陳雪梅 蔡金法

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 050024；2.特拉華大學(xué)數(shù)學(xué)系19716)

1 背景與問(wèn)題

美國(guó)CPMP[1](Core-Plus Mathematics Project，核心加數(shù)學(xué)項(xiàng)目)高中數(shù)學(xué)教科書是以《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》(Principles and Standards for School Mathematics,簡(jiǎn)稱為《原則和標(biāo)準(zhǔn)》)、《美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(Common Core State Standards for Mathematics,簡(jiǎn)稱為CCSSM)為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計(jì)、發(fā)展與評(píng)價(jià)的教科書，從20世紀(jì)90年代初一直得到美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金CPMP的支持. 這套教科書以問(wèn)題為基礎(chǔ)，以探究為導(dǎo)向，面向全體學(xué)生，2013年得到美國(guó)數(shù)學(xué)與科學(xué)教育專家組、商務(wù)高等教育論壇的共同推薦，成為從所有面向大學(xué)與職業(yè)準(zhǔn)備的學(xué)科領(lǐng)域中選出的32個(gè)教育示范項(xiàng)目之一. 在過(guò)去的20年中，一些關(guān)鍵的對(duì)比評(píng)價(jià)與獨(dú)立的研究都表明，使用CPMP教科書的學(xué)生，在問(wèn)題解決、應(yīng)用與概念性理解測(cè)試方面明顯表現(xiàn)更好[2].

本文對(duì)9年級(jí)CPMP教科書概率專題設(shè)計(jì)特色的分析歸為如下一些問(wèn)題： 1.教科書如何發(fā)展學(xué)生的概率推理與素養(yǎng)？2.教科書怎樣幫助學(xué)生建構(gòu)隨機(jī)性與概率觀念？ 因?yàn)镃PMP-9年級(jí)的概率單元與我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》必修3的概率知識(shí)在內(nèi)容上有許多相似的要求，所以作為分析介紹的主要內(nèi)容.

2 CPMP教科書概率專題的整體介紹

CPMP教科書以“問(wèn)題—探究”為導(dǎo)向組織內(nèi)容，每一冊(cè)的內(nèi)容都由代數(shù)與函數(shù)、幾何與三角學(xué)、統(tǒng)計(jì)與概率、離散數(shù)學(xué)、關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)五部分構(gòu)成.“統(tǒng)計(jì)與概率”的首要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的能力，包括分析數(shù)據(jù)，認(rèn)知與測(cè)量差異，理解概率情境中的模式. 最終目標(biāo)是學(xué)生能理解如何通過(guò)考察一個(gè)樣本得到關(guān)于總體的推斷. 9年級(jí)概率是第8單元“機(jī)會(huì)中的模式”.這個(gè)單元共有3課，第1課“概率計(jì)算”，包括5個(gè)主題：(1)構(gòu)造等可能機(jī)會(huì)情境的樣本空間；(2)利用公式，計(jì)算結(jié)果是等可能事件的概率；(3)根據(jù)一個(gè)樣本空間，構(gòu)造概率分布；(4)確定互斥事件；(5)利用加法公式或者它的特例，計(jì)算P(AorB). 第2課“機(jī)會(huì)情形的建?！?，包括5個(gè)主題：(1)兩個(gè)等可能結(jié)果的模擬模型；(2)利用大數(shù)定律理解機(jī)會(huì)情境；(3)多個(gè)等可能結(jié)果與結(jié)果非等可能的模擬模型；(4)代表結(jié)果的隨機(jī)數(shù)字來(lái)自一個(gè)連續(xù)區(qū)間的模擬模型；(5)利用幾何概型解決涉及連續(xù)區(qū)間的概率問(wèn)題.第3課“回顧”.這個(gè)單元共涉及469個(gè)問(wèn)題. 如果例題是指為了顯示一些具體技術(shù)或技巧的應(yīng)用而呈現(xiàn)解法步驟和最終解法的話，那么CPMP教科書沒(méi)有例題. 所有的問(wèn)題分為：伴隨概念、方法的引入與發(fā)展的問(wèn)題任務(wù)、要求學(xué)生獨(dú)立完成的問(wèn)題任務(wù). 其中要求學(xué)生獨(dú)立完成的習(xí)題由五部分組成：應(yīng)用(應(yīng)用與鞏固知識(shí))、關(guān)聯(lián)(促進(jìn)數(shù)學(xué)主題之間的聯(lián)系)、反思(重新檢驗(yàn)個(gè)人的觀念與思維)、拓展(探究更深度的數(shù)學(xué)，例如，利用排列算法計(jì)算所有可能結(jié)果的數(shù)量)、復(fù)習(xí)(保持程序運(yùn)算的流暢性).“復(fù)習(xí)”中的任務(wù)涉及學(xué)習(xí)概率測(cè)量所需要的一些預(yù)備知識(shí)(例如小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)、幾何、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)).

3 如何發(fā)展學(xué)生的概率推理與素養(yǎng)

許多研究者認(rèn)為，應(yīng)把概率素養(yǎng)(Probability Literacy)看作統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的構(gòu)成要素[3]. 以色列著名數(shù)學(xué)教育研究者Gal提出[4]，概率素養(yǎng)應(yīng)包括認(rèn)知性知識(shí)元素(Cognitive knowledge elements)與傾向性元素(Dispositional elements)兩個(gè)結(jié)構(gòu)單元，前者包括：(1)核心概念：包括變異性、隨機(jī)性、獨(dú)立性、可預(yù)測(cè)性/不確定性；(2)計(jì)算概率：發(fā)現(xiàn)或估計(jì)一個(gè)事件的概率的多種路徑；(3)語(yǔ)言：用于交流與機(jī)會(huì)有關(guān)的情形的術(shù)語(yǔ)與方法；(4)情境：理解各種情境中以及個(gè)人與公共話語(yǔ)中，概率問(wèn)題與信息的作用和意義；(5)批判性問(wèn)題：處理概率時(shí)反思的問(wèn)題. 從概率素養(yǎng)的視角分析，CPMP教科書有如下特色.

3.1 提供了豐富的概率與統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言

“機(jī)會(huì)的模式”單元涉及樣本空間、等可能、概率公式(古典概型)、概率分布、互斥事件、加法公式、大數(shù)定律、模擬模型、幾何概型等主要概念與公式，多伴隨問(wèn)題解決的過(guò)程，以歸納描述的形式呈現(xiàn).除了新引入的概念，教科書還重視發(fā)展概率與已有統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系.特別是在模擬概率建模的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)根據(jù)頻率分布表繪制直方圖，分析統(tǒng)計(jì)特征值(均值、方差)，再估計(jì)概率.

在學(xué)生初步經(jīng)歷用表格列出所有可能的結(jié)果，討論事件的概率后，教科書用描述性語(yǔ)言引入樣本空間、等可能兩個(gè)概念，并總結(jié)概率公式.例如：“在問(wèn)題1中你完成的那張表被稱作滾動(dòng)兩枚骰子情境下的一個(gè)樣本空間.一個(gè)樣本空間就是列出所有可能的結(jié)果.”在要求學(xué)生探索樣本空間，求一個(gè)事件的概率之后，教科書引入概率分布概念：“一個(gè)概率分布是指隨著每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，對(duì)一個(gè)隨機(jī)情形中所有可能用數(shù)字表示的結(jié)果的一個(gè)描述. 不同于樣本空間，一個(gè)概率分布中所有的結(jié)果必須是單個(gè)數(shù)字，并且概率是明確的.”學(xué)生再經(jīng)歷列出樣本空間、判斷等可能性、根據(jù)條件整理概率分布表、計(jì)算某事件的概率的思維過(guò)程.

大數(shù)定律的引入是伴隨兩個(gè)等可能結(jié)果的模擬概率模型.在討論擲一枚硬幣的正面比例隨模擬次數(shù)的圖像變化時(shí)，指出：“大數(shù)定律是指試驗(yàn)的次數(shù)越多，概率的估計(jì)會(huì)趨于更好.”在其后的許多模擬建模任務(wù)中，都包含根據(jù)大數(shù)定律，解釋圖表信息的要求.

3.2 任務(wù)的組織與發(fā)展突出數(shù)學(xué)本質(zhì)與聯(lián)系

在CPMP教科書中，每一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)施都由調(diào)查開始，一段簡(jiǎn)要的旨在呈上啟下地明確任務(wù)的介紹都以一個(gè)問(wèn)題結(jié)束，然后再開始具體的調(diào)查.“機(jī)會(huì)的模式”單元，是按照不同的模型以及建模來(lái)促進(jìn)概率的概念化.這個(gè)單元共包括六個(gè)調(diào)查任務(wù)，第一課的兩個(gè)調(diào)查依次是：“你如何發(fā)現(xiàn)并組織與滾動(dòng)兩枚骰子類似的隨機(jī)事件的概率”“在什么條件下，你可以把各個(gè)概率加起來(lái)作為一個(gè)相關(guān)事件發(fā)生的概率”.教科書并未出現(xiàn)古典概型的概念，代替以樣本空間、等可能性來(lái)強(qiáng)調(diào)這種機(jī)會(huì)情形的特征.加法法則開始于利用實(shí)例討論“事件A或事件B”的意義，然后依次引入互斥事件，互斥事件的加法公式；再通過(guò)實(shí)例討論分析非互斥事件，最后給出一般的加法公式.

第二課“機(jī)會(huì)情形的建?！卑ㄋ膫€(gè)調(diào)查：依次是“你怎樣模擬設(shè)計(jì)兩個(gè)等可能結(jié)果的機(jī)會(huì)情境”“當(dāng)遇到多于兩個(gè)等可能的結(jié)果，或兩個(gè)結(jié)果不是等可能的情境，你怎樣利用隨機(jī)數(shù)表或計(jì)算器設(shè)計(jì)模擬的模型”“當(dāng)表示結(jié)果的數(shù)字來(lái)自一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，你怎樣設(shè)計(jì)模擬的模型來(lái)解決問(wèn)題”“怎樣利用面積模式而不是模擬方法，來(lái)解決連續(xù)區(qū)間的概率問(wèn)題”.這些問(wèn)題反映了各種機(jī)會(huì)情境的實(shí)質(zhì)及其發(fā)展.

“機(jī)會(huì)的模式”單元的內(nèi)容組織從整體上體現(xiàn)了從理論概率向試驗(yàn)概率的發(fā)展，同時(shí)又符合從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律.

3.3 呈現(xiàn)模式探索的推理過(guò)程

CPMP教科書重視通過(guò)問(wèn)題或問(wèn)題組呈現(xiàn)概率理論特有的性質(zhì)，包括模式探索與模型建構(gòu)的推理要素、方法、步驟等. 在探索古典概型時(shí)突出：第一，列出樣本空間；第二，判斷所有結(jié)果是否等可能發(fā)生；第三，根據(jù)條件整理概率分布表；第四，計(jì)算概率.例如：“假設(shè)你擲一枚硬幣三次.(1)列出所有8個(gè)可能結(jié)果的樣本空間，例如正面、反面、反面.(2)這些結(jié)果都是等可能的嗎？解釋你的回答.(3)根據(jù)正面的數(shù)量制作一張概率分布表.(4)你準(zhǔn)確得到2次正面的概率是多少？至多得到2次正面的概率是多少？”.

在探索幾何概型時(shí)突出：第一，轉(zhuǎn)化為一個(gè)面積區(qū)域(例如正方形)；第二，繪出事件對(duì)應(yīng)的面積區(qū)域；第三，計(jì)算概率.例如：“Al在12點(diǎn)至1點(diǎn)之間隨機(jī)休息10分鐘一次，Alice獨(dú)立于Al做同樣的事情.考慮如何利用一個(gè)面積模型準(zhǔn)確計(jì)算概率.(1)在下面的圖中，確定那些對(duì)應(yīng)Al與Alice在相同的時(shí)間開始休息的點(diǎn).(2)對(duì)于Al開始休息的任何一個(gè)時(shí)間，Alice如果要與Al的休息交疊，Alice開始休息的時(shí)間是哪些？(3)在會(huì)導(dǎo)致兩人的休息產(chǎn)生交疊的那些開始時(shí)間涂上陰影.(4)兩人休息產(chǎn)生交疊的概率是多少？”.

3.4 利用模擬試驗(yàn)經(jīng)歷概率建模

CCSSM強(qiáng)調(diào)從建模的視角理解概率與統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)建模包括數(shù)據(jù)收集、表征、解釋、預(yù)測(cè)與模擬的過(guò)程.因此，在CPMP教科書中，模擬不僅僅是一種解決概率問(wèn)題的方法，也是反思現(xiàn)實(shí)世界的一種思維方式與建模的過(guò)程.模擬建模的思維過(guò)程突出：第一，明確所有可能結(jié)果，確定每個(gè)結(jié)果的概率以及一次試驗(yàn)與下一次試驗(yàn)的概率是否發(fā)生變化；第二，選擇一種隨機(jī)發(fā)生器，并描述如何利用它進(jìn)行一次試驗(yàn)；第三，利用選擇的隨機(jī)發(fā)生器進(jìn)行多次模擬試驗(yàn)，并利用頻率表、頻率直方圖記錄結(jié)果，當(dāng)頻率分布的形狀、中心、伸展的范圍趨于穩(wěn)定時(shí)停止試驗(yàn)；第四，估計(jì)概率，得出結(jié)論或推斷.例如問(wèn)題：“Jeffrey 正在進(jìn)行一項(xiàng)包含10個(gè)對(duì)錯(cuò)問(wèn)題的測(cè)試。他事先沒(méi)有研究，甚至對(duì)任何一個(gè)問(wèn)題都沒(méi)有合理的猜測(cè)，他隨機(jī)回答“正確”或“錯(cuò)誤”.(1)描述如何用一枚硬幣來(lái)建立這項(xiàng)測(cè)試結(jié)果的模型，并實(shí)施一次模擬.(2)實(shí)施5次模擬.下面的頻率表已經(jīng)給出495次模擬的結(jié)果，把你的結(jié)果加進(jìn)這個(gè)頻率表，使總數(shù)達(dá)到500次.(3)下面給出了495次結(jié)果的頻率直方圖，加進(jìn)你的(5次)結(jié)果重新做出直方圖.描述它的形狀，并估計(jì)它的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(4)利用他的隨機(jī)猜測(cè)方法，Jeffrey應(yīng)該期望平均能正確回答多少問(wèn)題？這個(gè)結(jié)果怎樣與模擬方法得到的均值進(jìn)行比較？(5)如果通過(guò)這次測(cè)試要求正確回答70%的問(wèn)題，請(qǐng)你估計(jì)Jeffrey通過(guò)這次測(cè)試的概率是多少？(6)考慮大數(shù)定律，Jeffrey應(yīng)該選擇包含大量問(wèn)題的對(duì)錯(cuò)測(cè)試，還是包含少量問(wèn)題的對(duì)錯(cuò)測(cè)試？”

許多研究表明，把概率推理看作模型構(gòu)造的過(guò)程對(duì)教與學(xué)是更適宜的. 模擬方法可以讓學(xué)生來(lái)控制：設(shè)計(jì)試驗(yàn)、根據(jù)他們的愿望確定試驗(yàn)次數(shù)、查看結(jié)果的圖形表示. 這些會(huì)促進(jìn)他們對(duì)于一次隨機(jī)試驗(yàn)與獨(dú)立性概念的理解，并深刻認(rèn)識(shí)理論概率、經(jīng)驗(yàn)概率與樣本大小如何用于做出推論. 無(wú)放回事件(without-replacement event)的概率只在模擬情形下出現(xiàn)，不需要學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算.

3.5 利用現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題情境發(fā)展批判意識(shí)

在CPMP教科書中不僅包含大量的學(xué)生生活、社會(huì)等現(xiàn)實(shí)世界情境的問(wèn)題，而且許多情境蘊(yùn)含了“敘事的錨”，要求學(xué)生分析真實(shí)的背景，給出合理的假設(shè)，再模擬建模.例如：“當(dāng)被問(wèn)到機(jī)會(huì)以什么方式影響她的生活時(shí)，來(lái)自洛杉磯一所大型高中的9年級(jí)學(xué)生的回答是：學(xué)生被隨機(jī)抽查是否攜帶武器.假設(shè)這項(xiàng)政策已經(jīng)宣布，一名新聞?dòng)浾邞岩蛇@所學(xué)校的學(xué)生不是被隨機(jī)抽查，而是男生比女生有更大可能被抽到.然后這名記者觀察了第一次的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)所有被調(diào)查的學(xué)生都是男生.如果學(xué)生是隨機(jī)抽取的，那么估計(jì)所有10名學(xué)生全是男生的概率是多少？”.

許多問(wèn)題還關(guān)注數(shù)據(jù)的來(lái)源、建模與估計(jì)的合理性，試圖通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思來(lái)發(fā)展他們的統(tǒng)計(jì)觀念與批判意識(shí).例如：“一所學(xué)校正在推銷雜志訂閱來(lái)籌錢. 一組學(xué)生想模擬這個(gè)情境：詢問(wèn)10個(gè)人，他是否愿意買一本雜志，如果這個(gè)人回答“是”就記錄這個(gè)數(shù)據(jù). Jason建議：擲一枚硬幣10次，計(jì)算正面朝上的次數(shù). 因?yàn)橐粋€(gè)人或者說(shuō)“是”(正面)，或者說(shuō)“不”(反面).Jason的模擬模型合理嗎？解釋你的觀點(diǎn).”

4 如何促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)隨機(jī)性概念

理解“隨機(jī)性”是理解隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)數(shù)、隨機(jī)變量、隨機(jī)事件、隨機(jī)抽樣等概念的前提與條件. 但在中學(xué)教材里，“隨機(jī)性”的意義并不清晰、明確. 許多心理學(xué)與數(shù)學(xué)教育的研究表明，機(jī)會(huì)與隨機(jī)性的學(xué)習(xí)對(duì)所有年齡段的學(xué)習(xí)者都充滿困難與挑戰(zhàn). 例如：學(xué)習(xí)者不能解釋蘊(yùn)含在重復(fù)試驗(yàn)中的模式的不確定性；學(xué)習(xí)者存在一種信念：個(gè)人或器材(例如轉(zhuǎn)盤)可以對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件施加控制，或者一些隨機(jī)事件包含某種順序、目的或原因. 已故美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家Fischbein曾斷言，在學(xué)習(xí)概率過(guò)程中，學(xué)生必須創(chuàng)造新的直覺[5].

4.1 引入分布概念促進(jìn)隨機(jī)性概念的具體化

在CPMP教科書中，“分布”概念隨處可見：在古典概型的探索中引入概率分布表；在模擬建模中，更是強(qiáng)調(diào)通過(guò)頻率分布表、頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特征分析，得到更好的概率估計(jì).教科書中有這樣的話，概率分布可以給學(xué)生提供一個(gè)概率情境的完整畫面，是組織分析的最佳途徑.

這種設(shè)計(jì)的目標(biāo)在于：(1)分布概念架起溝通概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁，形成概率與統(tǒng)計(jì)之間非常緊密的聯(lián)系.特別是通過(guò)可重復(fù)的模擬試驗(yàn)，可以產(chǎn)生各個(gè)結(jié)果的分布. 這就包含了通向統(tǒng)計(jì)學(xué)基本概念的線索，例如關(guān)于分布形狀、分布中心、分布差異的各個(gè)測(cè)量.《原則和標(biāo)準(zhǔn)》也強(qiáng)調(diào)，全面而深刻地理解統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)以及統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)聯(lián)是形成能力的關(guān)鍵.(2)使得隨機(jī)性概念更容易感悟. 雖然各類詞典中對(duì)隨機(jī)與隨機(jī)性都有許多說(shuō)法，但與概率、統(tǒng)計(jì)意義有聯(lián)系的只有“機(jī)會(huì)”“具有因果關(guān)系的”. 在口語(yǔ)表達(dá)上，隨機(jī)性只能限于作為“不可預(yù)測(cè)的”. 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)(NCTM)2009年發(fā)布的文件《高中數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)與概率》(Focus in High School Mathematics: Statistics and Probability，簡(jiǎn)稱為《焦點(diǎn)》)的主編Shaughnessy認(rèn)為[6]：“很難給隨機(jī)與隨機(jī)性一個(gè)清晰的定義. 因?yàn)?，定義隨機(jī)必然涉及概率，而概率同時(shí)涉及隨機(jī)性。但獨(dú)立性、變異性、分布這些概念比隨機(jī)與隨機(jī)性容易定義，并且可以促進(jìn)對(duì)學(xué)生概率思維與學(xué)習(xí)的調(diào)查.”(3)促進(jìn)學(xué)生從比例推理(Proportional Reasoning)向更高層次的分布推理(Distributional Reasoning)發(fā)展.

4.2 滲透變異性感悟隨機(jī)

在9年級(jí)CPMP教科書中，對(duì)變異性的感悟伴隨在模擬建模過(guò)程中經(jīng)歷理論概率分布與經(jīng)驗(yàn)的抽樣分布以及理論概率與試驗(yàn)概率之間的相互作用、樣本大小對(duì)估計(jì)的影響等等，反思數(shù)據(jù)的來(lái)源、一次試驗(yàn)與下一次試驗(yàn)的概率是否發(fā)生變化，體會(huì)實(shí)施大樣本試驗(yàn)的價(jià)值.

例如，“有一種流行的早餐麥片，曾經(jīng)每箱中都有一套魔術(shù)(道具)，不同類型的一共有7套.

a. 為了集齊全部7套魔術(shù)道具，你至少買幾箱？

b.如果你買了一箱麥片，得到7套魔術(shù)之一的‘乘幣魔術(shù)’的概率是多少？為了得到答案，你的假設(shè)是什么？

c.假設(shè)你想在得到全部的7套魔術(shù)之前估計(jì)要買多少箱麥片，描述一個(gè)模擬模型，包括怎樣利用隨機(jī)數(shù)表實(shí)施一次試驗(yàn).

d.把你的模擬模型與其他同學(xué)的進(jìn)行比較. 確定一種模擬模型，并讓全班同學(xué)都應(yīng)用.

e.利用這種模擬模型實(shí)施5次試驗(yàn)，并記錄你將要必須買的箱數(shù). 把全班同學(xué)的數(shù)目加起來(lái)，形成下面的頻數(shù)表(表略).

f.統(tǒng)計(jì)結(jié)果，形成柱狀圖(圖略). (1) 描述分布的形狀. (2) 比較這個(gè)分布與前面的其他分布的形狀.

g.根據(jù)模擬(結(jié)果)，為了得到7套不同的魔術(shù)，必須買15箱或者更多箱麥片是不常見的嗎？請(qǐng)解釋理由.

h.事實(shí)上，一個(gè)人最終買的箱數(shù)通常是比根據(jù)模擬期望的數(shù)量大的多的數(shù)目，對(duì)此可能的解釋是什么？”

《焦點(diǎn)》中多次強(qiáng)調(diào)變異概念是統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，批判性推理是處理數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)判斷的必要能力. 例如[7]：“統(tǒng)計(jì)推理集中于一個(gè)焦點(diǎn)，即理解數(shù)據(jù)的變異，并能進(jìn)行推理. ……統(tǒng)計(jì)推理是通過(guò)合并來(lái)自數(shù)據(jù)與機(jī)會(huì)的各種觀點(diǎn)尋求對(duì)變異性(Variability)的理解和解釋.” CCSSM也強(qiáng)調(diào)[8]：“對(duì)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)隨機(jī)過(guò)程的理解和評(píng)價(jià). ……判斷一個(gè)具體模型是否與從某一給定的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程中獲得的結(jié)果相一致.”變異性的產(chǎn)生主要與數(shù)據(jù)、隨機(jī)性兩個(gè)因素有關(guān). 一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家感興趣的是某個(gè)具體樣本中的數(shù)據(jù)或分布、或者一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)中的抽樣分布等等，所以數(shù)據(jù)、樣本與分布是彼此相互影響的，而不是獨(dú)立的. 分析數(shù)據(jù)的變化、樣本的變化、分布的變化以及作出統(tǒng)計(jì)推斷不僅是指導(dǎo)學(xué)生感悟隨機(jī)性的一條有效途徑，而且有利于發(fā)展學(xué)生的批判性推理能力(Critical Reasoning Skills).

5 反思與探討

5.1 反思

CPMP概率課程的設(shè)計(jì)是采取概率與統(tǒng)計(jì)的整合視角. CPMP教科書是在《原則和標(biāo)準(zhǔn)》、CCSSM等重要數(shù)學(xué)課程文件的指導(dǎo)下進(jìn)行設(shè)計(jì)的，其中概率與統(tǒng)計(jì)是以“推斷性數(shù)據(jù)分析”為課程目標(biāo).與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析的理念不同，探索性數(shù)據(jù)分析的觀念認(rèn)為， 離開了概率的數(shù)據(jù)分析是沒(méi)有意義的，只是在程序化地應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí).因此，概率課程的設(shè)計(jì)除了這個(gè)領(lǐng)域特有的概念與技能之外，教科書還強(qiáng)調(diào)概率與統(tǒng)計(jì)的相互補(bǔ)充，把概率的計(jì)算、估計(jì)與建模置于數(shù)據(jù)分析以及非正式的統(tǒng)計(jì)推斷的情境之下.

CCSSM對(duì)于隨機(jī)性與統(tǒng)計(jì)概率的聯(lián)系也有闡述.“隨機(jī)化對(duì)于得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論有兩個(gè)重要的用途. 第一，從總體的一個(gè)隨機(jī)樣本中收集數(shù)據(jù)，考慮了數(shù)據(jù)變異的因素，得出的結(jié)論可作為總體的有效結(jié)論. 第二，將個(gè)體隨機(jī)分配到不同的處理方法中，能保證公平性，使得不同的處理方法都能有效地參與.統(tǒng)計(jì)意義下的顯著性結(jié)果不太可能僅僅由偶然性造成，而這一點(diǎn)只有在隨機(jī)性的條件下才能進(jìn)行評(píng)價(jià).”

5.2 探討

當(dāng)前，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)如何在教科書的編寫中落實(shí)是一個(gè)普遍關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題. 這也是筆者研究CPMP教科書的初衷. 關(guān)于核心素養(yǎng)的討論還在繼續(xù)，但是核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求給學(xué)生提供更加有活力的知識(shí)，摒棄惰性的知識(shí)的觀點(diǎn)得到許多研究者的肯定. 中國(guó)概率課程的設(shè)計(jì)比較注重概率理論自身的知識(shí)演繹與發(fā)展，表現(xiàn)為概念界定嚴(yán)謹(jǐn)，概念之間的邏輯關(guān)系與結(jié)構(gòu)較清晰. 另一方面，如何理解統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)聯(lián)，重視不同的概率建模過(guò)程中的推理方式與批判性思維，關(guān)注在現(xiàn)實(shí)情境下進(jìn)行模擬建模，等等，這些都是需要深入思考的問(wèn)題.