邵宏宏

(上海市上海大學附屬中學 200444)

1 引言

《數(shù)學通報》2018(3)(4)(5)連載李尚志教授《核心素養(yǎng)怎樣考》一文.認真學習研讀后頗有感受，正如文中所說“會做數(shù)學題不一定說明核心素養(yǎng)高，但核心素養(yǎng)必須通過解決數(shù)學問題來體現(xiàn).那就要看做什么樣的數(shù)學題，是怎么做出來的.”[1]恰逢高考結(jié)束，自己也試水2018年的上海高考數(shù)學卷，結(jié)合學習李教授的文章別有一番體會.

2 背景

新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出，高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人的根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng). 通過高中數(shù)學課程的學習，學生能在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗；養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁；運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題[4].通過高中數(shù)學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強交流能力.通過高中數(shù)學課程的學習，學生能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學模型在科學、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神.通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數(shù)學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).通過高中數(shù)學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力；適應數(shù)字化學習的需要，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗.即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.核心素養(yǎng)指導、引領(lǐng)、輻射學科課程教學，彰顯學科教學的育人價值，使之自覺為人的終身發(fā)展服務，“教學”升華為“教育”.高考作為對學生數(shù)學學業(yè)水平評價的重要環(huán)節(jié)，既承擔著為國家選拔人才重任又是落實新課程標準的“指揮棒”.高考怎樣落實對核心素養(yǎng)的考查也是一線教師時刻關(guān)注的.

3 幾道高考題解答及教學反思

上海市作為全國高考改革的排頭兵，數(shù)學試卷廣為關(guān)注，課程標準中所提出的“核心素養(yǎng)”落實到試卷中的程度也不斷深入.

解由題意，可得

?a2pq=2p+q=36pq?a=6.

教學反思：這道題重點考察了“數(shù)學運算”的核心素養(yǎng).數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).考察的角度主要包括：①理解運算對象;②掌握運算法則;③探究運算思路;④設(shè)計運算程式求得運算結(jié)果.

這道題從學生的反饋看，普遍感覺容易上手，對函數(shù)方程思想的考察顯而易見，但具體操作時往往難以求解.這說明命題老師精心設(shè)計的題直指學生痛點“如何探究運算思路和設(shè)計運算程序求解”，這樣的素養(yǎng)不是強化一下立即就能掌握的，而是要通過平時教學有意識的滲透培養(yǎng)的.例如：問題“設(shè)a>0且a≠1，比較loga2a與loga3a的大小”(《高級中學課本數(shù)學練習部分高一第二學期》[5])，教學中往往簡單的討論底數(shù)01兩種情況解決問題.問題解決了卻忽略對運算思路探究和設(shè)計運算程式的過程，從而失去了一次培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)的機會.碰到類似但要求更高的問題“已知a>0且a≠1，0

解法一

解法二

解法三

顯然A，B在直線l1的上方，

教學反思：這道題考察了“數(shù)學運算”“數(shù)學建?！薄斑壿嬐评怼焙汀爸庇^想象”多種核心素養(yǎng).

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).考察時主要包括:①發(fā)現(xiàn)和提出問題;②建立和求解模型;③檢驗和完善模型;④分析和解決問題.

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.考察的角度主要包括:①發(fā)現(xiàn)和提出命題;②掌握推理的基本形式;③探索和表述論證的過程;④構(gòu)建命題體系;⑤交流探索.

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括:①利用圖形描述數(shù)學問題;②利用圖形理解數(shù)學問題;③利用圖形探索和解決數(shù)學問題;④構(gòu)建數(shù)學問題直觀模型.

這道題入口很寬，從學生的反饋看，能讀出題目中有圓的方程和點到直線距離這些知識，比預期的壓軸題要簡單一些，但上手做題還是有許多同學覺得討論復雜運算量大.我想這也與平時教學中重視技能培養(yǎng)不重視素養(yǎng)培養(yǎng)有一定的聯(lián)系.例如：“過點P(2,1)作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點.當△AOB的面積最小時，求直線l的方程.”(《高級中學課本數(shù)學練習部分高二第二學期》[7])這道題目通常會設(shè)斜率k，借助截距計算出OA、OB，用基本不等式解決.其實題目處理完后，學生很容易就發(fā)現(xiàn)點P其實就是線段AB的中點，大部分學生也不會深究，教師往往忽略這稍縱即逝的培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理的機會.

k∈[1,12]，k∈N對于任意的k∈[1,12]，k∈N，只需檢驗x軸坐標是否相等就可以了，本題可以帶入檢驗.

也可以借助不等式

教學反思：這道題考察了“直觀想象”和“數(shù)學抽象”的核心素養(yǎng).數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng). 主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征. 考察數(shù)學抽象主要是:①形成數(shù)學概念和規(guī)則;②形成數(shù)學命題與模型;③形成數(shù)學方法與思想;④形成數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系.

從學生實際解答看，有許多學生對于題意不理解，認為f(1)的取值與函數(shù)沒有關(guān)系，從而無法解題.這也說明在函數(shù)概念的教學中相應的數(shù)學素養(yǎng)并沒有積淀下來，只是通過解題落實對概念的理解，這樣一旦碰到像本題這樣陌生的題目立刻就無處下手.我認為教學實踐中本題可以與以下兩個問題構(gòu)成一組變式，以利于更好的培養(yǎng)學生的“直觀想象”和“數(shù)學抽象”的核心素養(yǎng).

問題1：“下列圖形中，能作為某個函數(shù)的圖象的只能是( )” (《高級中學課本數(shù)學練習部分高一第一學期》[8])

A

B

C

D

4 結(jié)語

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年級)》指出在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生應發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)[4].通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.正如李教授在文中所說，考試不是目的，只是手段，目的是將你引入下一個門[3].我們的教育就是為了向?qū)W生展示知識的大廈中一扇一扇門，希望他們自己有興趣進門探索奧妙.