)不能省略也不能改成“×”（乘號）（這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號的特定含義）.在教學(xué)過程中，我讓學(xué)生口述，并用電腦演示出作圖的過程，用不同顏色的線條加以區(qū)分，使他們先形成感性認(rèn)識，進(jìn)一步追問：“投影是向量還是數(shù)量？投影一定是正數(shù)嗎？”促使他們進(jìn)一步從理性的角度去分析各種各樣的情形，從一般再到特殊，最后將可能出現(xiàn)的結(jié)果在電腦屏幕上用框圖的形式分類歸納出來，使學(xué)生逐漸形成對投影的完整認(rèn)識.

由學(xué)生口述投影的做法，是讓學(xué)生根據(jù)投影的定義作圖，考查其對投影定義的理解.這節(jié)課重點(diǎn)是向量的數(shù)量積，它是一個既有方向又有大小的量參與的一種運(yùn)算，是學(xué)生新學(xué)習(xí)的一個知識，所以要不斷強(qiáng)化向量及數(shù)量積的特征.在學(xué)生明確特征之后，他們才會從向量的特征——大小和方向入手去思考問題.

經(jīng)歷了從外在結(jié)構(gòu)認(rèn)識定義，到感性作圖，理性思考，歸納出內(nèi)在特征的過程，學(xué)生才能對數(shù)量積的概念有一個比較全面的認(rèn)識.

三、進(jìn)行概念的辨析，讓學(xué)生加深印象

在概念教學(xué)中，可以將滿足概念的條件特殊化，設(shè)計出相應(yīng)問題讓學(xué)生思考.例如，如果將兩個特殊的向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，那么有怎樣的結(jié)果？

最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的，所以要隨后補(bǔ)充規(guī)定：0·a=0.

如果兩個非零向量進(jìn)行運(yùn)算，是否也有特殊的結(jié)論？對非零的情況展開討論.因為向量是具有大小和方向的量，所以在考慮特殊關(guān)系時自然是沿著兩個向量的大小和位置關(guān)系進(jìn)一步探究：1.模相等的情形；2.從方向上考慮，共線同向與共線反向的情形；3.模和方向都相同的情形.

得到非零向量的特殊結(jié)論：a⊥b

a·b

=0.當(dāng)a與

b同向時，a·b

=|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a|·

|b|.特別的，a·a=a2=

|a|2

或|a|=

a·a=a2

.

這樣設(shè)計問題，一方面讓學(xué)生能夠熟練應(yīng)用概念；

另一方面所得到的結(jié)論可以更好地為解題服務(wù).

為了讓學(xué)生能更好地鞏固知識，可以再用一些特殊的例子進(jìn)行辨識.

例如，以下結(jié)論成立嗎？

（1）0·a=0；

（2）0·a=0；

（3）（a·b）2=a2·b2；

（4）a與b是兩個單位向量，則a2=b2；

（5）若a≠0，且a·b=0，則b=0；

（6）若a·b=b·c，則a=c；

（7）若a⊥（b-c），則a·b=a· c；（8）a·a·a=a3.

四、向外延伸概念，建立與其他知識之間的聯(lián)系

與數(shù)量的乘法運(yùn)算律類比、猜想、論證向量數(shù)量積的運(yùn)算律.這里面包括乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律.

以乘法結(jié)合律為例，剛開始所有的學(xué)生都將乘法結(jié)合律的結(jié)論類比成

（a·b）·c=a·（b·c）

.但很快通過數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量，就能判斷出結(jié)論錯誤.進(jìn)一步調(diào)整思路，將其中的一個向量換成數(shù)量的結(jié)合律，即

（λa）·b=λ（a·b）=

a·（λb）

能否成立.

（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

的證明是這節(jié)課的難點(diǎn)之一.證明的時候要考慮到λ的符號，要對λ進(jìn)行分類討論.但是λ的分類也不能一開始就分，學(xué)生會提出疑問：你為什么會知道要分類，你按什么標(biāo)準(zhǔn)分類的？因此在這個環(huán)節(jié)中，可以跟著學(xué)生的思路先將第一個等號的兩邊分別按照數(shù)量積的定義展開，直到

（λa）·b

=|λa||b|

cosθ1=

|λ||a|

|b|cosθ1，

λ（a·b）

=λ|a||b|

cosθ2這一步，化簡不了，才回頭考慮其中的θ1、θ2兩個夾角一樣嗎，兩個夾角的含義分別是什么，它們有什么關(guān)系，這樣才發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致它們相等或者互補(bǔ)的量是λ，這時才對λ進(jìn)一步分類.逐步完善對運(yùn)算律的證明.

類比法是學(xué)生比較喜歡的一種方法，這種思想方法比較容易上手，有目標(biāo)有方向，容易發(fā)現(xiàn)知識之間的異同，而且使人印象深刻，易將所學(xué)概念納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成具有聯(lián)系的概念體系.

我認(rèn)為數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程與一個概念的發(fā)生、發(fā)展過程有著許多相似之處.一節(jié)概念課的學(xué)習(xí)可以給學(xué)生做出示范，學(xué)習(xí)如何接受一個新知識，如何將新知識與其他知識產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，從而組成一個知識的網(wǎng)絡(luò).

（責(zé)任編輯黃桂堅）