2018年10月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2446已知實數(shù)a滿足：有且僅有一個正方形，其四個頂點均在曲線y=x3+ax上，試求該正方形的邊長．

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀 斌 441700)

解設(shè)正方形的四個頂點為A,B,C,D，那么ABCD的中心為原點O.否則,由于y=x3+ax為奇函數(shù)，因此A,B,C,D關(guān)于O點的對稱點A′,B′,C′,D′也在曲線上,且A′B′C′D′也是正方形,與題設(shè)矛盾.

設(shè)A(x0,y0)，B(-y0,x0)，C(-x0,-y0)，D(y0,-x0),

其中x0>0,y0>0,于是有

(1)

(2)

(1)×x0+(2)×y0得

(3)

由上式便知a<0.

(1)×y0-(2)×x0得

(4)

由(3)，(4)式，得

a=-r2(1-2sin2θcos2θ)，

從中消去r2，得關(guān)于sin2θ的方程

(1+a2)(sin22θ)2-(4+a2)sin22θ+4=0．

因sin22θ在(0，1)內(nèi)只有一個根，所以

Δ=(4+a2)2-16(1+a2)=a4-8a2=0，

2447如圖 ，已知△ABC的邊BC上的中點D，過D的直線交AC和BA的延長線分別于E、F，且AB=EC-AE.過A、D、E三點的⊙W1和過A、D、F三點的⊙W2,.有EM∥BF、FN∥AC，EM、FN分別交⊙W1和⊙W2于M、N.求證：點D是過A、M、N三點圓的圓心.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明連接AD、AN、NC、FC、DN,AC與DN相交于點P.

由于FN∥AC，有S△ECF=S△ECN.

又因為S△BDF=S△DCF，

所以S△BDF=S四邊形DCNE.

所以BF·ADsin∠BAD=BF·ADsin∠DNF

=EC·DNsin∠DPE

=EC·DNsin∠DNF.

即BF·AD=EC·DN.

①

在△AEF和△DAN中，

∠AFD=∠AND，∠DAN=∠DFN=∠AEF，

②

把①×②，得BF·AE=AF·EC,

(AB+AF)·AE=AF·(AB+AE),

有AE=AF,所以 ∠AEF=∠AFE.

連接AM，DM，

因為EM∥BF，有∠AFE=∠MED，

而A，M，D，E四點共圓，

有∠AEF=∠AMD，∠MED=∠MAD，

所以 ∠MAD=∠AMD，得AD=MD.

又FN∥AC，有∠AEF=∠DFN=∠AFE，

而A、F、N、D四點共圓，

有∠DFN=∠DAN，∠AFE=∠AND，

所以 ∠AND=∠DAN,有AD=ND，

所以點D是過A、M、N三點的圓的圓心.

(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 馮建波 730000)

證明觀察可知不等式在a=1,b=1,c=0,d=0及其循環(huán)取等.

a,b待定.

為了使得取等條件在x=1或者x=0.

這顯然在x為正數(shù)時候成立，回到原題有

證畢.

2449設(shè)a,b,p,q>0，且a+b=p+q=1，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

證明由a+b=p+q=1可得

=(ab)1-p=(ab)q,

(2)

(3)

由(2)，(3)兩式可知(1)式等價于

(4)

而由q>0可知，

冪函數(shù)f(x)=xq在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

故(4)式成立，從而(1)式成立.

2450如下圖，AB、AC分別切⊙O于B、C，過A作割線交⊙O于D、E，過D作AB的平行線分別交BC、BE于F、G，求證：F是DG的中點．

證明如圖，過B作AE的平行線交⊙O于H，

連結(jié)HC交AE于I，則∠BHC=∠AIC．

因為AB、AC分別切⊙O于B、C，

由切線長定理和弦切角定理，

有AB=AC，①

∠ABC=∠BHC，

所以 ∠ABC=∠AIC，②

所以A、B、I、C四點共圓.

由①， ∠AIB=∠AIC，

由②， ∠AIB=∠ABC．③

過D作BC的平行線交AB于J，

由已知，BFDJ是平行四邊形，

連結(jié)JI交BD于K，④

所以 ∠BJD+∠ABC=180°.

由③，∠BJD+∠AIB=180°，

所以B、J、D、I四點共圓，

所以 ∠JBD=∠JID.

在⊙O中，再由弦切角定理，

有∠JBD=∠BED，

所以 ∠BED=∠JID，所以JI∥BE．⑤

由已知DG∥AB及②，

有∠DFC=∠ABC=∠AIC，

所以D、F、I、C四點共圓，連結(jié)FI，

所以 ∠CFI=∠CDI=∠CBE，

所以FI∥BE.

再由⑤得，J、F、I三點共線，

再由④得，K是BD的中點，

從而，KF是△BDG的中位線，

即F是DG的中點．

2018年11月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(浙江臺州市洪家高級中學(xué) 鄔天泉 318015)

2452如圖，△ABC的內(nèi)切圓與邊BC，CA，AB分別切于點D，E，F(xiàn)，線段ED和AB延長后交于點M，線段FD和AC延長后交于點N，點P，Q分別為線段FM，EN的中點，點X，Y分別在邊AB，AC上且滿足XB=YC=BC，證明：XY∥PQ.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

2453已知a、b、c為正實數(shù)，試證：

(*)

(浙江湖州市雙林中學(xué) 李建潮 313012)

2454設(shè)點P為不在橢圓Γ(其中橢圓中心為點O)上的一點，過點P的直線PAB、PCD分別與橢圓Γ相交于點A、B，C、D，EOF與GOH分別為橢圓Γ中平行于兩直線PAB、PCD的直徑.

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 趙臨龍 725000)

(江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 倪紅林 226200)